Natürliche Zahlen

• Zahlenraum

- Teilmengen der natürlichen Zahlen, die im Mathematikunterricht der Grundschule i.d.R. als Ganzeseingeführt werden (z.B. Zwanzigerraum, Hunderterraum,...)

- Ggf. sind damit Erweiterungen der Zahldarstellung verbunden(Erweiterung des Stellenwertsystems)

• Zahlbereich

- Algebraische Struktur, die durch eine konzeptuelle Erweiterung des Zahlsystems entsteht(z.B. ganze Zahlen, rationale Zahlen,...)

- Meist verbunden mit grundlegender Erweiterung und/oder Einschränkung der verfügbarenZahlaspekte (siehe 3.1)

- Meist Veränderung grundlegender Eigenschaften derZahlenmenge (Beschränktheit, Dichtheit, Vollständigkeit)

• Zahlaspekte bezeichnen die unterschiedlichen Bedeutungen, in denen Zahlen im Alltag auftreten können.

• d.h. es handelt sich um die wesentlichen Grundvorstellungen zum Konzept der natürlichen Zahlen

• Sind – auf individueller Ebene – „assoziative mentale Verknüpfungen zwischen mathematischen Konzepten und prototypischen Anwendungssituationen“

• Sind ein wesentlicher Teil individuellen Begriffsverständnisses

• „Eine Grundvorstellung zu einem math. Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesemSinn gibt.“

• Kardinalzahlaspekt: Zahlen beschreiben Anzahlen. Frage: „Wie viele?“, Antwort: „Drei.“ Zahlen beschreiben Anzahlen

• Ordinalzahlaspekt: Zahlen beschreiben die Position in einer Reihenfolge. Zahlen beschreiben Positionen und Abfolgen

• - Ordnungszahlaspekt (Angabe einer Position, eher statisch) Frage: „An welcher Stelle?“ Antwort: „Der/Die/Das Dritte...“ (Er erreichte den dritten Platz. Am 3. Oktober ist ein Feiertag.)

• - Zählzahlaspekt (Abzählen eines Ablaufs, eher dynamisch) Frage: „Welche Nummer?“ Antwort: „Nummer drei.“ (Das ist schon die dritte Aufgabe, die ich richtig gelöst habe! Das steht auf Seite 3.)

• Veränderungsaspekt Zahlen beschreiben Veränderungen

• Relationszahlaspekt Zahlen beschreiben Vergleiche, Verhältnisse

• Maßzahlaspekt: Zahlen kommen zusammen als Maßzahlen mit einer Einheit in Größenangaben vor. Frage: „Wie schwer?“, „Wie teuer?“, „Wie lang?“ Antwort: „Drei Tonnen.“, „Drei Euro.“, „Drei Meter.“

• Zahlen als Veränderungen (Veränderungsaspekt): Zahlen beschreiben (dynamische) Veränderungen „Ich bekomme 5 Bücher geschenkt.“

• Additive Veränderungen- Veränderungen „nach oben“ und „nach unten“ aus dem Kontext heraus. „Ich esse 3 Semmeln auf.“

• Zahlen als Vergleiche (Vergleichsaspekt) Zahlen beschreiben (statische) Vergleiche und Verhältnisse

• Multiplikative Vergleiche (Operatoraspekt)- Einfache Vergleiche („...fünf mal so viel…“).

• Additive Vergleiche (Relationsaspekt) - Richtung des Vergleichs implizit (vgl. „Petra hat 4 Münzen mehr als Hans“)

• Operatoraspekt (Multiplikative Veränderungen): Zahlen beschreiben eine Vielfachheit. Frage: „Wie oft?“ Antwort: „Dreimal.“ „Mein Gewinn hat sich verfünffacht.“

• Rechenzahlaspekt: Mit Zahlen wird gerechnet.

• - Algebraischer Rechenzahlaspekt Es gibt algebraische Gesetzmäßigkeiten zwischen Operationen, die zum flexiblen Rechnen genutzt werden können.

• - Algorithmischer Rechenzahlaspekt Mit Zahlen kann (z.B. ziffernweise) nach festgelegten Handlungsanweisungen (Algorithmen) gerechnet werden.

• Codierungsaspekt: Ziffernfolgen werden zur Kennzeichnung/ Unterscheidung in verschiedensten Kontexten verwendet. Rechnen und Ordnen ist nicht sinnvoll

• Initiale Vorstellung zu einem neuen Zahlbereich

- Anknüpfen an informelles Vorwissen

- i.d.R. Fokus auf eine oder wenige Vorstellungen (z.B. Skalenwertaspekt in ℤ, Anteilsaspekt in ℚ)

- Vernetzung verschiedener Darstellungsformen (Arbeitsmittel, symbolische Darstellungen)

• Vernetzung von Vorstellungen zu verschiedenen Zahlaspekten

- Anknüpfen an Vorwissen und initiale Vorstellung

- Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlaspekten erkennen und nutzen

- Vernetzung von Darstellungen, die bestimmte Zahlaspekte in den Vordergrund stellen

• Flexible Nutzung von Vorstellungen zu verschiedenen Zahlaspekten

- V.a. in Aufgaben, die eine eigenständige Wahl von Strategien erfordern.

- Bestimmte Zahlaspekte sind mehr oder weniger gut geeignet, bestimmte Probleme zu lösen,Ideen zu begründen,…

- Höhere Flexibilität erlaubt es, schnell verschiedene Wege zu erproben.

Axiomatische Herangehensweisen an mathematische Konzepte orientieren sich oft an realitätsnahen Vorstellungen zu den Konzepten.

Auf allen (endlichen) Mengen definieren wir eine Äquivalenzrelation durch

M ~ N :<=> es gibt eine bijektive Abbildung f: M -> N

Die Menge der (endlichen) Kardinalzahlen ist die Menge der aus endlichen Mengen gebildeten Äquivalenzklassen.

• Kardinalzahlen beschreiben die Mächtigkeit von (endlichen) Mengen.

• Basis: Begriff der Menge

• Gleichmächtigkeit: Eins-zu-Eins-Zuordnungen von Mengen (Bijektionen)

• Kardinalzahlen als Klassen gleichmächtiger Mengen

Ein Menge N heißt „Menge der natürlichen Zahlen“, wenn es eine Funktion f: N -> N gibt, so dass gelten:

• f: N -> N ist injektive Abbildung.

• Es gibt ein Element 0∈N, so dass f(n)≠0 für alle n∈N.

• Es gibt keine echte Teilmenge X⊂N, für die f(X)⊂X und 0∈X gelten.

Bündelungsprinzip: Kleinere Einheiten werden zu größeren Einheiten, indem immer die gleiche Anzahl (Basis) von Einheiten gebündelt wird.

Stellenwertprinzip: Die Stelle der Ziffer im Zahlwort gibt an, um

welche Bündelungseinheit es sich handelt, der Wert der Ziffer gibt an, wie häufig die Bündelungseinheit vorkommt.

- Der Wert der Ziffer gibt an, wie oft die entsprechende Bündelungseinheit vorkommt.

- Von rechts nach links stehen die Ziffern für die Bündelungseinheiten b0, b1, b2,… (b: Basis)

• Mit einer begrenzten Anzahl von Ziffern können große Zahlen übersichtlicher dargestellt werden. z.B. MMMMMDCCCLXXVII = 5877

• Jedes Zahlzeichen (Ziffer) liefert zwei Informationen. Stellenwert und Ziffernwert

• Die Bündelungseinheiten sind nach einer einfachen Systematik aufgebaut.

• Möglichkeit effizienter Rechenverfahren

• Einfaches Ordnen mehrstelliger Zahlen

• Erweiterbarkeit (Dezimalbrüche, Potenzschreibweise sehr großer und sehr kleiner Zahlen)

• Es ist eine eigene Ziffer 0 nötig für Bündelungseinheiten, die in der beschriebenen Zahl nicht vorkommen: (104)10 = 1 • 100 + 0 • 10 + 4 • 1

• Das System ist sehr abstrakt, da dieselbe Ziffer (ohne spezielle Kennzeichnung) für verschiedene Werte stehen kann.

• Es werden nicht alle Informationen notiert (Stufenbezeichnung folgt aus der Position).

• Auch Stellenwertsysteme können unübersichtlich sein: 14537869 Stefan Ufer - Sommersemester 2017 24 = 14 537 869 (Dreiergliederung hilft)

• Stellenwertsysteme sind die Methode der Zahldarstellung in unserer Kultur.

• Unser Zahlverständnis ist eng mit dem dekadischen Stellenwertsystem verknüpft.

• Entsprechend spielt das dekadische Stellenwertsystem im Mathematikunterricht aller Schulstufen eine zentrale Rolle

• - Erweiterung des Zahlenraums/der Zahlbereiche („Dezimalsystem“)

• - Nutzung von Rechenstrategien und Verfahren

• - Handhabung von Größenangaben

• Beispiele

• - Dekadische Analogien (3 + 4 = 7; 13 + 4 = 17; 30 + 40 = 70)

• - Halbschriftliches Rechnen/Kopfrechnen

• - Schriftliches Rechnen

Zusätzliche Schwierigkeiten bereitet in der deutschen Sprache noch die umgekehrte Sprechweise bei Zehnern und Einern.

Hier können insbesondere – aber nicht nur – bei Kindern mit familiärem Migrationshintergrund Schwierigkeiten auftreten.

• Abdecken von Bündelungs- und Stellenwertprinzip

• Thematisieren in unterschiedlich reduzierten Repräsentationen

• - Verbal und symbolische Varianten

• - Als einzelne Bündel oder als Ganzes

• - EIS – Ebenen (insbesondere auch intermodaler Transfer)

• Aufgreifen der wesentlichen Einsichten

• - Bündeln und Entbündeln

• - Interpretation und Produktion von Darstellungen auf der Basis des Stellenwertprinzips

Welche Arbeitsmittel ermöglichen einsichtsvolles Arbeiten zu den

Grundprinzipien des Stellenwertsystems?

Die Struktur der Situation ist mindestens genau so relevant für die mathematischen Anforderungen der Situation wie das dazugehörige mathematische Modell! (BSP mit schwierige und leichte Aufgabenstellung der selben Aufgabe)

• Zwei Teilmengen einer Gesamtmenge (Teil-Teil-Ganzes)

• - Summen- bzw. Differenzbildung modelliert Vereinigung oder Veränderung

• - Bsp.: Henrik hat 2 rote und 4 blaue T-Shirts...

• - Bsp.: Henrik hat 6 T-Shirts, 2 davon sind rot...

• Zwei grundsätzlich verschiedene Mengen sind von Interesse

• - Addition bzw. Subtraktion modelliert einen Ausgleich oder einen Vergleich

• - Bsp.: Wie viele Murmeln hat Henrik mehr als Petra?

• - Bsp.: Wie viele Murmeln muss Henrik noch bekommen, damit er genauso

• Es wird eine Veränderung einer Menge/von Teilmengen beschrieben.

• dazukommen, geben, einsteigen, gewinnen, verlieren, weggeben, aufessen,...

• Es erfolgt eine Handlung, deren Ergebnis modelliert wird (Ausgleich oder Veränderung).

• Z.B. Beschreibung der Relation zwischen bzw. von Mengen/Teilmengen

• o Z.B. 2 rote und 3 blaue...

• o Oder: Hans hat 2 Äpfel, Petra hat 3 mehr...

• o Oder: Maria hat 2 Hosen und 3 Pullis mehr als Hosen...

• Es erfolgt keine Handlung (Vereinigen oder Vergleichen).

• Anna hat 4 Bonbons, Simon hat 7. Wie viele Bonbons muss Anna noch bekommen, damit sie genauso viele Bonbons hat wie Simon? 96% 2 Mengen dynamisch a + o= b

• Anna hat 4 Bonbons. Simon gibt ihr jetzt einige Bonbons dazu. Danach hat Anna 7 Bonbons. Wie viele hat ihr Simon gegeben? 52% 1 Menge dynamisch a + o= b

• Anna hat 4 Bonbons, Simon hat 7. Wie viele Bonbons hat Simon mehr als Anna? 28% 2 Mengen statisch a + o= b

• Anna und Simon haben zusammen 7 Bonbons. Wie viele hat Simon, wenn Anna 3 hat? 55% 1 Menge statisch a + o= b a – b = o

• Zeitlich-sukzessiv: Mehrfache Wiederholung einer Handlung (à Wiederholte Addition) - Z.B. fünf mal hintereinander 20 Muffins backen.

• Räumlich-simultan: Betrachtung mehrerer gleichmächtiger Mengen (gleichzeitig) - Z.B. auf jedem Tisch stehen 6 Teller, es sind 3 Tische

• Multiplikativer Vergleich - Z.B. Ich habe vier mal so viele Bonbons wie meine Schwester. Sie hat drei Bonbons.

• Kombinatorischer Aspekt: Anzahl an Kombinationen aus zwei Mengen - Z.B. Ich habe vier T-Shirts und drei Hosen. Auf wie viele verschiedene Arten kann ich mich anziehen?

• Aufteilen - Z.B. 12 Kinder teilen sich in Dreiergruppen auf „Wie oft passt … in … hinein?“

• - Eine gegebene Menge wird in Teilmengen mit einer vorgegebenen Anzahl von Elementen aufgeteilt. Das Ergebnis der Division gibt die Anzahl der Teilmengen wieder.

• Verteilen - Z.B. 12 Kugeln werden gerecht an 4 Personen verteilt

• - Eine gegebene Menge wird an eine vorgegebene Anzahl von Personen, Tellern, Plätzen, Tüten, … verteilt. Das Ergebnis der Division gibt die Mächtigkeit der Teilmengen wieder. (Wie viel Stück bekommt jeder?)

Bei der Einführung mathematischer Konzepte werden meist eine oder wenige Grundvorstellungen intensiv thematisiert.

Weitere Grundvorstellungen werden nach und nach angebunden. In Aufgabenstellungen werden Grundvorstellungen zunehmend auch kombiniert.

• Umkehroperation zur Multiplikation

• - Division als keine eigenständige Rechenoperation

• - 20 : 5 ist die Zahl, die mit 5 multipliziert 20 ergibt.

• - Das Wissen um den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division ist unumgänglich.

• Wiederholte Subtraktion

• - 20 : 5 heißt, wie oft kann ich die 5 von 20 abziehen, bis man bei der Null landet?

• - enger Zusammenhang mit dem Aufteilen (vgl. Rückwärtsstrategie)

• - Anknüpfen an informelle Lösungsstrategien der Kinder ist möglich

In der Primarstufe werden einzelne Beziehungen in Bezug auf die Rechenoperationen erarbeitet und zum flexiblen Rechnen genutzt, z.B.

• - Kommutativgesetz (Tauschaufgabe)

• - Prinzip des gleich-/gegensinnigen Veränderns (356 – 199 = 357 – 200)

• - i.d.R. werden nur sehr einfache Rechenterme betrachtet

• - Distributivgesetz (Rechentrick für die Multiplikation)

• - Die Rechengesetze werden implizit genutzt, aber meist nicht explizit formuliert oder benannt.

• - ...Rechengesetze explizit benannt und eingeführt.

• - ...Regeln zum Umgang mit komplexeren Termen und Klammern eingeführt.

Manche Rechengesetze sind den Schülerinnen und Schülern als – induktiv gewonnene – Rechenstrategien vertraut, andere völlig neu (Assoziativgesetz).

• Rolle für die Nutzung von Rechenstrategien

• Rolle aus Sicht der Wissenschaftsdisziplin Mathematik: Minimaler Satz an Eigenschaften, aus denen alle anderen Eigenschaften abgeleitet werden können

• ...Rechengesetzen (also algebraischen Eigenschaften natürlicher Zahlen),

• ...Konventionen zur Notation (z.B. Auswertung von Termen von links nach rechts, Punkt vor Strich, Klammer),

• ...und daraus abgeleiteten Rechenregeln (z.B. binomische Formeln)...

• ...kann eine Fragestellung mit Lernpotential sein. Ihnen sollte der Unterschied auf jeden Fall klar sein!

• in Worten

• in Beispielen

• an Material

• in symbolischer Form mit Variablen

• Grundvorstellungen/Aspekte (implizit)

• Darstellung der Rechenoperationen an Material

• Einfache Rechenbeziehungen (Tauschaufgabe, gleichsinniges Verändern, Rechentricks für die Multiplikation)

• Rechenstrategien und Rechenverfahren

• Erweiterung des Zahlenraums über die Million hinaus

• Fachbegriffe (Summand, Summe, Minuend,...)

• Explizierung der (axiomatisch) grundlegenden Rechengesetze

• Potenzschreibweise

• Betrachtung von Termen (inklusive Klammern)

• Im besten Fall entscheiden die Lernenden von Rechnung zu Rechnung, wie sie vorgehen!

• Rechnen mit Hilfe erlernter oder selbst gefundener Strategien

• Ziel ist flexible und adaptive Nutzung verschiedener Strategien

• Das Vorgehen wird individuell notiert (Symbole, Darstellungen)

• Rechnen nach einem festgelegten Verfahren

• Ziel ist die reflektierte Nutzung des Verfahrens bei passenden Problemstellungen

• Das Vorgehen wird nach einem vorgegebenen Schema notier

• Ziel: Sicheres, effektives Rechnen auch sehr komplexer Aufgaben

• Rechnen nach erlernten oder selbstgewählten Strategien

• Keine Notation des Vorgehens (aber Reflexion möglich)

• Fokussierung auf adäquates, „progressiv realistisches“ Anforderungsniveau

• z.B. Taschenrechner

• GEOGEBRA

• MathLAB

• Zunehmende Ausbildung sicherer Kopfrechenfertigkeiten (z.B. Kopfrechenphasen)

• Erwerb von Strategierepertoire/strategisch nutzbarem konzeptuellem Wissen zu Operationen in neuen Zahlenbereichen

• Vertiefung der schriftlichen Rechenverfahren (z.B. höherer Zahlenraum, Division auch mit mehrstelligen Divisoren)

• Erwerb von Rechenverfahren („Rechenregeln“) für Operationen in weiteren Zahlenräumen und deren adaptive Nutzung.

• Erwerb von Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme (Polynomdivision, Nullstellenbestimmung)

• Zunehmender Einblick in das Konzept des Algorithmus

Von einigen Fachdidaktikern wird das Behandeln der schriftlichen Verfahren als geradezu schädlich angesehen.

• Lösen der Rechenaufgaben (fast) ohne Zahlverständnis

• Rechnen als Abspulen sinnentleerter Handlungs- und Rechenschritte (durch starre Rechenwege)

• Wissen über Zahlen, Zahlstrukturen, Zahlbeziehungen und Zahlvorstellungen wird eher verlernt als gefördert

• Möglichkeiten der Individualisierung durch individuelles Vorgehen auf eigenen Wegen

• Größere Flexibilität und Effektivität, da verschiedene Strategien angewendet werden können, je nach Aufgabentyp und Kompetenz bzw. Zahlwissen und Zahlvorstellungen des Lerners

• Basierend auf einem ganzheitlichen Zahlverständnis, deshalb Förderung des Verständnisses des Dezimalsystems sowie von tieferen Zahlvorstellungen

• Stützstrategien können automatisiert werden (Förderung des Übergangs zum Kopfrechnen)

• gute Differenzierungsmöglichkeiten (nicht nur die Ergebnisse, sondern auch richtige und weniger richtige Strategien sind Ziel des Unterrichts)

• Unterstützung von Interaktion und Kommunikation zwischen Kindern

• Förderung der Fähigkeit zur Darstellung, Begründung und Beschreibung eigener Lösungswege

• auch: Vorbereitung und Begründung der schriftlichen bzw. sonst zu erwerbenden Verfahren

• Diese positiven Aspekte halbschriftlichen Rechnens sind nur zu erwarten, wenn Lehrende (und Lernende) adäquat mit dem Themenbereich umgehen.

• Es besteht die Gefahr, dass auch Rechenstrategien ebenso wie die schriftlichen Verfahren als schematisierte Algorithmen gelehrt oder gelernt werden

• Es gibt mehrere inhaltlich verschiedene Verfahren (Ergänzungsverfahren, Abziehverfahren).

• Die Notationsform kann weitgehend unabhängig davon schrittweise entwickelt werden.

• Die schriftliche Subtraktion hat in den letzten Jahrzehnten zu vielfältigen Auseinandersetzungen in der Bildungspolitik und auch in der Mathematikdidaktik geführt.

• Seit 1958 war die Ergänzungsmethode mit den Übertragstechniken Erweitern (gleichsinniges Verändern) oder Auffüllen seitens der Kultusministerkonferenz vorgeschrieben.

• Nachdem in den Lehrplänen einiger Bundesländer die Wahl des Verfahrens freigestellt wurde, wurde die Festlegung der KMK 2002 stillschweigend aufgehoben. Das Verfahren der schriftlichen Subtraktion ist für die Bundesländer freigegeben. Seitdem setzt sich nach und nach das Abziehverfahren durch.

Fachbegriffe wie Summand, Summe, Minuend,

Subtrahend, Differenz, Faktor, Produkt, Dividend, Divisor, Quotient,... werden auf der Basis von bereits erarbeitetem begrifflichem Wissen eingeführt.

Kein „Wort ohne Idee“!

• Die inhaltliche begriffliche Basis muss sichergestellt werden (Wiederholung)

• - Verknüpfung von Repräsentationsebenen

• - Ausgehen von eigenen Formulierungen der Schülerinnen und Schüler

• Es macht keinen Sinn, die Begriffe von den Schülerinnen und Schülern „finden“ zu lassen!

• - z.B. Zuordnungsaufgaben: „Welches Wort gehört wozu?“

• - Einsatz in Sachsituationen, symbolischen Rechnungen,...

• - Umschreibung von Fachsprache in Umgangssprache und umgekehrt

• - Ggf. Klärung der Herkunft der Begriffe

• - Korrektes Sprachverhalten der Lehrkraft

• - Einfordern korrekter Verwendung von Fachsprache durch die Schülerinnen und Schüler

Als neue Verknüpfung wird in der Sekundarstufe die Potenzschreibweise – zunächst für natürliche Exponenten – durch iterierte Multiplikation eingeführt.

• Zunächst als rein formale Notationsform - i.d.R. Einführung im Rahmen einer Sachsituation

• Schrittweise Erarbeitung von Potenzen als Verknüpfung

• - abweichende Eigenschaften (nicht kommutativ/assoziativ)

• - spezifische Rechenregeln

• - Möglichkeit zur Vertiefung von Rechengesetzen!

Grundvorstellungen werden erst im Laufe der

Sekundarstufe I erworben, z.B.:

• Kombinatorische Bedeutung kn als Anzahl von n-Tupeln aus einer k-elementigen Menge

• Einfache quadratische und kubische Zusammenhänge - Z.B. Flächeninhalt von Quadraten, Volumen von Quadern,...

• Modellierung von Wachstumsprozessen

• - systematisch erst mit der Bearbeitung von Potenzfunktionen

• - einfache Wachstumsprozesse (Papierfalten etc.) ggf. bereits in Jgst. 5

• Kenntnis von Begriffen (Potenz, Exponent, Basis)

• Bestimmung von Potenz, Exponent, Basis (ggf. durch systematisches Probieren)

• Verknüpfung mit ersten Grundvorstellungen

• Ordnen von Potenzen - Bei gleichen Exponenten bzw. bei gleicher Basis

• Erkennen/Begründen erster Regelmäßigkeiten (Potenzgesetze)

• - Induktive Erarbeitung möglich (finde eine Potenz, die denselben Wert hat wie 23 ⋅ 25, 24 ⋅ 24, 22 ⋅ 26; finde weitere Beispiele)

• - Was passiert, wenn man die Basis verdoppelt...

• - Begründung mit Hilfe der Vorstellung der iterierten Multiplikation

• Die multiplikative Struktur der natürlichen (bzw. auch der ganzen) Zahlen ist mathematisch sehr einfach (das Finden dieser Struktur keineswegs).

• Primzahlen dienen als „Bausteine der natürlichen Zahlen“ aus Sicht der Multiplikation

• Für den Unterricht ist diese Struktur (Primzahlen) vor allem zentral bei...

• - Problemen mit ggT und kgV - geschicktem Rechnen (z.B. Ausklammern gemeinsamer Faktoren) - Faktorisieren von Termen - Bruchrechnung (Kürze

• Übliche Definition (Irreduzibilität)

• - Eine Zahl mit genau zwei Teilern heißt Primzahl.

• - ...ist logisch komplexer,

• - ...ist mathematisch äquivalent (zumindest für die ganzen Zahlen),

• - ...ist notwendig, um manche Aussagen aus der Teilbarkeitslehre argumentativ anzugehen,

• - ...ist nicht Teil des üblichen Schulstoffs.

• Die Zahl 5 hat eine besondere Eigenschaft. Immer wenn sie irgendein Produkt teilt (z.B. 35 · 18), dann teilt sie auch einen der beiden Faktoren (im Beispiel nämlich die 35; es könnten auch beide sein, wie bei 35 · 15).

• Das stimmt für andere Zahlen nicht (z.B. die 6; sie teilt 3 · 4, aber…).

• Zahlen mit der Eigenschaft wie die 5 heißen...

• Kenntnis von Beispielen (2, 5, 7, 11,...) und Nicht-Beispielen (unter anderem die 1)

• Wissen um die Existenz einer multiplikativen Darstellung aus Primzahlen für jede natürliche Zahl (argumentativ einfach)

• - Unendlichkeit der Menge der Primzahlen

• - Primzahlen als (aktuelles) Forschungsfeld der Mathematik

• - Jede Zahl ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar? (à GoldbachVermutung)

• Eindeutigkeit der obigen Darstellung (argumentativ schwer)

• Strategien zum Finden der Primfaktorzerlegung und zum Feststellen, ob eine Zahl eine Primzahl ist