1.5 Sistemi di conversione dell'energia

Esistono macchine di due tipi diversi:

• La macchina diretta è una macchina che consuma calore per produrre lavoro, il secondo principio della termodinamica ci dice che non tutto quel calore viene trasformato il lavoro, però l’obbiettivo è quello.

• Invece ci sono macchine inverse che hanno due nomi diversi, a seconda del loro impiego, una si chiama macchina frigorifera e l’altra si chiama pompa di calore, che fanno l’opposto; consumano lavoro da una fonte esterna e poi trasferiscono un po’ di calore da una sorgente a temperatura più fredda ad una sorgente a temperatura più calda. A seconda dell’obbiettivo, cioè se l’obbiettivo è quello di sottrarre calore alla sorgente fredda si chiama frigorifero, se l’obbiettivo è di cedere calore alla sorgente calda con spesa di calore, si chiama pompa di calore ed è un modo per riscaldare.

• Ciclo Rankine o ciclo diretto a vapore.

• Ciclo inverso a vapore e può essere utilizzato come frigorifero o pompa di calore.

• Ciclo Brayton, che si utilizza per la produzione di energia elettrica a partire dal gas, oppure anche per la propulsione aerea.

• Ciclo Otto per i motori a combustione interna.

• Ciclo Diesel per i motori a combustione interna.

Quando si parla di ciclo termodinamico, si fa riferimento ad un ciclo che ha un contenuto molto idealizzato; descrive quello che accade ad esempio in un impianto di produzione di energia meccanica attraverso l’utilizzo dell’acqua nei vari stati di aggregazione, ma in modo ideale.

L’impianto è fatto come in figura. Questo è un tipico impianto che potrebbe essere utilizzato per generare energia elettrica. Ci sono dei rettangoli tratteggiati, dove ciascun rettangolo tratteggiato si può individuare con un sistema che serve o per scambiare calore o per produrre lavoro.

Nella parte centrale c’è il Boiler, che potremmo chiamare la caldaia; la turbina, il condensatore, poi c’è una pompa e si ritorna nella caldaia. Se seguiamo questo percorso, scopriamo che è una trasformazione di tipo ciclico. Il fatto che ci sia una turbina (a forma di trapezio) e una pompa, significa che il circuito è suddiviso in due regioni, una regione di passa pressione e una regione di alta pressione. Abbiamo bassa pressione a valle della turbina e prima dell’ingresso del liquido nella pompa e poi avremo la zona di alta pressione dall’altra parte, diciamo che la zona dall’uscita della pompa all’interno della caldaia fino all’ingresso della turbina, è tutta quella di alta pressione. I dispositivi dove questo livello di pressione cambia, sono appunto la turbina e la pompa. Sull’albero della turbina viene collegato un generatore elettrico e quello è lo scopo di questo impianto secondo il disegno.

Invece sulla destra abbiamo la torre evaporativa, che serve per sottrarre calore  continuamente al fluido dentro al condensatore. Dentro al condensatore, lo possiamo immaginare nel diagramma p V che abbiamo visto prima, avremo un tratto a pressione costante, quindi dentro alla campana di Andrews, perfettamente orizzontale, che va dalla zona del vapore (verso destra, dove il volume è maggiore) e prosegue verso la zona del liquido saturo (verso sinistra). Questo processo avviene nel condensatore e ha bisogno di una sottrazione continua di calore. La sottrazione viene rappresentata tramite una torre evaporativa, che serve per questo, a sottrarre calore ad un altro liquido, attraverso l’evaporazione. In altri casi, si usa come sorgente o come zona dove si va a riversare calore, l’acqua di un fiume.

Possiamo fare una rappresentazione che è ancora più schematica. Qui vediamo la stessa identica cosa; abbiamo, partendo dal punto 1 che è in alto a destra, del fluido che esce dalla caldaia in condizione di vapore surriscaldato, entra in turbina, evolve in turbina, nella turbina si riesce a produrre un po’ di lavoro, è potenza termica prodotta, poi il vapore in condizioni nuovamente di vapore surriscaldato esce dalla turbina nel punto 2, poi viene compensato attraverso questa potenza termica, Qout punto. Siamo nella fase a bassa pressione, poi la pompa ha il compito di prendere il liquido che esce dal condensatore ed elevarne la pressione. Nel Boiler entra del liquido, il liquido viene prima riscaldato fino alla curva della campana di Andrews dove si trova il liquido saturo, dal liquido saturo dentro un’altra regione della caldaia avviene l’evaporazione e poi il surriscaldamento, fino ad arrivare al punto 1 e quindi abbiamo chiuso così il ciclo. 

Ci sono dei valori tipici di pressione minima e di temperatura massima che sono forniti da limiti o caratteristiche tecnologiche del nostro ambiente. Visto che il calore che può essere scaricato all’ambiente esterno ad una temperatura non più bassa della temperatura ambiente, la pressione dell’acqua dentro al condensatore, sarà caratterizzata da una temperatura poco più alta della temperatura ambientale.

Nella zona di bassa pressione, quindi dall’uscita della turbina in 2, all’uscita dal condensatore e l’ingresso della pompa al punto 3, sarà di 4 centesimi di bar, perché a 4 centesimi di bar la miscela dove è presente sia vapore sia acqua alla fase liquida, ha una temperatura che è circa di una trentina di gradi centigradi, a cui, con un apporto di acqua a temperatura più bassa, di 12 - 15°C si può in modo conveniente sottrarre ancora calore. La pressione dell’acqua quando passa dal condensatore, sarà di quell’ordine di grandezza.

E poi avremo un altro limite tecnologico, che è il limite tecnologico dato dalla temperatura massima sopportabile dalle palette delle turbine. Nel caso queste siano fatte in acciaio, la temperatura massima nel punto 1, non potrà essere superiore di 600 - 700°C. Questo ciclo si verifica entro quell’ambito di valori.

Faremo dei conti su ciascuno di questi tratti e poi forniremo un’espressione per il rendimento di questo oggetto. Ci conviene far riferimento a quello che abbiamo studiato in termodinamica; il 1° Principio per i sistemi aperti, perché a partire da quello sapremo esprimere il calore scambiato nel tratto 2 - 3, nel tratto 4 - 1 e il lavoro che è necessario per fare un certo salto di caratteristiche del nostro fluido da 3 a 4 o il lavoro che il nostro fluido restituisce nel tratto 1 - 2.

Il primo principio per sistemi aperti, lo scriveremo con dalla parte sinistra la variazione di energia del sistema aperto. È un’equazione che si scrive in termini di lavoro per unità di tempo, quindi di Watt. E poi, se consideriamo un solo ingresso e una sola uscita, quindi scriviamo il 1° Principio per la turbina, dove il sistema  che considero in quel momento è il contorno verde, dove c’è un ingresso, il vapore surriscaldato nello stato 1 e un’uscita, il vapore saturo o di poco surriscaldato della fase 2, scriveremo il primo principio per quel sistema e quindi avremo un solo flusso di massa, con un ingresso e un’uscita.

Le caratteristiche energetiche d’ingresso  sono l’entalpia, l’energia potenziale specifica, l’energia cinetica specifica tutto il ingresso, meno m punto stessa cosa all’uscita e poi, oltre a questi termini, dobbiamo scrivere il calore aggiunto per unità di tempo e il lavoro scambiato con l’esterno per unità di tempo. Nel caso di sistema stazionario, nel caso in cui le variazioni di energia potenziale tra ingresso e uscita siano trascurabili, nel caso in cui l’energia le variazioni di energia cinetica tra ingresso e uscita siano trascurabili, cioè se se le considerassi, i conti cambierebbero così poco da non alterare la mia analisi. Quindi predo Δc e lo confronto con  Δh.

Con queste ipotesi, possiamo scrivere la nostra solita equazione, che 0 è uguale ad m punto, variazione dell’entalpia specifica tra l’ingresso e l’uscita e poi il contributo del calore e del lavoro.

Avrò diverse possibilità; potrò pensare che durante l’espansione in turbina il fluido si comporti in modo adiabatico, cioè non scambi calore con l’esterno e dall’altra parte potrò pensare che dentro ai due scambiatori di calore, la caldaia e il condensatore, non ci sia scambio di lavoro. Quindi facciamo uno schema, dove abbiamo la turbina, il condensatore, la pompa e il Boiler. Nella turbina possiamo scrivere questa equazione, ma avremo calore scambiato trascurabile e il lavoro che è pari a m punto, h₁ - h₂. Il livello di entalpia nel fluido in h₁ è molto maggiore di h₂, perché è appena uscita dalla caldaia e la possibilità di generare lavoro sarà data da questa espressione. Questo lavoro sarà positivo, quindi potremmo anche aggiungere una colonna a questa tabella, dove si parla del segno della quantità.

Nel condensatore avrò lo scambio di lavoro trascurabile, il calore scambiato sarà m punto h₃ - h₂. Poi nella pompa il calore scambiato è trascurabile, il lavoro è uguale ad m punto h₃ - h₄, la potenza è negativa e poi abbiamo la caldaia, con scambio di lavoro con l’esterno pari a zero, calore scambiato positivo m punto per h₁ - h₄. Ogni volta che calcoliamo il lavoro o la potenza meccanica, attraverso questa equazione, dobbiamo mettere  variazione di entalpia in ingresso, meno uscita.

Possiamo cominciare a valutare il rendimento del nostro sistema. Avevamo definito il rendimento come l’effetto utile netto, diviso la spesa. L’effetto utile netto sarà il lavoro o la potenza meccanica ottenuta dalla turbina, sottratta della quota consumata nella pompa. In questo contesto abbiamo descritto quantità che sono di tipo algebrico, alcune sono positive e altre negative; possiamo chiamare ciascuno di questi contributi con un pedice che ha a che fare con un dispositivo dove avvengono i vari scambi. Quando si parla di rendimenti, ad esempio come abbiamo fatto nella dimostrazione del teorema di Carnot, è più comodo avere a che fare con quantità assolute, dove il segno viene tolto. Qui faremo la stessa cosa, quindi il rendimento che dovrebbe essere scritto in quantità generiche come lavoro della turbina + lavoro della pompa, diviso calore o potenza termica scambiata nella caldaia, può essere riscritta con i valori assoluti.

Ora dobbiamo vedere quanto vale questo rendimento. Possiamo finalmente andare a sostituire in questa espressione del rendimento. Quindi abbiamo il lavoro nella turbina, meno il lavoro nella pompa. Al denominatore avrò il calore scambiato nella caldaia.

1 - 3 è il calore scambiato al condensatore e 1 - 4 è il calore scambiato alla caldaia e quindi ritorniamo al concetto che avevamo visto nei rendimenti di Carnot. Per avere un elevato rendimento, devo essere in grado di scaricare alla sorgente fredda una minima quantità di calore, devo mantenere piccola quella frazione che viene sottratta al rendimento del 100%.

Disegniamo nel diagramma p v come avviene.

Avremo due livelli di pressione, il livello del condensatore, che sarà quello di bassa pressione, attorno ai 4 centesimi di bar, che significa 4 • 10³ Pa, poi abbiamo una fase che avviene ad alta pressione. E poi avremo un’espansione in turbina, che sarà rappresentata da una curva dove il volume specifico aumenta, anche se non di molto. L’ideale sarebbe congiungersi con la linea del condensatore poco più a destra del rame superiore della campana di Andrews e poi avremo un aumento di pressione del liquido nella pompa. L’aumento di pressione del liquido avviene a volume specifico costante, viste le proprietà quasi incomprimibili.  Nello scambio termico della caldaia abbiamo il calore che entra. Vedremo quali sono le tecniche per tenere elevato questo rendimento.

Il rendimento di questo ciclo, è sempre più alto, quanta più grande è la differenza tra il calorie scambiato nel boiler e il calore scambiato nel condensatore, quindi quanto più grande l’inverso del rapporto.

Questi cicli vengono inizialmente rappresentati come dei cicli di tipo ideale e quindi nel ciclo Rankine ideale si descrivono una serie di trasformazioni che non sono quelle che effettivamente avvengono negli impianti che producono potenza meccanica attraverso un ciclo a vapore, ma sono dei cicli che rappresentano nel migliore dei modi possibili quella realtà e i cicli ideali sono formati da delle trasformazioni che sono da un lato quasi-statiche e quindi passano attraverso una serie infinita di stati di equilibrio e senza fenomeni dissipativi. Questo significa che le trasformazioni sono di tipo reversibile.

Il fatto che non ci siano fenomeni dissipativi, per esempio in un tratto di tubazione, ma immaginiamo che il fluido passa nel condensatore o nella caldaia, passa in una serie di tubazioni, significa che questa trasformazione può avvenire con variazione di pressione nulla. Questa sembra un’ipotesi aggiuntiva, ma è inclusa nelle ipotesi precedenti. 

Inoltre se volessimo scrivere l’equazione di variazione di entropia per un sistema aperto; abbiamo i flussi di entropia attraverso le aperture. Scriviamola in termini generali. Il caso è stazionario quando uno di questi circuiti funziona in condizioni stazionarie, se le trasformazioni sono di tipo reversibile e quindi la produzione è zero, si scopre che nelle trasformazioni adiabatiche a scambio termico nullo e così vengono descritte le trasformazioni nella pompa e nella turbina, avviene che il termine dei flussi d’entropia dev’essere nullo. Il termine del flusso di entropia nel caso con un solo ingresso e una sola uscita e semplificando la complessità di questo integrale, viene fuori che m punto, moltiplicata per l’entropia d’ingresso, meno l’entropia d’uscita, dev’essere uguale a zero.

E quindi nel ciclo Rankine ideale che abbiamo già introdotto, si fa l’ipotesi che le  trasformazioni siano quasi-statiche senza fenomeni dissipativi e quindi siano reversibili. Questo significa da un lato che nella caldaia e nel condensatore si può supporre che le variazioni di pressione siano nulle e questo significa anche che nelle trasformazioni nella pompa e nella turbina, ci sono trasformazioni di tipo adiabatico, allora come si può dimostrare attraverso il bilancio di entropia per sistemi aperti, sono anche isoentropiche.

Visto che il flusso di entropia tra ingresso e uscita di ciascuno di questi dispositivi dev’essere zero, visto che la portata in massa del vapore non può essere zero, altrimenti avremo un impianto che funziona senza trasformazione di massa, allora queste due quantità devono essere uguali e si capisce che nel nostro ciclo Rankine ideale avremo due trasformazioni isobare e due trasformazioni di tipo isoentropiche.

Le due trasformazioni isobare sono quelle nella caldaia e nel condensatore e le due isoentropiche sono quelle nella pompa e nella turbina, quindi quelle dove non avviene scambio termico.

Adesso vediamo che forma avranno queste trasformazioni, in un diagramma temperatura entropia. Questo è per l’anidride carbonica, però per l’acqua è uguale. Abbiamo in ascissa l’entropia, espressa in un sistema di unità di misura che non è del S.I. e poi la temperatura nell’ordinata che qui è in °C, ma noi usiamo i K. Appaiono delle regioni tratteggiate che rappresentano, un po’ come la campana di Andrews, la presenza di una fase o di più fasi in contemporanea. Nel diagramma T - s le isobare hanno un andamento perfettamente rettilineo e orizzontale dentro alle regioni di cambiamento di stato, per esempio nelle regioni di trasformazione, mentre al di fuori di quelle, hanno degli andamenti crescenti, con una pendenza crescente. Quindi sia la derivata prima della funzione, sia la derivata seconda sono positive.

Possiamo osservare la trasformazione ABCDEF isobara, a pressione costante. Nella trasformazione AB a pressione costante si ha in anidride carbonica in fase solida, un aumento di temperatura a pressione costante porta ad un aumento di entropia e dal punto di vista fisico il reticolo cristallino del solido è caratterizzato da elettroni e atomi in maggiore movimento e quindi l’entropia aumenta. In B si continua a fornire calore a questo sistema a pressione costante. Il calore non viene più impiegato in maniera sensibile per aumentare la temperatura del sistema, ma viene utilizzato per la liquefazione, che avviene con consumo di calore, ma a temperatura costante. Quindi nel tratto BC avremo uno scambio di calore, che verrà interpretato come un calore latente di liquefazione a partire dalla fase solida.

In C avremo anidride carbonica in fase liquida, nel tratto CD la continua fornitura di calore nel sistema, che a quel punto è completamente liquido, si verificherà  come un calore sensibile, il che significa che il liquido aumenta la temperatura. Nel tratto con DE avremo inizialmente nel punto D osserveremo per la prima volta la presenza del vapore, nel tratto DE avremo una compresenza di liquido e vapore e in EF saremo, a partire dal punto E abbiamo il vapore in condizione satura e nel tratto da E ad F avremo il vapore in condizioni di surriscaldamento. Questo diagramma rispetto alla campana di Andrews è più esteso, è esteso a temperature minori di quelle che avevamo visto e a livelli minori di pressione. Nel diagramma p V che avevamo osservato, non compariva del tutto il solido, che per l’acqua è a temperature minori di quelle che abbiamo visto.

In più, sotto il punto triplo, abbiamo la possibilità di trasformazione senza passare per il liquido, della fase solida alla fase vapore, attraverso la sublimazione.

Possiamo iniziare a riportare oltre al diagramma del ciclo Rankine p V, nel diagramma nel piano T - s, che è più naturale per questa trasformazione. Rappresentiamo la temperatura in K e poi l’entropia specifica si misura in J/(kg • K) o in kJ/(kg • K). Il K si scrive con la lettera maiuscola, per il fatto che fa riferimento al ricercatore inglese del 18° secondo, mentre kg o kJ vengono indicati con la k minuscola. Riportiamo la campana, quindi solo una parte del diagramma che abbiamo visto, quello dove compare la compresenza delle fasi liquide e vapore e il vapore per l’acqua. Quello di prima era per l’anidride carbonica, invece qui lo riportiamo per l’acqua e riportiamo il grafico del ciclo Rankine. Possiamo immaginare che il diagramma che disegniamo adesso non è quello che si usa negli impianti.

Si parte in turbina da una condizione di vapore saturo secco ad alta temperatura, abbiamo un’espansione in turbina, che dovrebbe funzionare in un fluido bifase, dove compare sia la fase vapore sia la fase liquida. Abbiamo chiamato questo punto 1 e rappresentiamo l’espansione in turbina come una trasformazione di tipo isoentropico. Il fluido viene condensato nel condensatore in una trasformazione a pressione costante, ma le trasformazioni a pressione costante dentro alla campana sono orizzontali, perché sono trasformazioni contemporaneamente a temperatura costante, dove il calore scambiato con l’esterno non è il calore sensibile, ma è il calore latente. Poi nella pompa avremo una trasformazione ad entropia costante, quindi disegneremo un tratto perfettamente verticale, poi il liquido entra nella caldaia, nel primo tratto a pressione costante, quindi secondo una curva crescente si porta alla stessa temperatura del vapore saturo in uscita dalla caldaia e in  ingresso dalla turbina e poi abbiamo nella seconda parte della caldaia abbiamo una trasformazione a temperatura costante e contemporaneamente a pressione costante.

Il ciclo Rankine nel diagramma T - s viene rappresentato in questo modo. Questo tipo di ciclo non è effettivamente attuabile nei veri cicli che vengono seguiti negli impianti, perché non si riesce a costruire una turbina che sia affidabile, nel senso che duri più di qualche giorno e che riesca ad espandere un fluido bifase dove ci sia la compresenza di vapore e di liquido. Quello che si fa, a parte gli studi teorici, è surriscaldare il vapore a pressione costante, fino a poter compiere l’espansione in turbina completamente in una fase di vapore, in modo che all’uscita dalla turbina abbiamo vapore saturo secco alla temperatura del condensatore, quindi abbiamo un surriscaldamento, dove il punto di ingresso in turbina 1 e il punto 2 di ingresso nel condensatore sarà del vapore saturo secco.

Nel grafico i punti in più di surriscaldamento sono indicati con 1’ e 2’.

Tra le tante applicazioni che abbiamo visto nelle lezioni precedenti su questo tipo di cicli, quando abbiamo discusso del primo principio dei sistemi aperti, avevamo calcolato il lavoro tecnico utile.

Il lavoro tecnico utile è quella parte di lavoro che compare anche esplicitamente nel 1° Principio della termodinamica per sistemi aperti, che è scambiabile con un apparato meccanico. Quindi il lavoro che la pompa esegue sul fluido, oppure il lavoro che la turbina estrarre dal fluido, può essere considerato lavoro tecnico utile e ha una specifica espressione. Possiamo vedere come si può calcolare il lavoro consumato nella pompa per unità di tempo nel tratto 3 - 4.

Il 1° Principio della termodinamica per sistemi aperti veniva prima di tutto espresso attraverso l’energia interna, poi si trovava anche conveniente inglobare nell’energia interna anche il termine di lavoro di emissione e di immissione che aveva a che fare con il prodotto della pressione per la variazione del volume del nostro sistema. Per fare questo è conveniente, anziché esprimere l’energia interna nel primo principio della termodinamica per sistemi aperti, esprimere l’entalpia. Avevamo scritto il 1° Principio della termodinamica per sistemi aperti in un caso con un solo flusso e per sistemi stazionari. Questo rappresenta il lavoro tecnico utile, però dentro ai termini di entalpia, c’è comunque una quota di lavoro, ma è un lavoro che non è utilizzabile, perché ha a che fare con il lavoro che il fluido compie quando entra in un ambiente ad una certa pressione, oppure il lavoro che il fluido compie quando esce da questo sistema.

Per la pompa si potrà dire che, visto che il calore scambiato è nullo, il lavoro nella pompa è pari ad m punto per h₃ - h₄. Scrivendo questa espressione, il nostro risultato è negativo.

Nella trattazione del lavoro tecnico utile, avevamo trovato che le variazioni di entalpia in casi come questo si possono esprimere, si parla di un approccio lagrangiano alla questione, quindi si scrive prima di tutto che la variazione di energia interna è uguale al calore scambiato, meno il lavoro che può essere espresso come p dV, poi per un sistema di tipo adiabatico si può scrivere che dU = - p dV, però si può sostituire dH e si ottiene che dH = V dp.

Allora questo lavoro tecnico utile può essere scritto come lavoro utile nella pompa come - m punto, integrale tra il punto iniziale che è 3 e il punto finale in 4 di v dp.

Visto che nel liquido, in questa trasformazione nella pompa il volume specifico cambia molto poco, si può portare questo volume specifico fuori dall’integrale e quindi scrivere scrivere questa espressione. Questa quantità sarà positiva.

Ci sono delle caratteristiche di questo impianto che sono poco reali. Abbiamo fatto l’ipotesi di trasformazione reversibile e quindi quasi-statica, però c’è una caratteristica di questo impianto che è particolarmente poco realistica ed è il fatto di poter sperare di espandere un fluido bifase in una turbina. 

Ci sono delle turbine che sono fatte per la fase liquida e l’esempio è quella della turbina Pelton e ci sono delle turbine che sono fatte per la fase aeriforme e sono diverse. Nel diagramma T - s è molto comodo da usare quando si hanno a che fare con trasformazioni di tipo isoentropico, quello che conviene fare è estendere il riscaldamento del vapore nella caldaia per ottenere, anziché vapore secco, vapore surriscaldato. La cosa migliore sarebbe che avesse l’entropia, sempre immaginando delle trasformazioni di tipo isoentropico in turbina, avesse la caratteristica del vapore saturo secco alla bassa pressione.

Se questa è la campana della coesistenza della fase liquida e della fase vapore nel diagramma T - s, disegniamo le isobare. Abbiamo due livelli di pressione per il nostro impianto; per passare dal livello basso di pressione al livello alto, qui ci mettiamo una trasformazione eseguita in una pompa. Nell’esercizio 8.1 l’espansione avveniva tra il vapore saturo secco del punto 1 al punto 2, quello che si fa è di prolungare il riscaldamento in caldaia e andare nel campo dei vapori surriscaldati e fermarsi, almeno se l’espansione fosse perfettamente isoentropica e fermarsi in corrispondenza dell’entropia caratteristica del vapore saturo secco alla pressione più bassa dell’impianto, in modo da intercettare il punto 2 proprio sulla curva superiore della campa di coesistenza delle due fasi.

Abbiamo un’espansione in turbina che è puramente eseguita da un vapore. Quindi la turbina funziona bene e non ci sono problemi di rendimento in questo dispositivo. E poi nel condensatore, tratto 2 - 3 facciamo condensare completamente il fluido.

Un’altra cosa che succede è che ci si allontana da un comportamento simile a quello del ciclo di Carnot, definito come un ciclo che si scambiano calore in due sole trasformazioni, il calore scambiato nelle due trasformazioni è il calore scambiato isotermicamente e altre due trasformazioni sono adiabatiche reversibili, quindi isoentropiche. In effetti, se pensiamo al diagramma dell’esercizio 8.1, eravamo molto vicini a quelle condizioni. L’unico tratto non isotermo era dall’uscita della pompa fino al raggiungimento del liquido sottoraffreddato.

Dal punto di vista del rendimento di riferimento ideale, così stiamo un po’ peggiorando le cose. A proposito del rendimento, conviene fare un’altra osservazione.

Questa è una macchina diretta che serve per generare lavoro. Il rendimento è l’effetto utile dal lavoro ottenuto, diviso la spesa, che in questo caso si considera come il calore consumato alla caldaia. Applichiamo il primo principio della termodinamica e possiamo scrivere il lavoro netto attraverso la differenza dei calori scambiati. Il rendimento è pari al valore assoluto della potenza termica netta, diviso la potenza termica scambiata in caldaia. Questa sarà pari alla potenza della turbina, meno la potenza nella pompa, diviso il calore scambiato nel boiler.

Applico il 1° Principio della Termodinamica e posso scrivere il numeratore, anziché in termini di potenza termica meccanica, in termini di potenza termica. E quindi scriverò il calore al boiler, meno il calore al condensatore, diviso il valore assoluto del calore al boiler. Possiamo fornire un’interpretazione grafica del rendimento. Basta ricordarsi che tutte le trasformazioni in questo ciclo, sono di tipo reversibile, quindi il calore scambiato nei vari tratti, 4 - 1 o 2 - 3 si può scrivere come l’integrale della temperatura a cui avviene lo scambio termico in dS, per definizione di entropia o per applicazione delle equazioni del bilancio dell’entropia. Q al condensatore sarà Q₂₃ in valore assoluto, Q alla caldaia sarà Q₄₁ in valore assoluto. Q₄₁, ammesso che questo livello di temperatura corrisponda a 0 K nel grafico, Q₄₁ sarà rappresentata da quest’area sottesa, sotto la curva 1 - 4 e il calore scambiato al condensatore sarà rappresentato da quest’area sottesa.

Per migliorare il rendimento, bisognerà rendere piccolo il calore scambiato al condensatore, quindi dobbiamo abbassare la temperatura di condensazione. La scelta della posizione geografica dove installare un impianto di questo tipo è importante, perché è molto importante avere accesso a delle sorgenti a temperatura bassa per avere un rendimento alto. Invece nella parte superiore, potremmo anche aumentare il calore scambiato nella caldaia, ma costa molto in termini di combustibile, inoltre il livello dell’area che sta sotto all curva 4 - 1, dipende anche da altre caratteristiche tecnologiche che hanno a che fare con la resistenza del materiale alle alte temperature.

Se al denominatore, il calore nel Boiler viene rappresentato dall’area, comincia ad avere importanza la temperatura media nella caldaia. Quell’area posso calcolarla come la temperatura media della trasformazione da 4 a 1 per la variazione di entropia per lo stato 4 e lo stato 1. La temperatura del punto critico dell’acqua è di poco meno di 400°C; le palette delle turbine e le strutture delle caldaie riescono a resistere a temperature più elevate. C’è un ulteriore vantaggio in questo surriscaldamento; io posso continuare ad utilizzare come fluido evolvente l’acqua, che ha una temperatura critica non altissima. L’utilizzo dell’acqua nelle tubazioni degli impianti a vapore è considerato vantaggioso e si può migliorare il rendimento attraverso questo surriscaldamento. A questo punto, se ragioniamo nei termini di temperatura media, alziamo la temperatura media.

Questo tipo di cicli sono ideali e potremmo aggiungere delle caratteristiche realistiche a questi conti. La prima cosa che ci viene in mente è il rendimento isoentropico che avevamo definito per una turbina e per un compressore, quando stavamo finendo di parlare delle equazioni di bilancio di entropia di sistemi aperti. Tra le tante cose molto idealizzate in queste rappresentazioni, un aspetto molto idealizzato è l’espansione in turbina, dove si ha un fluido a contatto con delle pati meccaniche ed è sicuro che ci saranno fenomeni di dissipazione e in generale l’entropia aumenterà in questo tratto. La trasformazione 1 - 2 è di tipo ideale, quindi scriviamo al pedice di 2 s, che significa che quella è una trasformazione ideale isoentropica. La realtà è un po’ diversa, avrò una deviazione verso valori maggiori di entropia e immaginiamo di mantenere come punto finale il punto alla pressione del condensatore, che è associata, attraverso alle tabelle, strettamente alla temperatura di condensazione e quindi a seconda di dove si installa questa centrale, è uno dei parametri che vengono fissati nel processo.

E quindi abbiamo definito un rendimento isoentropico della turbina, come il rapporto tra h₁ - h₂, diviso h₁ - h₂s. Possiamo ancora andare ad intervenire sulla nostra espressione del rendimento per il ciclo. Stiamo facendo un minuscolo passo per allontanarci brevemente da una descrizione molto idealizzata. Il rendimento può essere scritto come il rapporto tra il lavoro netto, diviso il calore scambiato al boiler. Se h₂s è la quantità isoentropica, un rendimento un po’ più realistico di questo, prevede che il primo termine vada moltiplicato per il rendimento isoentropico della turbina. Questo, anziché chiamarlo rendimento ideale, possiamo chiamarlo rendimento un un apice. Abbiamo anche definito il rendimento isoentropico della pompa come una quantità minore di 1.

Quindi il rendimento meno ideale, η’’, si scriverà dividendo il numeratore, che è quello che riguarda la potenza meccanica spesa nella pompa, per il rendimento isoentropico della pompa. La trasformazione più reale della pompa si trasforma in una curva, supponiamo per ipotesi che il realismo non intacchi le prestazioni della pompa. Quindi rimaniamo fisso sul livello di pressione iniziale. Sposteremo il punto 4.

Si possono dividere in due diversi impieghi. Il ciclo inverso funziona più o meno come il ciclo a vapore che abbiamo visto in precedenza, solo percorso anziché in senso orario, percorso in senso antiorario. La particolarità dei cicli inversi sta nel fatto che possono essere usati per scopi diversi:

• Uno è il fatto di sottrarre calore da una regione più fredda rispetto all’ambiente che la circonda, è il caso del frigorifero.

• L’altro è il caso di pompare calore, sottraendolo da una sorgente più fredda e questo è il caso delle pompe di calore.

Facciamo uno schema. I cicli inversi possono essere utilizzati come frigoriferi e come pompe di calore. Questo ha degli effetti sulle caratteristiche specifiche dell’impianto e avrà anche un certo effetto sulla definizione di rendimento. Mentre l’energia spesa sarà sempre la stessa e sarà l’energia che si spende al compressore, varia il nostro effetto utile; in un caso avremo al numeratore il calore sottratto all sorgente fredda, nell’altro caso il calore ceduto alla sorgente che stiamo riscaldando. Questa differenza ha pochi riflessi teorici, ha un riflesso sulla rappresentazione del coefficiente di prestazione, cioè il rendimento.

Si comincia a ragionare su cicli che hanno notevoli caratteristiche di idealità. Quindi partiremo a descrivere un circuito con rendimento elevatissimo, che assomiglia al ciclo di Carnot e dove faremo l’ipotesi di trasformazione di tipo reversibile. Scopriremo che se in un tratto di tubazione osserviamo che il flusso è accompagnato da una differenza di pressione ai suoi estremi, questo è dovuto a dei fenomeni di dissipazione viscosa, che sono dei fenomeni dissipativi. Questo significa che se vogliamo essere coerenti e facciamo l’ipotesi di trasformazioni di tipo reversibile per esempio nel compressore e in una turbina, dovremmo ipotizzare che la differenza di pressione lì dentro sia nulla. Perché posso ragionare per assurdo, se mettessi una differenza di pressione, la dissipazione viscosa l’ho appena eliminata attraverso l’ipotesi di trasformazione di tipo reversibile. D’altra parte, se vogliamo mantenere gli scambi termici a temperatura costante, per cercare almeno all’inizio di avvicinarci ad un comportamento del tipo del ciclo di Carnot inverso, si può dimostrare che anche il ciclo di Carnot inverso ha coefficiente di prestazione più elevati di tutti gli altri cicli e allora se è così, le trasformazioni, oltre ad essere delle trasformazioni dentro al condensatore e all’evaporatore, oltre a essere a pressione costante, le vogliamo anche a temperatura costante. Però questo tipo di trasformazioni le abbiamo osservate solo in un caso, nel caso in cui il fluido evolve attraverso un cambiamento di fase, cioè nell’evaporazione e nella condensazione. Il solo fatto di fare queste due ipotesi:

1. Ipotesi di trasformazioni reversibili

2. Stiamo cercando di riprodurre il ciclo inverso di Carnot. Nel ciclo inverso di Carnot è inclusa l’ipotesi di trasformazione reversibile, ma ci servono degli scambi termici a temperatura costante.

Da queste due ipotesi si deve dedurre che gli scambi termici devono avvenire in trasformazioni a temperatura e a pressione costante. L’unica possibilità, sempre utilizzando il diagramma T - s, quello che devo dedurre è che durante gli scambi termici devo muovermi lungo i tratti orizzontali, perché sono gli unici tratti dove osservo sia temperatura, sia pressione costante.

Partiamo dal ciclo frigorifero, quindi la trasformazione alla bassa temperatura sarà quella che scambierà calore con la stanza e con l’ambiente che vogliamo raffreddare. Se vogliamo raffreddare l’ambiente, vuol dire che il nostro sistema assorbirà calore. Se assorbe calore, il fluido anziché andare dalla zona di vapore verso il liquido, andrà dall’altra parte, dovrà vaporizzare. Adesso se vogliamo chiudere il ciclo, seguendo esattamente il ciclo di Carnot, dovremmo introdurre due trasformazioni di tipo isoentropico.  

Nella fase tra 4 e 1 avremo un evaporatore ed è la serpentina dentro al frigorifero che raffredda l’aria e le bevande. Quindi c’è un tubo, uno scambiatore di calore, dove il fluido che passa evapora.

Subito dopo avremo un compressore, avremo a che fare con un flusso bifase che non è facile da trattare, però idealmente da lì in poi avremo un compressore che eleva la pressione di un fluido aeriforme. Nel tratto 2 - 3 avremo un condensatore, come l’oggetto che sta nella parte di bassa pressione del ciclo Rankine e in 3 - 4 una turbina per recuperare un po’ di lavoro. Quindi possiamo disegnare un evaporatore in basso, un compressore a destra, un condensatore in alto e si spera che si possa ottenere un po’ di potenza meccanica da una turbina. Possiamo immaginarci di disegnare sullo stesso albero la turbina e il compressore, in modo da immaginare in una parte che il lavoro consumato al compressore venga immediatamente restituito dalla turbina.

Riprendiamo un attimo la temperatura media nella caldaia del ciclo Rankine. Nel nostro diagramma T - s disegniamo la regione di compresenza della fase liquida e della fase di vapore. Gli impianti di possibile applicazione hanno una trasformazione in caldaia che comprende un riscaldamento del liquido e una parte di surriscaldamento.

Se quella è una trasformazione di tipo reversibile, allora si può scrivere il calore scambiato alla caldaia, attraverso la variazione di entropia e la temperatura a cui viene scambiato il calore. Se 4 - 1 è reversibile, allora il calore scambiato tra 4 - 1 nella caldaia è l’integrale di T dS tra 4 e 1. Immaginiamo di poter definire una T media tra il tratto  4 e 1. Se devo calcolare questo integrale per calcolare il calore, significa che dal punto di vista grafico, il calore scambiato è rappresentato da un’area. Se definisco in modo appropriato una temperatura media, quella stessa area può essere calcolata come l’area sottesa dalla temperatura media nello stesso intervallo di entropia, cioè tra l’entropia del punto 4 e l’entropia del punto 1.

Visto che l’espressione del rendimento si può scrivere 1 meno il calore ceduto alla sorgente fredda, diviso il calore acquisito dalla sorgente calda, visto che vorremmo che questa quantità sia essere grande, per avere un rendimento elevato, allora conviene elevare la temperatura media. Per elevare la temperatura media, protraggo il surriscaldamento, metto il punto 1 a temperatura sempre più elevata. Da questo punto di vista, per aumentare il rendimento, il fatto di usare vapore surriscaldato all’ingresso della turbina, ha un duplice effetto positivo: aumenta il rendimento e si usa un vapore in turbina, invece che un liquido bifase.

A questo punto possiamo calcolare il coefficiente di effetto utile per il ciclo di Carnot, COP, Coefficient Of Performance. Sarà definito come il rapporto tra l’effetto utile e se usiamo il ciclo frigorifero, sarà il calore sottratto alla bassa temperatura e al denominatore la spesa, che sarà la potenza consumata nel compressore, meno la potenza recuperata in turbina. Applicando il 1° Principio della Termodinamica, possiamo fare come abbiamo fatto anche nei casi dei cicli diretti e trasformare quella differenza di potenza meccanica in una differenza di potenza termica. Si applica il 1° Principio della termodinamica, si ipotizza che la trasformazione è ciclica.

Avremo uno scambio termico all’evaporatore, cioè QL punto, avremo uno scambio termico del condensatore, avremo un ingresso di potenza meccanica al compressore che chiamiamo WC punto e poi un’uscita di potenza meccanica della turbina che chiamiamo Wt punto. In valore assoluto dovrà valere che QL punto + WC punto in valore assoluto, deve essere uguale a Wt punto + QH punto. Osservando anche graficamente i flussi di energia, scriviamo l’equazione che gli eguaglia e quindi WC punto - Wt punto sarà pari a QH punto meno QL punto.

Possiamo esprimere questi calori, visto che nel caso del ciclo di Carnot non abbiamo bisogno di fare l’integrale, perché le temperature a cui avvengono gli scambi termici sono sempre costanti. Quindi posso scrivere QL punto come la temperatura bassa, cioè TL per la differenza di entropia tra l’ingresso e l’uscita dentro all’evaporatore. Quindi QL punto sarà TL per s₁ - s₄.

Invece quello ad alta temperatura, QH punto sarà m punto per TH e la differenza di entropia s₂ - s₃, che deve essere uguale a s₁ - s₄. Possiamo sostituire in β e si potranno semplificare tutti i termini di portata in massa e tutti i termini di variazione di entropia, perché nello stesso modo appariranno numeratore e denominatore, il termine di portata in massa e il termine di variazione di entropia. Il che significa che β potrà essere scritto TL/(TH - TL). Questo sarà il coefficiente di prestazione per un ciclo inverso di Carnot.

Non vale più l’idea che quello debba essere per forza minore o maggiore di 1. Ad esempio, all’interno del frigorifero ci saranno 5°C positivi e fuori dal frigorifero ci saranno 25°C e quindi il denominatore fa 20.  β può essere maggiore di 1. In realtà è maggiore o minore di 1 a seconda del range di temperature in cui si opera. Se si opera più vicini allo zero assoluto, β ha più probabilità di diventare minore di 1. Quindi non pensiamo più ad un rendimento come quantità che è sempre minore di 1, ma pensiamola come una quantità che può essere maggiore di 1. Questo non significa niente dal punto di vista del secondo principio della termodinamica, significa semplicemente che per sottrarre una certa quantità di calore da una sorgente fredda, devo spendere un po’ di lavoro. Questo lavoro è scritto in W, esattamente come il calore che sottraggo alla sorgente fredda, questa quantità di lavoro è più piccola.

Anche in questo caso, come avevamo visto precedentemente, possiamo introdurre una rappresentazione o un’interpretazione grafica del rendimento. Il coefficiente di prestazione è pari al calore scambiato alla sorgente fredda, diviso il calore scambiato alla sorgente calda, meno la sorgente fredda. Significa che se facciamo il disegno nel diagramma T - s, disegniamo la campana della zona di compresenza del liquido con il vapore. Disegniamo all’interno di questo il nostro ciclo di Carnot, che viene percorso in senso antiorario.

Al numeratore abbiamo l’effetto utile e quindi al numeratore, ammesso che l’asse orizzontale corrisponda a 0 K, l’effetto utile è rappresentato dall’area verde e invece il denominatore è rappresentato dalla differenza tra la curva sottesa della curva più alta (in azzurro), quindi da quello che avviene in condensatore, meno la curva sottesa in basso (in verde), che è quello che avviene all’evaporatore, e quindi il rapporto sarà tra la superficie di prima e l’area interna al ciclo (in arancio).

E anche da qui possiamo immaginare come il fatto che sia maggiore o minore di 1, dipende dalla sua distanza dallo zero assoluto.

Anche qui abbiamo grande idealità, infatti abbiamo fatto l’ipotesi che tutte le trasformazioni siano reversibili, abbiamo fatto l’ipotesi che si possa costruire un compressore che possa comprimere un fluido bifase, abbiamo fatto l’ipotesi che sia possibile fare la stessa cosa con la turbina. Adesso andiamo a smontare queste caratteristiche e ci andremo ad avvicinare a qualcosa che sia più reale.

Anche nel caso in cui potessimo contare su quello che sia davvero un ciclo inverso di Carnot e quindi se davvero potessimo operare secondo trasformazioni che hanno questa forma rettangolare perfetta, almeno nello scambio termico con l’ambiente, dovremo tenere conto di una certa differenza di temperatura per assicurare lo scambio termico.

Se vogliamo avere un frigorifero a 4°C perché il latte non vada a male, il fluido che passa nella serpentina dev’essere a temperatura più bassa e poi se il condensatore deve scambiare calore con l’ambiente, il fluido dentro quel condensatore dev’essere più caldo.

Noi ci immaginiamo un ciclo di questo tipo; questo frigorifero in realtà potrà funzionare tra due temperature indicate dalle linee rosa. Nella trasformazione inferiore, siamo dentro al frigorifero e dovremo avere una temperatura più bassa. Nella trasformazione del condensatore, quindi la curva più elevata, dovremmo avere una temperatura più elevata e quindi potremmo inventarci un rendimento che tiene conto di questa differenza di temperatura per gli scambi termici e quindi avere un coefficiente di prestazione che anziché essere β, tenga conto di queste cose e quindi sarà β’. La prima caratteristica di scarso realismo di questo tipo di cicli è che gli scambi termici, almeno per gli ambienti esterni, vanno eseguiti su differenze finite di temperature.

Sia la turbina, sia il compressore non funzionano bene nelle trasformazioni con flussi bifase, allora quello che succede è che cercheremo di far lavorare il compressore nella zona del vapore e quindi il compressore lavorerà portando il vapore in uscita dall’evaporatore, in una regione di vapore surriscaldato. Il condensatore sarà suddiviso in due parti, una prima dove il vapore surriscaldato a pressione costante si raffredda, fino a raggiungere la condizione di vapore saturo secco e poi una seconda parte dove avviene la condensazione. Tra 2 e 2’ avremo un raffreddamento, tra 2’ e 3 avremo una condensazione.

Per quanto riguarda quello che avviene nella turbina, alla fine si ritiene sia più utile sprecare completamente l’energia del fluido nelle condizioni 3, quindi anziché far espandere, quindi far diminuire la pressione del fluido dalle condizioni 3 nella zona di alta pressione del circuito alle condizioni 4, quindi anziché far espandere, cerando di estrarre del calore, si getta via completamente il contenuto energetico dell’alta pressione del fluido nel punto 3 e questo viene fatto attraverso una valvola di laminazione, che è un tratto di tubo di sezione particolarmente stretta  o un tratto di tubo dove si possono introdurre delle perdite, cioè delle differenze di pressione dovute alla dissipazione viscosa. Io ho un fluido al livello di pressione del punto 2 e 3, quindi ad alta pressione, adesso per chiudere il ciclo lo dovrei portare alla pressione del punto 1. La soluzione di poter mettere una turbina lì in mezzo non funziona, perché spendo molto per costruire la turbina e questa non restituisce sufficiente energia. L’alternativa è di prenderla e di buttarla via: si generano delle differenze di pressione attraverso i fenomeni di tipo dissipativo. Il fatto che per garantire che il flusso di un fluido dentro alla tubazione o dentro a qualsiasi condotto vada da una parte all’altra, il fatto perché questo avvenga ci sia bisogno di una differenza di pressione all’estremità del tubo, ed è legato ai fenomeni dissipativi che esistono quando ho un fluido dentro un tubo. Allora l’idea è stata di enfatizzare questi fenomeni dissipativi, fino a raggiungere una differenza di pressione simile a quella di cui ho bisogno tra il punto 3 e il punto 4.

Nessuno si può sognare di rappresentare questo tipo di trasformazione come una trasformazione di tipo reversibile, perché le caratteristiche di questa trasformazione stanno proprio nella sua irreversibilità.

Quello che si fa per chiudere il ciclo è di utilizzare una valvola di laminazione, che viene rappresentata con una curva tratteggiata. La curva tratteggiata sta a simboleggiare il fatto che non si passa tra stati di equilibrio, è una trasformazione irreversibile e l’irreversibilità la si osserva anche dal fatto che in quella trasformazione aumenta l’entropia, mentre si può supporre che lo scambio termico sia nullo. Il rendimento isoentropico della turbina non significa che nella turbina si scambia calore, quando scriveremo i bilanci dell’entropia per i sistemi chiusi e per i sistemi aperti, l’entropia può variare per due motivi: o per lo scambio termico, il flusso di entropia o per via della produzione di entropia. In questo caso, esattamente per la turbina dove c’è l’aumento di entropia, quell’aumento di entropia non è dovuto al fatto che non riesco a garantire che quella trasformazione sia adiabatica, ma al fatto che c’è una produzione di entropia, associata alla presenza di questi fenomeni dissipativi, cioè la dissipazione viscosa. Per effetto della presenza della viscosità, quindi per una resistenza dei fluidi al moto, un po’ di energia cinetica eventualmente posseduta dal fluido, viene trasformata in energia termica. Si aumenta il fluido spontaneamente per effetto della viscosità, in moti dove gli effetti viscosi sono elevati, si trasferisce poi l’energia meccanica, posseduta dal fluido, in energia termica. Questo non trasgredisce il 1° Principio della termodinamica, perché non stiamo distruggendo energia, stiamo variando semplicemente la forma dell’energia; l’energia meccanica non viene buttata via, si trasforma in energia termica e a quel punto il secondo principio della termodinamica ci dice che è meno preziosa quell’energia, perché non tutta può essere usata per generare lavoro.

E quindi il ciclo si conclude in questo modo e se dovessimo riguardare l’espressione del rendimento, dovremo ritoccare il rendimento, perché il lavoro recuperato nella turbina diventa 0.

Proviamo a riprendere l’interpretazione delle aree, per descrivere il calore scambiato nelle varie fasi. Se io anziché espandere con una turbina o un qualsiasi oggetto ad entropia costante, sono costretta ad aumentare l’entropia del punto 3 e del punto 4, perdo calore scambiato alla sorgente a temperatura bassa. Prima se dovevo misurare, per una certa portata in massa di fluido, il calore che riuscivo a sottrarre alla mia cella frigorifera, prima potevo dire che l’area è questa, adesso che ho dovuto utilizzare la valvola di laminazione, l’area è diminuita e devo sottrarre una certa potenza termica e quindi mettere una portata in massa maggiore, con tutti gli svantaggi annessi. Significa che il lavoro di compressione sarà maggiore.

Dietro al frigorifero c’è un tubo di rame avvolto. Questa è la valvola di laminazione. La trasformazione 3 - 4 avviene in questo tubo.

Andiamo a vedere le caratteristiche di questa trasformazione che avviene nella valvola di laminazione. Possiamo fare riferimento ai nostri strumenti di analisi e ci può essere utile il primo principio per sistemi aperti, perché in effetti il tubicino è un sistema aperto, con un ingresso e un’uscita.

In condizioni stazionarie e con un solo ingresso e un’uscita, abbiamo scritto il 1° Principio per sistemi aperti, che dice questo. È un caso stazionario, quindi abbiamo lo 0, unico flusso, m punto senza pedici indica questo, poi abbiamo la differenza di entalpia specifica all’ingresso e all’uscita del sistema e poi altro calore e altro lavoro scambiato dal sistema. Il lavoro prodotto sarà nullo; è stata questa la scelta, quindi preferisco non produrre lavoro, perché tanto riesco a produrlo con rendimenti così bassi e a così alto costo che non mi serve. Quando abbiamo discusso del motivo per cui l’entropia aumenta nella trasformazione obliqua, si può ipotizzare che il processo nella valvola di laminazione sia un processo senza scambio termico. Abbiamo scoperto che la valvola di laminazione è un processo isoentalpico e con aumento di entropia. Quindi l’entalpia d’ingresso è uguale all’entalpia di uscita e l’entalpia di ingresso è minore dell’entalpia d’uscita. Poi possiamo scrivere che l’aumento di entropia, visto che lo scambio termico è nullo, non può che essere dovuto ad una produzione di entropia. 

Adesso faremo un confronto tra le varie proprietà delle diverse trasformazioni per il caso del ciclo di Carnot, che è un ciclo irrealizzabile in queste condizioni e ha qualche caratteristica di realtà.

Discutiamo della trasformazione 3 - 4. Sappiamo che quello che speravamo fosse il lavoro ottenuto in turbina, in realtà è zero, sappiamo che h₄’ = h₃ e sappiamo che s₄’ > s₃. Pensiamo alla trasformazione 1 - 2; la compressione avviene in un fluido surriscaldato. Si può introdurre un rendimento isoentropico di compressione e tenere conto che la trasformazione vera non sarà isoentropica, ma con un aumento di entropia. Quindi la trasformazione vera, anziché essere da 1 a 2’, potrà essere quella tracciata in obliquo.

Invece per la trasformazione 2 - 3, oppure 2’ - 3, quello che possiamo dire è che a causa di limiti tecnologici, abbiamo dovuto allontanarci dal ciclo di Carnot inverso, cioè quello che scambia calore sempre con un’unica sorgente e in particolare il tratto tra 2 ’- 2 è uno scambio di calore a diversi livelli di temperatura, quindi dal punto di vista ideale dobbiamo immaginarci una sequenza infinita di sorgenti a temperatura via via decrescente.

Quindi 2 sarebbe il punto caratteristico del ciclo di Carnot, 2’ è il ciclo con il surriscaldamento del vapore e 2’’, teniamo conto dell’aumento di entropia del compressore.

Adesso faremo due cicli di motori a combustione interna, cioè il ciclo Otto e il ciclo Diesel, oppure il ciclo a combustione interna ad accensione comandata (ciclo Otto) e ciclo del motore a combustione interna ad accensione spontanea oppure a compressione (ciclo Diesel). Sono tutti abbastanza simili tra di loro e poi faremo anche un altro tipo di ciclo, che si chiama ciclo Joule. Questi tre cicli sono simili e di questi faremo operazioni abbastanza semplici e quindi la definizione, le ipotesi e il calcolo dei rendimento.

Per il caso del motore a combustione interna ad accensione comandata e per il caso del ciclo Joule, quindi il ciclo delle turbine a gas, faremo anche la dimostrazione del rendimento, invece per il motore a combustine interna ad accensione spontanea e quindi per il ciclo Diesel, non svilupperemo completamente il rendimento e quindi non viene richiesto all’esame.

Faremo una rappresentazione di quello che avviene nel cilindro di un motore a scoppio con una candela che induce l’accensione. Sono motori a 4 tempi; di questi 4 tempi solamente 2 sono tempi attivi, cioè quelli indispensabili per il moto sono la compressione, l’accensione della miscela attraverso la candela e poi dall’accensione in poi, la combustione e l’espansione. E poi ci sono due tempi che sono passivi, per cui c’è lo scarico, a quel punto si apre la valvola di scarico, poi si chiude la valvola di scarico e si apre la valvola di aspirazione, poi c’è il tempo di aspirazione e a quel punto siamo pronti a ripartire da capo. 

Nella rappresentazione a sinistra c’è il cilindro con il pistone e a destra c’è una rappresentazione piuttosto realistica di quello che avviene dentro al pistone. Le ipotesi che si fanno per poter rappresentare quello che avviene dentro un cilindro nel piano p - V e poi vedremo anche che anche nel piano T - s sono molte; quelle che già si fanno nella rappresentazione a sinistra, che include anche lo scarico e l’ispirazione, sono per esempio il fatto che ciascun punto, quindi che ciascun angolo di manovella sia rappresentato da una situazione di equilibrio, cosa che non avverrà nella realtà. 

Equilibrio significa che in ciascun punto di quella linea rossa posso identificare un unico valore di pressione e un unico valore di volume, un unico valore di temperatura che rappresenta interamente il sistema. Possiamo definire un valore del volume totale del sistema, ma sarà il volume specifico sarà diverso, la pressione sarà diversa e la temperatura uguale. Il fenomeno è un fenomeno turbolento, tridimensionale, che non è rappresentabile se non in modo poco descrittivo dei dettagli di quello che avviene, quindi non è possibile rappresentarlo con un unico valore di pressione, di temperatura e di volume specifico.

Nel disegno vengono descritti i punti dove avviene l’apertura della valvola di scarico e l’apertura della valvola di aspirazione e anche la chiusura. Poi c’è un po’ di nomenclatura, quello che si chiama alesaggio, bore; PMI, bottom dead center; PMS, top dead center. Quello inferiore è quello con il volume maggiore e superiore è quello con un volume minore. Crank mechanism sarebbe sistema della manovella.

Questa è una rappresentazione molto idealizzata, faremo delle rappresentazioni ancora più idealizzate e parleremo di ciclo ideale ad aria standard.

Ciclo ideale significa che quella rappresentazione curvilinea verrà sostituita da due trasformazioni isoentropiche e da trasformazioni a volume costante, quindi isocore.

Ad aria standard significa che il fluido che si supporrà che volta nel cilindro sarà aria, mentre in realtà non è vero, perché l’aria viene arricchita di materiale combustibile e rappresenta solo il comburente. Significa che si suppone che le proprietà dell’aria siano quelle dell’atmosfera standard e quindi ad una certa temperatura fissata e alla pressione atmosferica e si supporrà che queste caratteristiche permangano per tutto il ciclo. Ovviamente questo non è vero, perché i rapporti di compressione sono almeno una decina, quindi si raggiungono pressioni 8 volte più grandi della pressione atmosferica nel cilindro. Si farà l’ipotesi che le proprietà termofisiche del gas siano quelle dell’aria standard e rimangano costanti.

Dal fatto che due trasformazioni sono isoentropiche, si farà l’ipotesi anche che il gas sia un gas perfetto, inoltre si eliminano i due tempi passivi dello scarico e dell’aspirazione e vengono sostituiti con una trasformazione con uno scambio termico, una trasformazione isocora a volume costante con scambio termico.

Quello che si farà è di sostituire quei tratti che vengono indicati nella figura con la trasformazione disegnata in rosso, indicati con l’espansione con il nome di compressione ed espansione e da due trasformazioni di tipo  adiabatico reversibile o isoentropiche, che vengono unite da due trasformazioni di tipo isocoro a volume costante, cioè due segmenti verticali in questa rappresentazione. In questi due tratti verticali avvengono degli scambi termici, nel PMS, quindi a massima pressione e con il minimo volume, avviene uno scambio termico positivo, nel senso che c’è una sorgente esterna che fornisce calore al nostro sistema. Questa rappresentazione ideale rappresenta la combustione che avviene dentro al cilindro, poi il tratto di scarico e di aspirazione viene sostituito con uno scambio termico. Quello che avviene in realtà è che si scaricano gas combusti caldi e si aspira l’aria a temperatura ambiente. Quello che avviene nel ciclo ideale ad aria standard è che l’aria scambia calore con l’esterno, fino a raggiungere le condizioni ambientali e questo scambio termico avviene idealmente rappresentato da una trasformazione isocora.

Disegniamo queste trasformazioni sia nel diagramma p - v, sia nel diagramma T - s e poi cercheremo di calcolare il rendimento.

Nel diagramma p - v abbiamo due trasformazioni adiabatiche reversibili e le possiamo rappresentare con delle iperboli un po’ più inclinate rispetto a quelle che vengono descritte con la legge p v = cost, perché queste sono p v γ = cost, dove γ è il rapporto tra cp e cv e per l’aria questo rapporto fa circa 1.4. Quindi queste sono le due curve che sostituiscono quelle curve della linea tracciata in rosso, quelle che venivano chiamate compression e power e noi le chiamiamo trasformazioni di compressione e trasformazioni di espansione.

Vengono unite da due segmenti verticali che sono due trasformazioni di tipo isocoro e rappresentano le due trasformazioni di scambio termico, una per la combustione e l’altra per lo scarico e la nuova aspirazione.

Il punto 1 è il PMI. Questi volumi sono fissati, il volume grande è il volume del PMI e il volume piccolo è il volume del PMS. v è un volume specifico, ma lo possiamo rappresentare come il volume del cilindro e quindi come volume complessivo, misurato in m³.

Questa rappresentazione può essere riprodotta anche nel diagramma T - s. Le trasformazioni di compressione e di espansione sono trasformazioni senza scambio termico che nel caso reversibile vengono rappresentate da delle isoentropiche. Le isoentropiche sono rappresentate tratti verticali, le isocore sono trasformazioni a temperatura crescente quando l’entropia cresce e possiamo rappresentarle in questo modo.

Possiamo scrivere i nomi delle trasformazioni, quindi 1 - 2 sarà la compressione, 2 - 3 sarà la combustione, 3 - 4 sarà l’espansione e 4 - 1 sarà scarico e aspirazione.

Quello che possiamo fare è riprendere il 1° Principio della Termodinamica e quindi osservare che in questi due diagrammi possiamo rappresentare sia il calore scambiato nelle varie trasformazioni, sia il lavoro scambiato nelle varie trasformazioni.

Possiamo prendere il 1° Principio della Termodinamica per sistema aperti; per un sistema nel caso stazionario possiamo scrivere 0 = m punto per entalpia in gesso meno quella in uscita, + Q punto - W punto. E poi possiamo scrivere il primo principio della termodinamica per trasformazioni di tipo reversibile in termini differenziali e quindi scriveremo che la variazione di energia interna è uguale allo scambio di calore con l’esterno - lo scambio di lavoro. Se le trasformazioni sono di tipo reversibile, questo si può scrivere T dS - p dV. Questo significa che nelle trasformazioni isoentropiche avremo che dU = Tds = ∂Q.

E invece nelle trasformazioni a volume costante, avremo dU = T dS e così scopriamo che nelle trasformazioni dove non c’è scambio termico, W punto, diviso m punto, è uguale alla variazione di entalpia.

E nelle trasformazioni dove il volume rimane costante, avremo che Q punto diviso m punto è uguale a - la differenza di entalpia.

Quindi possiamo scrivere il rendimento per queste trasformazioni, che è definito come il lavoro netto, diviso il calore scambiato ad alta temperatura e questo si può scrivere come il calore scambiato ad alta temperatura, meno il calore scambiato a bassa temperatura, diviso il calore scambiato ad alta temperatura e quindi il calore scambiato ad alta temperatura sarà h₃ - h₂.

Il calore scambiato a bassa temperatura, quindi dello scarico e dell’aspirazione sarà h₄ - h₁ e quindi il rendimento in questo caso sarà 1 - (h₄ - h₁)/(h₃ - h₂). A questo punto  possiamo utilizzare le ipotesi che abbiamo fatto:

1. Utilizzeremo il fatto che l’aria si comporta come un gas perfetto e quindi le variazioni di entalpia sono funzioni esclusive della temperatura.

2. Utilizzeremo anche l’ipotesi che questa aria è aria alle condizioni standard, quindi cp non è una funzione della temperatura, ma è costante.

L’espressione del rendimento che abbiamo scritto in precedenza, si può riscrivere in modo diverso.

cp è costante e quindi si può semplificare. Possiamo sfruttare il fatto che le trasformazioni 1 - 2 e 3 - 4 sono isoentropico e per questo valgono delle leggi specifiche. Possiamo riconoscere che v₁ = v₄ = vi, cioè il volume del PMI e poi possiamo riconoscere che v₃ = v₂ = vs, che sarà il volume del PMS.

T₁/T₂ = T₄/T₃ e questo è un risultato generale dei cicli simmetrici. Nel senso che ogni volta che abbiamo un ciclo che è formato da due trasformazioni di un tipo e altre due trasformazioni di un altro tipo alternate, il prodotto delle temperature ai due estremi opposti di questi cicli è uguale a T₃ T₁ = T₂ T₄. Quindi le temperature con pedici dispari, moltiplicate tra loro, sono pari alle temperature con pendici pari, moltiplicate tra loro. Andiamo a vedere la nostra espressione del rendimento, dove la parentesi si può cancellare, perché T₃ T₁ = T₂ T₄.

Il rendimento del ciclo Otto, che è un ciclo ideale ad aria standard e che rappresenta il ciclo dei motori a combustione interna ad accensione comandata, è uguale a 1 - T₁/T₂. La trasformazione 1 - 2 è di tipo isoentropico. v₁/v₂ > 1 e v₂/v₁ < 1. Esiste un rapporto, che si chiama rapporto volumetrico di compressione, che per un motore a combustione interna è pari al rapporto tra il volume del PMI, diviso il volume del PMS, quindi maggiore di 1 ed è pari, in termini di volumi specifici, a v₁/v₂ e quindi il rendimento è pari a 1 - il rapporto volumetrico di compressione alla γ - 1.

Possiamo osservare che γ - 1 è un valore minore di 1, ma maggiore di 0, il che significa che una funzione alla γ - 1 sarà comunque una funzione crescente, che significa che il rendimento di un ciclo ideale, rappresentato con l’aria standard, che rappresenta il ciclo otto e quindi il ciclo tipico dei motori a combustione interna ad accensione comandata è una funzione crescente del rapporto volumetrico di compressione. Ecco perché è così importante in una vettura il rapporto volumetrico di compressione e la parte del motore a combustione nei motori di Formula 1 hanno rendimenti così elevati, perché hanno dei rapporti di compressione elevatissimi, che non ci si può permettere di applicare sulle automobili per il trasporto privato, perché durerebbero qualche settimana di uso e anche perché i materiali impiegati sono materiali costosi.

Disegniamo il grafico del rendimento per il motore a combustione interna ad accensione comandata. Mettiamo in ascissa il rapporto volumetrico di compressione. Il grafico tende ad un rendimento unitario,  senza mai arrivarci. Maggiore è il rapporto volumetrico di compressione, maggiore è il rendimento. L’aumento del rendimento, diminuisce con l’aumento del rapporto di compressione, cioè quello che si guadagna passando da un rapporto di compressione 8 ad un rapporto di compressione 10 è molto minore di quello che si guadagna passando da un rapporto di compressione 6 ad un rapporto di compressione 8.

Nel caso del ciclo Otto, avevamo due trasformazioni isoentropiche e due trasformazioni isocore. La combustione avviene ad un valore fisso della manovella, quindi l’ipotesi che sta ancora a monte è che la combustione deve avvenire in tempi rapidissimi, quindi a volume costante.

Questa rappresentazione cade in difetto quando si ha a che fare con un motore ad accensione comandata,  cioè il motore Diesel, che è caratterizzato da una combustione che avviene attraverso la compressione. Quindi la compressione del gas riscalda così tanto il gas, che si arriva oltre la temperatura di combustione per quella miscela. Si è soliti rappresentare la combustione nel motori ad accensione spontanea come una trasformazione non più isocora, perché si pensa che il tempo non può essere così breve, se avviene spontaneamente, ma piuttosto isobara, a pressione costante. Tutto questo è una rappresentazione semplificata della realtà.

Il ciclo Diesel non è più simmetrico, con 2 trasformazioni di un tipo e 2 trasformazioni dell’altro, ma ci sono 3 tipi di trasformazioni, di cui 2 sono isoentropiche, quindi la trasformazione di compressione e di espansione, mentre per lo scarico e l’aspirazione vengono di nuovo sostituite con una trasformazione di tipo isocoro, a volume costante. Mentre la combustione è di tipo isobaro a pressione costante. Quindi abbiamo capito che la differenza tra la rappresentazione ideale del ciclo che avviene nel motore Diesel e nel ciclo che avviene nel motore ad accensione comandata è che nei motori Diesel la combustione avviene a pressione costante, nell’altro caso avviene a volume costante.

Inoltre questo non è più un ciclo di tipo simmetrico, ma si rappresentano la compressione e l’espansione come delle trasformazioni di tipo adiabatico reversibili, quindi isoentropico, però le altre due sono diverse, una è isobara e l’altra è isobara e quindi il ciclo non è più simmetrico, quindi l’equazione di prima, che vale per tutti i cicli simmetrici, cioè il prodotto delle temperature estreme in due posizioni opposte è uguale, non vale più. L’espressione del rendimento avrà un’altra forma. Prima abbiamo fatto una breve dimostrazione di questa proprietà dei cicli simmetrici, però se pensiamo a quando abbiamo descritto tutte le trasformazioni possibili dei gas perfetti, delle isoentropiche e delle politropiche, le abbiamo messe tutte in un unico contenitore, dove quando n = 1 abbiamo un’isoterma, quando n = ∞ abbiamo un’isocora, ecc. Quindi generalizzando in questo modo, per qualsiasi ciclo definito simmetrico.

Rimane di disegnare i grafici nel diagramma p - v e T - s, ribadire le ipotesi e poi ottenere il rendimento.

Il calcolo del rendimento non è richiesto, però almeno arriviamo fino ad un certo punto e poi facciamo vedere direttamente la sua espressione. Quindi il ciclo ideale di riferimento ad aria standard per motori a combustione interna ad accensione spontanea o per compressione ha questi grafici.

Nel grafico p - v abbiamo una trasformazione di compressione. Questa trasformazione di compressione è una trasformazione senza scambio termico e vista l’ipotesi di trasformazione di tipo reversibile, nel grafico T - s verrà rappresentata da una trasformazione ad entropia costante, quindi che sta su un segmento verticale. La miscela che abbiamo incamerato attraverso il fenomeno di aspirazione, con le valvole chiuse viene compressa e questa compressone corrisponde al moto del pistone dal PMI verso il PMS. Ad un certo punto si raggiunge una pressione sufficientemente elevata da far avvenire in modo spontaneo la combustione, che è rappresentata da un’isobara, quindi nel diagramma p - v si rappresenta come un tratto orizzontale e nel diagramma T - s sono delle funzioni crescenti, quindi una curva crescente.

Alla fine della combustione, questo tratto 2 - 3 è un tratto dove lo scambio termico avviene ad elevata temperatura e quindi possiamo rappresentare una freccia, che rappresenta il calore che entra ad elevata temperatura e pressione costante, si tratta della combustione. Poi abbiamo l’espansione dei gas combusti dentro la camera e questa espansione viene rappresentata con una trasformazione di tipo adiabatico reversibile e quindi isoentropico. E sul grafico p - v dovremmo rappresentare una curva tipo p v γ = cost, nell’altro rappresenteremo un tratto verticale che rappresenta l’isoentropica. Il ciclo si chiude con una trasformazione unica che rappresenta sia lo scarico, sia l’aspirazione. Quest’altra trasformazione è identica a quella che avviene nel ciclo otto, cioè è un’isocora e nell’altro grafico con una curva un po’ meno pendente rispetto alla trasformazione a pressione costante. C’è un po’ di calore a bassa temperatura che esce.

A questo punto, per completare il nostro punto di vista, possiamo ricordarci tutte le ipotesi che servono per fare dei conti semplici su questi cicli. Sono identiche alle ipotesi che abbiamo fatto prima:

1. Le trasformazioni sono reversibili

2. Vengono compiute da aria pura e che l’aria si può trattare come un gas perfetto

3. Inoltre l’aria evolve dentro questo ciclo alla temperatura alle condizioni standard, infatti si chiamano cicli ideali di riferimento ad aria in condizioni standard, dove cp è una costante e non è una funzione della temperatura e cv è costante.

4. Si suppone di poter rappresentare lo scarico e l’aspirazione con un’unica trasformazione di scambio termico. Questo significa che sia per il ciclo Otto sia per il ciclo Diesel, faremo l’ipotesi che il fluido che evolve rimane dentro al cilindro per sempre, cosa che nella realtà non è così, perché ogni ciclo nella realtà avviene con un ricambio totale di quello che sta dentro. Il ciclo è chiuso, il sistema è chiuso, il che significa che non c’è scambio di materia con l’esterno.

Queste ipotesi sono identiche a quelle del ciclo Otto.

Il rendimento è pari al rapporto tra il lavoro netto, in valore assoluto, diviso il calore scambiato ad alta temperatura. Possiamo applicare il 1° Principio della Termodinamica e scrivere che questo significa calore scambiato ad alta temperatura in valore assoluto, meno il calore scambiato a bassa temperatura in valore assoluto, diviso il valore assoluto del calore scambiato ad alta temperatura, uguale ad 1 - QL su QH. Sappiamo che il primo, il calore scambiato a bassa temperatura, avviene a volume costante, esattamente come nel motore con ciclo di tipo Otto, invece il calore scambiato ad alta temperatura è un’isocora, quindi p = costante. Q₂₃ è quello ad alta temperatura e Q₄₁ è quello a bassa temperatura.

A questo punto possiamo fare delle considerazioni simili a quelle che facevamo prima. Tutte queste grandezze le ho scritte senza metterci il punto di sopra. La differenza è che prima esprimevamo i rendimenti attraverso un rapporto di potenze; qui lo abbiamo scritto come rapporto di lavori e scambio termico per cui si intende che il lavoro ottenuto o il lavoro netto è il calore scambiato per ogni ciclo o per un numero arbitrario di cicli. Nessuno ci impedisce di aggiungere il punto di sopra.

Adesso proviamo ad andare a vedere come si può esprimere il calore scambiato in queste trasformazioni, cioè 4 - 1 e 2 - 3; una trasformazione di queste è a volume costante e l’altra è a pressione costante. Si può partire dall’espressione del primo principio per queste trasformazioni. Visto che sono delle trasformazioni singole, non stiamo più parlando del ciclo interno, non vale più che la variazione di energia interna o di entalpia è zero, semplicemente perché è una funzione di stato, perché stiamo parlando di tratti di ciclo.

Per le trasformazioni di tipo reversibile, questo si può scrivere T dS - p dV e poi possiamo ricordarci che la variazione di energia interna dU, anziché la variazione di entalpia dH = dU + p dV + V dp. Il che significa che questa stessa equazione che abbiamo tratto dal primo principio della termodinamica possiamo sostituirla con  dH - p dV - V dp = T dS - p dV e quindi semplificare e scrivere che dH = T dS + V dp. A noi interessa rappresentare il calore scambiato a volume costante e il calore scambiato a pressione costante. Il calore scambiato a volume costante viene rappresentato dalla variazione di energia interna e il calore scambiato a pressione costante viene rappresentato dalla variazione di entalpia.

Potremmo riscrivere questo rendimento. r è il rapporto volumetrico di compressione, che è uguale a v₁/v₂ e poi questo viene moltiplicato per il rapporto di combustione o cut off ratio rc, che è pari a v₃/v₂.

Se teniamo conto di questo disegno, scopriamo prima di tutto che per il motore a ciclo Otto, questo rapporto di compressione alla combustione è uguale a 1, perché anziché un’isobara abbiamo un’isocora e quindi quando rc tende a 1, abbiamo una prima parte che è l’espressione simile al rendimento del ciclo Otto, poi la seconda parte è aggiuntiva e tiene conto del fatto che questa trasformazione non è un’isocora, ma è un’isobara.

Il rendimento avrà un andamento con il rapporto volumetrico di compressione di questo tipo e poi con un rendimento che diminuisce a seconda del cut off ratio. Il rendimento non arriverà mai a 1, quindi quello che conviene per i motori Diesel è di avere dei rapporti volumetrici a compressione elevati, in questo caso i rapporti di compressione sono più elevati rispetto ai motori ad accensione comandata.

Conviene avere un cut off ratio più piccolo, si vuole che la variazione di volume durante la combustione deve essere più piccola possibile e avremo delle curve a rendimento più elevate.

Quindi il rendimento peggiora con il cut off ratio e peggiora con il rapporto volumetrico di compressione.

Quello che manca ancora è di vedere come funzionano quelli che si chiamano i cicli a gas, oppure cicli Joule. I cicli Joule si utilizzano per generare potenza meccanica e sono i cicli che vengono utilizzati per il trasporto aereo. Tutti gli aerei hanno attaccati alle ali dei cicli a gas con un compressore, una camera di combustione e una turbina, ma vengono utilizzati anche a terra per produrre energia elettrica. Una volta venivano utilizzati  soprattutto per piccole produzioni di energia elettrica, perché sono semplici come impianto e quindi venivano applicati anche in insediamenti di non grandissime dimensioni, invece in ambiti più recenti hanno iniziato a soppiantare le centrali a carbone, perché sono meno inquinanti.

L’avviamento di questo tipo di impianti è abbastanza veloce, quindi possono venire utilizzati anche nei momenti di picco.

La produzione energetica nazionale deve tener conto del fatto che c’è una quantità di energia che viene consumata di base e poi per vari motivi, d’estate per l’accensione dei condizionatori o di giorno per gli utilizzi industriali, il consumo e quindi la produzione di energia elettrica non è mai costante nel tempo; nei momenti di picco c’è bisogno di far ricorso a centrali elettriche che riescano ad andare a regime e funzionare per produrre energia elettrica in poco tempo e per questo tipo di utilizzo vengono usati questi impianti, che vanno a regime molto più velocemente rispetto agli impianti a vapore. Gli impianti di questo tipo vengono rappresentati, dal punto di vista del funzionamento dell’impianto, in due modi.

Vengono rappresentati secondo un funzionamento:

• A ciclo aperto, dove avremo uno scarico nell’atmosfera dei gas combusti, e quindi sono gli stessi gas, quindi è la stessa aria con il suo combustibile che viene brucia in caldaia.

• A ciclo chiuso, che è un ciclo solo teorico in cui anziché rendere partecipe l’aria della combustione, l’aria che evolve nell’impianto rappresenta il ciclo chiuso attraverso due scambi termici. Uno scambio termico al posto della combustione e uno scambio termico al posto dello scarico nell’atmosfera dei gas combusti e poi un’aspirazione di aria fresca. 

Vediamo i due disegni.

Ciclo aperto

Entra dell’aria e va in un compressore, l’aria che esce dal compressore va alla caldaia ed esce, l’aria che esce dalla caldaia va in una turbina, i gas combusti che escono dalla turbina vengono direttamente messi in atmosfera. In alcune rappresentazioni si unisce con un albero, l’albero del compressore con l’albero della turbina, per dire che una parte della potenza meccanica generata dalla turbina viene direttamente consumata dal compressore, l’altra parte, quella che avanza, il lavoro netto, va ad alimentare un alternatore e quindi va a contribuire alla produzione di energia elettrica.

Ciclo chiuso

Il ciclo chiuso è compiuto da un gas, che però non partecipa alla combustione e che quindi scambia calore in un oggetto che non potremo più chiamare caldaia, ma uno scambiatore di calore. Questo gas pulito esce, va in una turbina ed essendo pulito, può ritornare nel compressore. Qui possiamo rappresentare nuovamente il compressore e la turbina come riuniti da un albero, dove questo rappresenta il fatto che utilizza una parte dell’energia meccanica a disposizione all’albero della turbina.

Il punto 1 è l’ingresso nel compressore, il punto 2 è l’uscita dal compressore e l’ingresso nella caldaia, il punto 3 è l’uscita dalla caldaia e l’ingresso della turbina e il ciclo si conclude in 4 con uno scambio termico di calore che sottrae calore.

In tutti e due i casi, il senso di percorrenza di questi circuiti è di tipo orario.

Adesso andiamo a rappresentare lo schema nei diagrammi p - v e T - s.

di Abbiamo aria alla condizione atmosferica che entra in un compressore; per questo compressore valgono le stesse ipotesi che abbiamo detto prima. In questo compressore si suppone che la trasformazione sia di tipo reversibile e si suppone che sia adiabatica, quindi la trasformazione 1 - 2 sarà una compressione isoentropica e quindi in questo caso avremo una trasformazione rappresentata da un segmento verticale nel diagramma T - s. A sinistra avremo una trasformazione rappresentata da una compressione, secondo una curva p v = cost.

La trasformazione 2 - 3 è dentro una caldaia di tipo reversibile, come abbiamo già detto quando abbiamo un flusso dentro ad un condotto; dal punto di vista fluidodinamico il passaggio di un fluido dentro ad una caldaia non è molto diverso da questo, in condizioni di tipo reversibile, quindi senza effetti di dissipazione, avremo una variazione di pressione nulla. Quindi la trasformazione 2 - 3 sarà un’isobara e quindi la rappresentiamo a sinistra con un tratto orizzontale e nel diagramma T - s con un tratto crescente. L’espansione in turbina avviene senza scambio termico. 

L’ultima trasformazione è a pressione costante e la possiamo mettere a tratto - punto, per significare che nel caso di ciclo chiuso, quello più teorico, quella trasformazione avviene.

Nel caso di ciclo aperto, il fluido viene introdotto nel sistema nelle condizioni 1, quindi alla pressione atmosferica e ad una temperatura ambiente e viene scaricato nelle condizioni 4 e cioè assorbe la stessa pressione atmosferica e la temperatura più elevata di quella dell’ambiente, perché quelli sono gas combusti che sono passati per la camera di combustione.

Possiamo individuare le due trasformazioni dove avviene scambio termico. Abbiamo la trasformazione 2 - 3, dove avviene scambio termico e dove il calore viene attribuito al sistema in una trasformazione isobara e poi abbiamo uno scarico di calore che nel caso di circuito aperto è solo virtuale, nel senso che non avviene in realtà, ma si può intendere così per il fatto che esce aria calda ed entra aria con le stesse caratteristiche a parte la composizione chimica che è stata alterata dall’aggiunta di combustibile e poi dal fenomeno di combustione o comunque è quello che avviene nel ciclo chiuso.

A questo punto proviamo a calcolare il rendimento. E’ pari al valore assoluto del lavoro netto, diviso il valore assoluto del calore scambiato ad alta temperatura, cioè Q₂₃, che sarebbe la spesa. Si può esprimere il lavoro netto, visto che il ciclo è chiuso, come una differenza di valori assoluti di lavoro e quindi sarà pari a 1 - il calore scambiato alla bassa temperatura in valore assoluto, diviso il calore scambiato all’alta temperatura. Secondo quello che abbiamo fatto con il motore Diesel, possiamo applicare il primo principio della termodinamica per sistemi aperti, quelle sono delle trasformazioni dove non c’è scambio di lavoro e quindi lo scambio di calore è esattamente Q punto, diviso m punto, uguale alla differenza dell’entalpia di ingresso e di uscita, oppure con il 1° Principio della Termodinamica per sistemi chiusi ci si ritrova a capire che il calore scambiato nel caso a trasformazioni a pressione costante è uguale cp per la variazione della temperatura.

E quindi questa espressione del rendimento si potrà scrivere come 1 - al numeratore e al denominatore cp, che poi in una seconda fase verranno semplificati per il fatto che abbiamo fatto l’ipotesi che questi siano dei cicli ad aria standard, il che significa per l’aria a condizioni atmosferiche.

Possiamo semplificare e moltiplicare e dividere il numeratore per T₁, moltiplicare e dividere il denominatore per T₂ e verrà 1 - T₁/T₂ e poi la parte che va semplificata, perché è un ciclo di tipo simmetrico, formato da due isobare e da due isocore, per i cicli simmetrici vale che il prodotto delle temperature agli estremi deve essere uguale, quindi se moltiplico le due temperature con i pedici pari, deve essere pari al prodotto delle due temperature con pedici dispari, il che significa che il rapporto pari - dispari è uguale. Quindi T₂ T₄ = T₁ T₃ e quindi T₄/T₁ = T₃/T₂ e quindi questa espressione è 1 perché numeratore e denominatore sono uguali, in più T₃ non può essere uguale a T₂, perché altrimenti non avremmo combustione, quindi non avrebbe senso fare un ciclo di questo tipo.

Quindi ritroviamo l’espressione che abbiamo già trovato per il ciclo Otto, che dice che η = 1 - T₁/T₂. La differenza dell’espressione del rendimento con l’espressione del ciclo Otto è che qui anziché avere due isocore, abbiamo due isobare e le isobare rendono conveniente un altro tipo di espressione per quel rapporto di temperature, il rapporto tra T₁ e T₂ lo devo studiare in una trasformazione di tipo isoentropico. Per le trasformazioni di tipo isoentropico abbiamo trovato che ci sono le varie espressioni p v γ = costante. L’esponente della pressione è minore di 0, perché γ è sempre più grande di 1.

Stiamo cercando l’espressione di T₁/T₂, che è uguale a p₂/p₁ alla 1 - γ/ γ. p₂/p₁ è il rapporto di compressione del nostro sistema; questo è un impianto che funziona a due livelli di pressione, come l’impianto a vapore, il livello di pressione elevato, quello della caldaia a valle del compressore e a monte della turbina e il livello di pressione basso, quello che nel caso dei cicli con il vapore sia diretti sia inversi dipende o dalla pressione dell’evaporatore o del condensatore, in questo caso uguale. E’ naturale definire un rapporto di compressione dei ciclo Joule, dove il rapporto di compressione è pari al rapporto della pressione elevata, rispetto alla pressione bassa, in questo caso p₂/p₁ > 1. 1 - γ/ γ è una quantità minore di 0.

Qui avremo un andamento del tutto simile a quello che abbiamo disegnato per il motore ad accensione comandata, dove avevamo il rendimento che cresceva in funzione del rapporto di compressione.

Ritornando al ciclo frigorifero, le pompe di calore sono esattamente la stessa cosa dal punto di vista dei cicli ideali, il come vengono costruite è un po’ diverso e il rendimento è diverso, ovvero il rendimento del ciclo frigorifero è il rapporto tra l’effetto voluto, che sarebbe il calore estratto dalla sorgente a temperatura più bassa, diviso il lavoro speso del compressore.

Mentre per la pompa di calore, il rendimento che si chiama coefficiente di prestazione, viene definito come il calore aggiunto alla sorgente a temperatura più alta, diviso il lavoro.