2. Geometria delle Masse

In questa fase del corso, ci accontentiamo di dare una definizione euristica di massa, e possiamo accontentarci di vedere la massa come una misura della quantità di materia, collegata ai sistemi meccanici che noi incontreremo, quindi una proprietà intrinseca dei corpi, connessa alla loro quantità di materia. Questa non è una definizione rigorosa in alcun modo. La definizione di massa la daremo quando parleremo delle leggi fondamentali della meccanica, e in particolare, con la 2ª legge fondamentale della meccanica, avremo la definizione rigorosa di massa.

Matematicamente la massa la rappresentiamo attraverso una grandezza m, scalare, positiva, che che supponiamo indipendente dal sistema di riferimento e numerabilmente additiva.

Nel momento in cui avremo un problema in cui le dimensioni del corpo in esame sono piccole, e il problema che ci interessa ci permette di fare un'approssimazione del sistema in esame con una dimensione di un punto, allora indicheremo con P, m; dove P è un punto geometrico e m la massa associata a questo punto, quindi con questa notazione indicheremo il punto materiale.

Tutte le volte che abbiamo a che fare con un sistema tale per cui l'approssimazione di punto geometrico, dotato di massa è buona per il problema in esame, allora parleremo di punto materiale.

Poi ci sono delle situazioni invece in cui il sistema in esame è un insieme di punti materiali e questi potrebbero essere un numero finito di punti, oppure anche un'infinità numerabile. Quindi possiamo avere il punto P₁, dotato della massa m₁, il punto P₂, dotato della massa m₂, e così via, fino al punto Pn, dotato della massa mn. Questo è un sistema materiale di punti finito.

Se questo n grande tende ad infinito, allora avremo il caso della infinità numerabile di punti, e quindi avremo che, anziché averne un numero n finito, ne avremo infiniti, ma sempre avremo il caso del sistema materiale di punti discreto e finito, come in questo caso, oppure un'infinità numerabile, nel caso in cui i punti siano infiniti.

Può succedere poi che, anziché avere un sistema discreto di punti, si abbia un sistema continuo. Ma prima di parlare del sistema continuo, quale sarà la massa del sistema materiale discreto?

Se abbiamo un sistema materiale discreto, per esempio finito di punti, la sua massa sarà la somma, per s che va da 1 ad n, delle masse dei singoli punti. Se i punti sono infiniti, allora questa sommatoria finita sarà sostituita da una serie.

Se invece siamo in un caso del sistema continuo, indichiamo con 𝒞 questo continuo, allora ad ogni punto P appartenente al continuo, resta associata una grandezza che indichiamo con ρ(P), che viene detta densità di massa. La densità di massa è una funzione reale non negativa, limitata e questa è definita per ogni punto del corpo. In questo caso, se si ha il continuo di punti materiali, la massa associata al continuo, non la possiamo più calcolare con la sommatoria, ma la dovremo calcolare con l'integrale e in particolare, la massa M del continuo, sarà l'integrale sul continuo 𝒞, della densità ρ(P) in d𝒞, dove d𝒞 è il generico elemento infinitesimo del continuo di punti materiali. A questo elemento infinitesimo d𝒞, è associata una massa infinitesima dm, dove dm è ρ(P) in d𝒞, cioè è la quantità di massa infinitesima di questo cubetto infinitesimo di massa nello spazio. Questa densità di massa, che abbiamo detto è una funzione reale non negativa e limitata, in generale dipende dal punto P.

Può però succedere che questa densità ρ(P), sia costante, qualunque sia il punto P appartenente al continuo 𝒞. Quindi se succede che questa ρ(P) è una costante, che vale ad esempio ρ₀, qualunque sia il punto P, allora il corpo si dice omogeneo e succede la massa del corpo omogeneo è il prodotto della densità costante ρ₀, per il volume del continuo di punti materiali, se siamo in un caso tridimensionale, per l'area del continuo di punti materiali, se siamo nel caso bidimensionale, oppure della lunghezza del continuo di punti materiali, se siamo nel caso unidimensionale.

Quindi questa V che compare può essere un volume, un'area o una lunghezza, a seconda del caso del sistema meccanico con cui stiamo lavorando.

Data la definizione di massa, possiamo dare la definizione di baricentro o centro di massa .

Di solito come notazione, il baricentro, in un sistema di punti, viene indicato con la lettera G.

Per definizione si chiama baricentro o centro di massa di un sistema materiale, il punto che indichiamo con la lettera G, definito in questo modo G - O, uguale alla sommatoria per s che va da 1 ad n di ms, Ps - O, diviso per la sommatoria per s che va da 1 ad N, degli ms. Questo nel caso in cui il sistema di punti sia un sistema di punti e finito.

Se abbiamo invece una infinità numerabile di punti, basta sostituire la sommatoria finita con la serie.

Chi è O? O è un qualunque punto che noi prendiamo come origine del sistema di riferimento Oxyz, rispetto al quale, possiamo definire le coordinate del sistema di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad n. Questo è il sistema discreto finito. Allora O è l'origine di quel sistema di punti di Ps, ciascuno di massa ms.

Il baricentro G sarà un punto che avrà delle coordinate, le cui coordinate soddisfano alla relazione che abbiamo appena dato. Se pensiamo che G, in questo sistema di riferimento, avrà coordinate xG, yG e zG, supponendo che le coordinate di ciascun punto Ps siano indicate con xs, ys e zs, questo sempre con s che va da 1 ad s, allora in virtù di questa definizione, possiamo possiamo vedere l'espressione delle coordinate xG, yG e zG, del baricentro e allora vediamo come le possiamo scrivere.

La xG sarà la sommatoria per s che va da 1 ad N, di ms xs, diviso per la sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms. La yG del baricentro G, sarà la sommatoria per s che va da 1 ad n di ms ys , divisa per la massa totale del sistema di punti

La zG sarà per definizione la sommatoria per S che va da 1 ad n di ms zs, diviso per la sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms.

Questo è il caso discreto finito.

Se poi noi avessimo un sistema invece continuo, un insieme di punti, quindi un continuo di punti materiali 𝒞, la definizione di baricentro per il continuo di punti materiali, sarebbe la stessa che abbiamo visto prima per il caso finito, dove però al posto della sommatoria c'è l'integrale, quindi avremo l'integrale fatto sul continuo 𝒞, della densità ρ(P) per il vettore P - O in d𝒞, diviso per l’integrale in d𝒞 della densità ρ(P) in d𝒞.

Il d𝒞 è l'area del volumetto infinitesimo di continuo, tridimensionale, bidimensionale, unidimensionale a seconda del continuo in esame. Questi integrali, così come valeva prima per la massa, saranno degli integrali tripli se il sistema è tridimensionale, doppi se il sistema è bidimensionale e degli integrali semplici, se abbiamo un continuo unidimensionale.

Questa è la definizione di bare centro nel caso del continuo e, analogamente, se vogliamo scrivere le coordinate anche per questi casi continui, adesso scrivo soltanto la xG, perché dopo le altre saranno analoghe. La xG vale l'integrale sul continuo 𝒞 della densità ρ(P) per la x del generico punto P in d𝒞 e al denominatore avremo la massa totale, quindi l'integrale fatto sul continuo 𝒞 della densità di massa ρ(P) in d𝒞. Analogamente avremo la yG, la zG, dove si tratta solo di sostituire le sommatorie con gli integrali.

Guardiamo alcune proprietà dei baricentri.

• Se supponiamo di avere un sistema materiale, quindi un sistema di punti che si trovano tutti su una retta, che giacciono tutti su una retta, quindi c'è il punto P₁, il punto P₂ e così via, fino al punto Pn. Tutti stanno su di una retta come questa. Indichiamo con r la retta su cui si trovano tutti i punti, allora necessariamente il baricentro G del sistema di punti deve appartenere alla retta.

• Supponiamo invece di avere un sistema di punti tale che questi punti appartengono tutti ad uno stesso piano, indichiamo questo piano con π. Allora se tutti i punti P₁, P₂, Pn, sono tutti su un piano, allora anche il baricentro di questo sistema di punti deve appartenere al piano π.

• Così come un'altra proprietà, se il sistema di punti è delimitato da una superficie convessa, allora G è interno alla superficie. Se il corpo con cui stiamo lavorando è un corpo convesso, G è interno al corpo. L'insieme di punti è delimitato da una superficie convessa, G per forza deve stare internamente alla superficie.

Se un sistema materiale ha un piano di simmetria geometrico materiale, allora, il baricentro G appartiene a tale piano.

Cosa significa avere un piano di simmetria geometrico materiale? Il piano di simmetria geometrico è abbastanza chiaro, cioè se questo è il nostro corpo in esame, questo piano può essere considerato un piano di simmetria di tipo geometrico, cioè se io ho qui un punto Ps, faccio il punto simmetrico e questo punto simmetrico Qs appartiene ancora al corpo, cioè tutti i punti Ps hanno un corrispettivo simmetrico che appartiene ancora al corpo e questa è la simmetria di tipo geometrico.

La simmetria deve essere anche materiale, cioè se il punto Qs, che è il simmetrico di Ps rispetto al piano π, se il punto Ps ha massa ms, allora il punto Qs simmetrico di Ps rispetto al piano π, deve avere anch’esso massa ms. Quindi tutti i punti del continuo si corrispondono in questa simmetria geometrico-materiale, sia dal punto di vista geometrico, sia dal punto di vista materiale. Allora il baricentro deve per forza appartenere a questo piano.

Altra osservazione, che è poi una conseguenza immediata di questo teorema, se il corpo che stiamo considerando ha due piani di simmetria, allora il baricentro si deve trovare sull’intersezione tra i due piani di simmetria. Quindi supponiamo che questi siano i due piani di simmetria, il primo. Se questi sono i due piani di simmetria per il corpo che stiamo considerando, allora il baricentro G si trova sicuramente su questa retta, che è intersezione dei due piani di simmetria.

Se poi di piani di simmetria ce ne sono tre, supponiamo che questo sia l'altro piano di simmetria, allora necessariamente il baricentro il baricentro G si trova sull’intersezione dei tre piani e quindi G in questo modo è automaticamente determinato. Nel caso di due piani invece G stava semplicemente su di una retta.

Supponiamo che il baricentro di una lamina triangolare omogenea coincide con il baricentro geometrico della lamina, allora il triangolo sarà qualunque. Supponiamo che questo sia il triangolo di cui vogliamo calcolare il baricentro e supponiamo che sia una lamina triangolare, quindi pensiamola, per esempio, piena.

Questa parte azzurra è una lamina triangolare, adesso mettiamo un po' di lettere nei vertici, quindi supponiamo di voler dimostrare che il baricentro di questa lamina omogenea, a forma di triangolo, si trova nel punto di incontro delle mediane. Come facciamo a fare questa cosa?

Consideriamo il lato AB e adesso ho dei tagli, parallelamente al lato AB, taglio delle striscioline di triangolo di spessore infinitesimo e Q₁ l'estremo della strisciolina sul lato AC e Q₂ l'estremo della strisciolina su BC, allora questo Q₁, Q₂ è assimilabile ad un'asta e per quest'asta sappiamo dove si trova il baricentro.

Il baricentro si trova nel punto medio dell'asta, quindi indichiamo con QM il punto medio di questa strisciolina Q₁ Q₂.

Se adesso ho tanti tagli, tutti paralleli al lato AB, quello che ottengo, per una proprietà delle punti medi, delle mediane, ho che tutti questi punti stanno sulla mediana CM₁, relativa al lato AB, di conseguenza, il baricentro G apparterrà sicuramente alla mediana CM₁? Perché avendo operato tutti questi tagli, ottengo che il baricentro G deve stare sulla mediana CM₁, che è l'unione di tutti questi punti medi.

Adesso faccio dei tagli invece, parallelamente al lato AC, quindi opero tagli parallelamente AC e quindi guardo dove sta il punto medio, congiungo tutti questi punti, e allora, per una proprietà delle mediane, trovo che tutti questi punti stanno sulla mediana BM₂ e, di conseguenza, il baricentro G apparterrà alla mediana BM₂.

A questo punto, le due rette si incontrano in un punto, che è il baricentro. Se io i tagli li faccio, per completezza, anche parallelamente al lato BC, quello che si ottiene è che il baricentro G appartiene anche ad AM₃ e, di conseguenza, il baricentro si trova nel punto di incontro delle mediane.

In generale si parla di momento di inerzia assiale. Di solito però, in tutto il corso la ometteremo, è più preciso dire momento d'inerzia assiale, perché questa è la definizione, ma quando parleremo di momento d'inerzia, intenderemo il momento d'inerzia assiale, di un sistema di punti materiali che indichiamo con Ps, ms con s che va da 1 ad N, rispetto alla retta r, lo scalare che individuiamo con Ir, definito come la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, rs² al quadrato, questo nel caso discreto finito, quindi se questo è il sistema di punti discreto, finito, dove ms è la massa dei punti Ps, rs è la distanza del generico punto Ps dall'asse, dalla retta r.

Ciascun punto avrà la propria distanza dall’asse, attenzione che questa è una distanza, quindi dal punto Ps si traccia la perpendicolare alla retta r, passante per il punto Ps, e questo si fa per tutti i punti.

Se invece abbiamo un sistema di punti continuo, allora, se supponiamo quindi di avere la retta r e poi supponiamo di avere un continuo 𝒞 di punti materiali, nel caso continuo, il momento di inerzia del continuo di punti materiali 𝒞, rispetto alla retta r, sarà l'integrale fatto sul continuo 𝒞 della densità di massa ρ(P), per la distanza r²(P) del punto P dalla retta r in d𝒞.

d𝒞 è il generico elemento infinitesimo di volume, di area o di continuo unidimensionale, a seconda che siamo nello spazio in dimensione 2 o in dimensione 1, così come quell’integrale, è un integrale triplo, doppio o semplice, a seconda che siamo nello spazio, in piano o in un continuo unidimensionale e inoltre r(P) sarà la distanza del punto P generico del continuo 𝒞 dalla retta r, quindi questo è il caso continuo.

In generale, poiché la retta r e il sistema di punti, possono muoversi nello spazio, e quindi, dalla definizione che abbiamo dato, il momento di inerzia Ir sarà una funzione del tempo, poiché i punti possono variare la loro distanza dalla retta r, sia perché i punti del sistema materiale si muovono, sia perché la retta r potrebbe non essere una retta fissa.

Se però ci mettiamo nell'ipotesi di avere un corpo rigido, cioè se il nostro sistema materiale di punti, sia esso discreto o continuo, è un corpo rigido. Inoltre, si suppone anche che la retta r sia fissa rispetto al corpo rigido, allora il momento inerzia Ir è costante.

Che cos'è un corpo rigido? La definizione sarà approfondita meglio quando parleremo di cinematica, ma possiamo anticipare la definizione di corpo rigido e definiremo corpo rigido un sistema di punti materiali le cui mutue distanze restano costanti nel tempo.

In generale, il momento di inerzia dipende dalla retta rispetto alla quale viene calcolato, e quindi va sempre calcolato di nuovo per ogni nuova retta che si considera. Per evitare di rifare i calcoli ogni volta che si cambia la retta, ci sono, due strategie, che possiamo enunciare come teoremi.

C'è un primo teorema che permette di collegare tra loro i valori dei momenti di inerzia relativi a rette fra loro parallele, di cui poi una deve passare per il baricentro, cioè il teorema di Huygens. Poi c'è invece un altro teorema, che permette di collegare tra loro i momenti di inerzia relativi a rette che escono tutte da uno stesso punto, cioè aventi direzioni differenti.

I teoremi verranno enunciati per i sistemi materiali discreti. Questo non vuol dire che non valgano per i sistemi continui. Semplicemente, per non appesantire la notazione, si preferisce utilizzare la somma discreta finita, senza perdita di generalità, rispetto ad utilizzare un integrale, che appesantisce di più la notazione.

Sia Ps, ms, con s che va da 1 ad N, un sistema materiale qualunque e sia IG il momento di inerzia, quindi sempre momento di inerzia assiale, del sistema di punti rispetto ad una retta baricentrica rG, che indichiamo con G e con un versore k, cioè questa è la retta che passa per il baricentro G del sistema di punti e di versore k.

Il momento di inerzia IO rispetto ad una qualunque retta r, quindi che passa per il punto O e sempre di versore k, quindi parallela alla retta che passa per G, di versore k, e posta a distanza d, vale:

Il momento di inerzia I rispetto alla retta Ok è uguale al momento di inerzia rispetto alla retta G, k, + Md², dove M è la massa totale del sistema di punti, quindi sommatoria in s di ms, che dà la massa totale e d è la distanza tra le due rette Gk e Ok.

Abbiamo un sistema materiale di punti, supponiamo che il baricentro G si trovi, per esempio, qui, poi abbiamo due rette, che sono la retta che passa per il baricentro G e ha versore k e poi c'è un'altra retta parallela a questa, che si trova a distanza d.

Fissiamo un sistema di riferimento, quindi prendo un sistema di riferimento Oxyz con l'asse Oz che coincide con la retta r. Poi prendo invece l'asse Oy, passante per il baricentro G. L'asse x sarà automaticamente determinato, in modo tale che Oxyz sia una terna destra.

Ora prendo invece una terna Gx’y’z’, quindi con origine in G, con l'asse Gz’, coincidente con la retta rG, poi prendo l’asse Gy’ coincidente con Oy e l’asse x’ risulta univocamente determinato e, in particolare, parallelo ad x’. Se adesso prendo un punto Ps, il punto Ps avrà coordinate xs, ys, zs nel sistema di riferimento Oxyz, avrà invece coordinate x’s, y’s, z’s nel sistema di riferimento Gx’y’z’ e, in particolare, se vogliamo scrivere le relazioni che ci sono tra le coordinate del Ps nel sistema di riferimento Oxyz e nel sistema di riferimento Gx’y’z’, avremo che xs uguale a x’s, ysè uguale a y’s + d, cioè la distanza d tra i due assi, e zs sarà uguale a z’s.

Fatte queste osservazioni, possiamo andare a calcolare il momento di inerzia, quello che avevamo indicato con IO, più correttamente Ir, che è l'asse Oz, allora per definizione, questa è la sommatoria in s di ms e poi ci mettiamo la distanza rs². Se prendo il punto Ps e guardo come sono fatte le sue coordinate, vedrò che rs è la distanza del punto Ps dall'asse Oz.

In particolare, il momento di inerzia è la sommatoria in s che va da 1 ad N di ms, e qui ci mettiamo che cos'è rs². Per il teorema di Pitagora, sarà xs² + ys² e questo è uguale alla sommatoria per s che va da 1 ad N di ms e adesso andiamo a sostituire, al posto delle coordinate nel sistema di riferimento Oxyz, le coordinate nel sistema di riferimento Gx’y’z’.

Quindi avremo x’s² + (ys² + d)² . Facciamo i calcoli, sommatoria per s che va da una 1 ad N di ms x’s² + y’s² + d²  + 2 y’s d. Spezzando per la proprietà prima distributiva del prodotto rispetto alla somma, poi la associativa, la sommatoria per s che va da 1 ad s di ms d² + la sommatoria per s che da 1 ad N, di 2 ms d y’s.

Il primo addendo con la sommatoria, x’s² + y’s² è r’s². Questo primo addendo è sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, poi abbiamo più, siccome d non dipende dall'indice s di sommatoria, posso raccogliere d², farlo uscire dal segno di sommatoria e questo termine sarà la massa M, quindi avremo +Md² e poi veniamo all'ultimo termine.

Siccome d e il 2 non dipendono dall'indice s di sommatoria, scriveremo più + 2d sommatoria per s che va da 1 ad N di ms per y’s.

Se scrivo la coordinata y'G del baricentro del sistema di punti, rispetto al sistema di riferimento  Gx’y’z’, allora la y'G è la sommatoria in s di ms y’s, diviso per la massa totale del sistema. Siccome questa l'abbiamo chiamata M, la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms y’s è uguale a M per la y'G.

Siccome G è l'origine del sistema di riferimento Gx’y’z’ vale 0. E così abbiamo dimostrato che il momento di inerzia del sistema di punti, rispetto alla retta r è uguale al momento di inerzia rispetto alla retta rG + Md² e abbiamo dimostrato il teorema.

Un'ultima osservazione riguardo al teorema di Huygens.

Mi chiedo se, dato un sistema di punti, generico, suppongo di avere due rette, una retta r, un'altra retta r', supponiamo che queste due rette siano parallele e poste a distanza d, supponiamo che sia noto il momento di inerzia del sistema di punti rispetto alla retta Ir’.

Posso usare il teorema di Huygens per calcolare il momento di inerzia rispetto alla retta r? Non posso scrivere che il momento di inerzia rispetto alla retta r è uguale al momento di inerzia rispetto alla retta r' più la massa totale M per d². Questo perché? Perché la retta r' non è una retta baricentrica, quindi questo non lo posso dire. Non posso utilizzare il teorema di Huygens se, o come termine noto o come termine incognito, non c'è un momento di inerzia rispetto a una retta baricentrica.

Quello che però posso fare è applicare in sequenza il teorema di Huygens inverso e poi il teorema di Huygens diretto.

Posso arrivare al risultato, cioè mi posso calcolare il momento di inerzia rispetto alla retta r, passando attraverso il momento di inerzia rispetto ad una retta parallela ad r e baricentrica e poi, usando il teorema di Huygens diretto, calcolarmi quello che mi serve.

Calcolo il baricentro. Per esempio, supponiamo che il baricentro stia qui. Considero la retta rG, che sia parallela ad r e quindi parallela anche a r’.

Posso utilizzare il teorema di Huygens inverso e dire che il momento di inerzia rispetto alla retta rG lo calcolo come il momento di inerzia rispetto alla retta r’, che è noto, meno la massa totale del sistema per la distanza tra la retta rG e la retta r'. Chiamiamo questa distanza dG, quindi M dG². A questo punto ho il momento di inerzia rispetto alla retta rG, quindi questo è il teorema di Huygens inverso, con il segno meno, poi applico il teorema di Huygens diretto. Quindi dico che il momento di inerzia rispetto alla retta r è uguale al momento di inerzia rispetto alla retta rG che ho appena calcolato + la massa totale del sistema, e poi ci va la distanza tra la retta r e la retta rG², quindi sarà (d - dG)² e in questo modo sono arrivata al risultato.

Quindi applicando due volte il teorema di Huygens, una volta il teorema di Huygens inverso, una volta il teorema di Huygens diretto, riesco, conoscendo il momento di inerzia rispetto alla retta r', a calcolare il momento di inerzia rispetto alla retta r.

Abbiamo definito il momento di inerzia, che dipende dalla retta rispetto alla quale viene calcolato.

Ci sono due strategie per evitare, una volta calcolato il momento di inerzia di un sistema di punti rispetto ad una retta, se si cambia la retta, ma si tiene fisso il sistema materiale, di rifare i calcoli tutte le volte.

Il primo teorema, è il teorema di Huygens.

Il secondo teorema è quello che viene chiamato teorema dei coseni direttori. Questo teorema permette di collegare tra loro i momenti di inerzia relativi a rette che escono tutte dallo stesso punto, cioè aventi direzioni differenti.

Supponiamo di avere una retta r, che indichiamo con un punto O e con un versore a e supponiamo di indicare con α , β  e γ , i coseni direttori di questa retta, rispetto a un sistema di riferimento Oxyz.

Il momento di inerzia che indichiamo con Ir, il momento di inerzia di un sistema materiale Ps, ms con s che va da 1 ad N, rispetto alla retta r, quella che abbiamo detto che passa per il punto O e di versore a, questo momento di inerzia vale:

A α² + B β² + C γ², -2A'αβ - 2B’αγ - 2C’βγ, dove α, β e γ sono i coseni direttori della retta r rispetto al sistema di riferimento Oxyz, A, B e C sono i momenti di inerzia del sistema materiale di punti rispetto, A rispetto alla retta all'asse Ox, B rispetto all'asse Oy, C rispetto all'asse Oz e quindi, in particolare, se noi abbiamo che il punto Ps del nostro sistema materiale, rispetto al sistema di riferimento Oxyz a coordinate xs, ys, zs, allora questo A, che è il momento di inerzia del sistema materiale di punti rispetto all'asse Ox, varrà la sommatoria per S che va da 1 ad N, di ms, ys² + zs².

B che è il momento di inerzia del sistema materiale, rispetto all'asse Oy, vale la sommatoria in s, per s che va da 1 ad N, di ms, xs² + zs² e, infine, C è il momento di inerzia rispetto all'asse Oz, quindi la sommatoria per se che va da 1 ad N, di ms, xs² + ys², cioè il momento d'inerzia rispetto all’asse Oz.

A’, B’ e C’, invece sono quelli che vengono chiamati momenti centrifughi o di deviazione e quindi A’ sarà la sommatoria per s che va da 1 ad n di ms xs ys, B’ sarà la sommatoria per s che va da 1 ad n di ms xs  zs e C’ la sommatoria per s che va da 1 ad n di ms ys zs.

Questi vengono chiamati momenti centrifughi o momenti di deviazione. Quindi A’, B’ e C’ sono i momenti centrifughi o momenti di deviazione. Mentre A B e C sono subito identificabili, sono dei momenti di inerzia assiali. A’, B’ e C’ sono delle quantità che pur avendo le dimensioni dei momenti di inerzia, non appaiono avere un significato immediatamente leggibile.

Possiamo dire che sono responsabili dei fenomeni di deviazione dell'asse di rotazione nella dinamica del corpo rigido, quindi li vedremo più chiaramente quando faremo la dinamica del corpo rigido.

In generale A’, B’ e C’, A, B e C sono delle grandezze scalari, che però dipendono dal tempo. Questo perché il sistema materiale di punti, in generale, si muove e la retta r, rispetto alla quale si calcola il momento di inerzia, varia nel tempo e sono delle funzioni del tempo.

Se però abbiamo a che fare con un corpo rigido, cioè se il sistema materiale di punti è un corpo rigido, e lo indichiamo con 𝒞. Inoltre, il sistema di riferimento rispetto al quale andiamo a scrivere questi momenti di inerzia e momenti di deviazione, lo prendiamo solidale al corpo rigido 𝒞, allora tutte queste grandezze A, B, C, A' B' e C' sono delle costanti, cioè non dipendono, non sono delle funzioni del tempo.

Questo teorema non lo dimostriamo, lo utilizziamo soltanto come risultato e permette di determinare un legame tra i momenti di inerzia, relativi a rette uscenti da uno stesso punto O, perché nel momento in cui dovessimo cambiare la retta r, nel senso che passi per il punto O, ma cambiano i coseni direttori, quindi cambia il versore a, allora A, B, C, A' B' e C' sono calcolati, basta cambiare α, β e γ in questa espressione e si trova subito il momento di inerzia rispetto alla nuova retta, purché passi per a.

Si definisce matrice di inerzia di un corpo rigido 𝒞, rispetto al sistema di riferimento che, d'ora in avanti, consideriamo sempre solidale al corpo rigido 𝒞, e quando indichiamo il sistema di riferimento con i pedici, O₁x₁y₁z₁, in questa parte di geometria delle masse, faremo riferimento ad un sistema di riferimento solidale. Allora si definisce matrice di inerzia del corpo rigido 𝒞, rispetto a questo sistema di riferimento solidale, la matrice fatta in questo modo, quella che ha sulla diagonale principale i momenti di inerzia rispetto all'asse O₁x₁ O₁y₁ O₁z₁, mentre fuori dalla diagonale principale, gli altri elementi sono -A’, -B’, -C' e la matrice è simmetrica e quindi, nella triangolare inferiore, si avranno gli stessi elementi della triangolare superiore.

È inoltre una matrice definita positiva e quindi, essendo simmetrica, è una matrice che è sicuramente diagonalizzabile e con autovalori reali. C’è anche una base ortonormale di auto vettori, in più, essendo anche definita positiva, ha tutti gli autovalori maggiori di 0.

A cosa serve questa matrice di inerzia? Se noi consideriamo una retta r che passa per il punto O₁, origine del sistema di riferimento solidale al corpo rigido, e di versore a, individuato dai coseni direttori α, β e γ, se vogliamo calcolare il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞, rispetto alla retta r, allora basterà calcolare il prodotto matrice per vettore della matrice di inerzia I per il versore a e poi questo moltiplicarlo scalarmente, allora con questa notazione si indica un prodotto scalare, ma in questo caso avendo a che fare con la matrice, di solito si usa questa notazione delle parentesi tonde, allora quindi si fa prodotto matrice per vettore della matrice di inerzia per il versore a, e poi questo che ora è un vettor,  lo si moltiplica scalarmente per il versore a, che ha come componenti α, β e γ.

È un modo diverso per scrivere il momento di inerzia rispetto alla retta r. Se si prova a fare il prodotto di questa matrice per questo vettore, il prodotto, si ottiene questa espressione, espressione che abbiamo scritto dentro al riquadro.

Un'altra definizione è quella di ellissoide di inerzia, sempre per il corpo rigido 𝒞, relativo al punto O₁.

Si definisce ellissoide di inerzia del corpo rigido 𝒞 relativo al punto O₁ l'ellissoide che ha questa equazione, rispetto al sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁, solidale a 𝒞.

Con una notazione compatta per indicare l'ellissoide di inerzia è questa ℰ(O₁). L’ellissoide è come un pallone da rugby, è relativo al punto O₁, perché O₁ è il centro dell'ellissoide. Il sistema di riferimento rispetto al quale abbiamo calcolato i coefficienti dell'equazione delle ellissoide è il sistema di riferimento O₁x₁y₁z e poi c'è il corpo rigido 𝒞.

Vediamo a cosa serve questo ellissoide di inerzia. Questo ellissoide di inerzia ci è utile perché è possibile enunciare un teorema che ci permette di calcolare il momento di inerzia di un corpo rigido 𝒞, rispetto ad una qualunque retta passante per il punto O₁ e di utilizzare l'equazione dell'ellissoide di inerzia.

Il teorema dice questo, il momento di inerzia Ir di un corpo rigido 𝒞, rispetto a una retta r, che indichiamo con O₁, cioè la retta che passa per O₁ e di versore a, è dato da 1/O₁L ², dove O₁L² rappresenta la distanza al quadrato di O₁, che è il centro degli ellissoide, dal punto L, da uno dei due punti L, L₁ o L₂ che sono i due punti di intersezione tra la superficie dell'ellissoide e la retta r.

Se vogliamo fare un disegno, pensiamo alla retta r che passa per il punto O₁, il centro dell'ellissoide, allora il punto L₁ sarà un punto che si trova sulla superficie dell'ellissoide nel punto in cui la retta r incontra la superficie dell’ellissoide, mentre L₂ sarà l'altro punto, sulla superficie dell’ellissoide, simmetricamente posto rispetto al centro dell'ellissoide O₁, quindi questi sono i due punti L₁ e L₂, gli ho indicati genericamente con L, in quanto L₁ ed L₂ sono simmetricamente posti rispetto ad O₁, quindi la distanza di O₁ da L₁ è uguale alla distanza di O₁ da L₂.

Facciamo la dimostrazione del teorema in questo modo. Abbiamo la retta a, supponiamo che la retta a abbia coseni direttori che indichiamo con α, β e γ, cioè i coseni direttori, cioè i coseni degli angoli che la retta r forma, rispettivamente, con l'asse O₁x₁ α, con O₁y₁ β e con O₁z₁ γ.

Per dimostrare che il momento di inerzia rispetto alla retta r del nostro corpo rigido vale l'inverso della distanza al quadrato di O₁ da L, scriviamo l'equazione dell’ellissoide di inerzia relativo al punto O₁. E questa equazione, la mettiamo a sistema con l'equazione della retta r.

L'equazione della retta r, se la retta r che passa per O₁ ha coseni direttori α, β, γ, allora la retta r avrà come equazione x₁/α = y₁/β = z₁/γ e quindi possiamo, per mettere a sistema con l'equazione dell'ellissoide, scriverla anche così. La retta r la scriviamo con y₁ e z₁, in funzione di x₁ e questa la mettiamo a sistema con l'equazione dell’ellissoide.

Vogliamo determinare i punti di intersezione di questa retta r con la superficie dell’ellissoide e, per fare questo, dobbiamo risolvere questo sistema. Una volta risolto il sistema, troviamo le coordinate dei punti L₁ ed L₂, facciamo la distanza di L₁ da O₁ e la eleviamo al quadrato, facciamo l'inverso e vediamo se si ottiene il momento di inerzia rispetto alla retta r. Sostituiamo nell'equazione dell’ellissoide, l'espressione di y₁ e z₁ che otteniamo dalla retta r.

Adesso possiamo raccogliere x₁ che è un fattore comune al primo membro in tutti i termini, e anche α², facciamo il denominatore comune α² e raccogliamo x₁.

Avendo fatto il denominatore comune, a destra abbiamo α², ma se andiamo a vedere chi è questa quantità tra parentesi che, se andiamo a vedere, quella che avevamo chiamato Ir, cioè il momento di inerzia del corpo rigido, rispetto alla retta r. Questo è esattamente Ir, e quindi avremo che Ir per x₁² è uguale ad α². Questo x₁ è la coordinata del punto L, intersezione tra la retta r e la superficie dell’ellissoide.

Se adesso andiamo a sostituire questo x₁ L dove c'è la freccia, otteniamo anche l'espressione di y₁ L² e di z₁ L².

Calcoliamoci la distanza di O₁ da L². Questa vale x₁ L² + y₁ L² + z₁ L².

Chi sono α², β² e γ²? Sono i quadrati dei coseni direttori che, elevati al quadrato e sommati per le note identità trigonometriche, ci danno 1. Possiamo concludere che questo vale 1/ Ir, da cui abbiamo ricavato e dimostrato il teorema Ir = 1/O₁ L². Questo conclude la dimostrazione di questo teorema.

1. Questo teorema è molto utile, perché nel momento in cui si scrive l'equazione delle ellissoide di inerzia di centro O₁, allora l'equazione dell’ellissoide rimane invariata e se prendiamo una retta che passa per il punto O₁, cambiano i coseni direttori, ma l'equazione dell'ellissoide resta sempre quella e basta fare il sistema tra l'equazione dell’ellissoide e l'equazione della retta, che deve però passare per O₁ e automaticamente con 1/O₁ L² si ottiene il momento di inerzia anche rispetto a una nuova retta r’, purché passi per O₁. Se io cambio il punto O₁, cioè se ho una retta che non passa per O₁, allora l’ellissoide cambia. L'ellissoide è identificato dal punto O₁, cioè dal suo centro.

2. Se invece tengo il centro dell'ellissoide fisso e cambio gli assi del riferimento solidale, cioè ruoto gli assi, allora cambia la matrice di inerzia e quindi cambia l'equazione dell'ellissoide di inerzia. Cioè l'oggetto geometrico ellissoide non cambia, ma cambia la sua equazione. Facciamolo nel caso semplice di un'ellisse, così si riesce a capire meglio l'esempio. Cioè se io prendo un’ellisse, questo è il suo punto O₁, il centro dell'ellisse. Se adesso cambio gli assi del sistema di riferimento solidale e prendo come assi questo e questo, quindi li possiamo chiamare x₂ e y₂, l'ellisse è sempre lo stesso oggetto, ma la sua equazione se la scrivo rispetto agli assi O₁x₁y₁ o rispetto agli assi O₁x₂y₂, l'equazione dell'ellisse cambia. La stessa cosa vale per l'ellissoide , quindi se mantengo fisso il punto O₁ e cambio gli assi del sistema di riferimento solidale, cambia la matrice di inerzia e quindi l'equazione dell’ellissoide.

3. Altra osservazione, l'ellissoide di inerzia è definito per un qualunque corpo rigido, tranne che per un'asta. Perché per un'asta l'ellissoide degenera in un cilindro, che ha per asse longitudinale esattamente l’asta, e quindi non è possibile scrivere la matrice di inerzia e l’ellissoide di inerzia per un sistema materiale che è l’asta.

Si definiscono assi principali di inerzia per il punto O₁ gli assi che passano per O₁ e coincidono con gli assi dell'ellissoide di inerzia relativi al punto O₁. Quindi si chiamano assi principali di inerzia per il punto O₁, gli assi che passano per O₁ e coincidono con gli assi dell'ellissoide di inerzia relativi al punto O₁.

I momenti d’inerzia rispetto a questi assi vengono chiamati momenti principali d’inerzia. Quindi abbiamo gli assi principali di inerzia, che sono gli assi coincidenti con gli assi dell'ellissoide di inerzia relativo ad O₁, con O₁x₁y₁z₁ solidale al corpo rigido 𝒞. Cioè sono gli assi del sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁ solidale a 𝒞, che coincidono con gli assi dell'ellissoide di inerzia.

Nel momento in cui, rispetto a questi assi, calcoliamo i momenti di inerzia, questi si chiameranno momenti principali di inerzia. Nella figura che avevamo fatto di sopra, si vede subito che gli assi dell'ellissoide di inerzia sono gli assi tratteggiati in verde, che non coincidono con gli assi O₁x₁, O₁y₁, O₁z₁. Nel momento invece in cui prendiamo un sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁ che coincide con gli assi verdi, allora quelli sono assi principali di inerzia.

Se consideriamo gli assi principali di inerzia, il vantaggio che si ha è che l'equazione dell’ellissoide di inerzia, rispetto agli assi principali di inerzia, assume un'espressione di questo tipo. Per semplificare questa espressione, può essere utile sapere quali sono gli assi principali di inerzia, dato un corpo rigido per un suo punto O₁.

Gli assi principali di inerzia si determinano in questo modo. Quindi gli assi principali di inerzia di un corpo rigido 𝒞, rispetto ad un suo punto O₁, sono quelli che hanno la direzione degli autovettori w₁, w₂, w₃, relativi agli autovalori, che indichiamo con λ₁, λ₂, λ₃, della matrice di inerzia ℐ.

Gli autovalori della matrice di inerzia si determinano in questo modo, quindi si fa il determinante della matrice di inerzia ℐ, λ per la matrice di identità, uguale a 0, si determinano gli autovalori. A questo punto, a questi autovalori sono associati gli autovettori ed ecco che questi sono una terna ortogonale, in virtù del fatto che la matrice d’inerzia simmetrica è a definita positiva e quindi gli assi principali di d’inerzia li otteniamo attraverso le direzioni degli autovettori relativi agli autovalori della matrice d’inerzia.

Di solito però non si passa attraverso il calcolo degli autovettori relativi agli autovalori della matrice d’inerzia, perché ci sono delle condizioni di tipo geometrico che ci permettono di stabilire come sono fatti gli assi, cioè permettono di determinare gli assi principali di inerzia. Inoltre non ci sono solo delle condizioni geometriche, ma anche delle condizioni analitiche.

Condizione necessaria e sufficiente affinché l'asse O₁x₁ sia principale di inerzia è che i momenti di deviazione A' e B' siano nulli. E siccome non c'è motivo per cui ci sia un teorema per l'asse O₁x₁ e non per l'asse O₁y₁, c'è un analogo teorema per l'asse O₁y₁ che dice condizione necessaria e sufficiente, affinché l'asse O₁x₁ sia principale di inerzia per il corpo rigido 𝒞 è che A' e C' siano nulli e per l'asse O₁z₁ la condizione necessaria e sufficiente è che B' e C' siano nulli. Quindi se calcoliamo i momenti principali di inerzia A' e B' e troviamo che sono nulli, mentre C’ è diverso dal zero, allora possiamo dire che l'asse O₁x₁ è principale di inerzia.

Conseguenza di questi teoremi è che se due assi sono principali di inerzia, anche il terzo lo è, perché se O₁x₁ e O₁y₁ sono principali di inerzia, automaticamente B’ e C’ sono zero e quindi l'asse z₁ è principale di inerzia.

Però ci sono anche dei teoremi di tipo geometrico per individuare gli assi principali di inerzia.

Questo è uno di questi: se un corpo rigido possiede un piano di simmetria geometrico-materiale, allora le rette perpendicolari al piano di simmetria sono principali di inerzia.

Supponiamo di avere un corpo rigido e supponiamo che ci sia un piano di simmetria per il corpo rigido, allora tutte le rette perpendicolari a questo piano sono principali di inerzia.

Sussiste anche un corollario che dice che se 𝒞 è un corpo rigido piano, allora il piano che contiene il corpo rigido è un piano di simmetria geometrico materiale e di conseguenza ogni retta perpendicolare in un punto 1 del corpo rigido a questo piano di simmetria è principale di inerzia.

Se 𝒞 è un corpo rigido piano, allora il piano che contiene il corpo rigido è un piano di simmetria geometrico-materiale. Per il teorema di prima, ogni retta perpendicolare in un punto O₁ del corpo rigido al piano, è principale di inerzia allora.

Se siamo in questa condizione, quindi abbiamo un corpo rigido piano, abbiamo il piano in cui si trova il corpo rigido, allora tutte le rette che possiamo fare perpendicolari sono principali di inerzia, di conseguenza se supponiamo di prendere un sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁, con z₁ perpendicolare al piano, quindi consideriamo O₁z₁ perpendicolare a questo piano che indichiamo con il piano π, allora possiamo dire che questo è un asse principale di inerzia per i teoremi che abbiamo visto prima.

Di conseguenza, B' e C' sono nulli, di conseguenza, l'equazione dell'ellissoide d'inerzia di questo corpo 𝒞 rispetto a questo punto O₁ sarà uguale a 1 e quindi quello che possiamo dire è che questa equazione è semplificata, B’ e C' non ci sono, inoltre vale anche che il momento di inerzia C rispetto all'asse O₁z₁ si può calcolare come la somma di A + B, questo solo se 𝒞 è un corpo rigido piano con O₁z₁ perpendicolare al piano π.

L'ellissoide relativo al baricentro G viene detto ellissoide centrale, i suoi assi sono detti assi centrali e i momenti ABC relativi a tali assi sono detti momenti centrali.

Vediamo un teorema che possiamo considerare come l'analogo del teorema di Huygens, in quanto riguarda i momenti di deviazione e enuncia una relazione tra i momenti di deviazione rispetto a sistemi di riferimento che hanno assi paralleli tra loro.

Supponiamo di avere un sistema materiale di punti. In generale, consideriamo un sistema discreto, senza perita di generalità, perché la trattazione è più comoda. Quindi sistema di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N. Supponiamo che siano noti i momenti di deviazione di questo sistema materiale di punti, rispetto ad un sistema di riferimento Gx'y'z'. E questi momenti li indichiamo con A’G, B’G e C’G, questo per dire che sono riferiti al sistema di riferimento Gx'y'z'. Se sono noti questi momenti di deviazione, allora i momenti di deviazione A’O, B’O e C’O, sempre del nostro sistema materiale, rispetto ad un altro osservatore, che indichiamo con Oxyz, i cui assi sono paralleli agli assi del sistema di riferimento che abbiamo visto precedentemente, cioè baricentrico, Gx'y'z', valgono delle relazioni.

Dove M rappresenta la massa totale del sistema materiale, quindi la sommatoria in s degli ms. G è il baricentro del sistema materiale di punti, che avrà coordinate xG, yG e zG nel sistema di riferimento Oxyz. E appunto xG, yG e zG compaiono in queste formule di trasformazione.

La dimostrazione la facciamo soltanto A’O, perché poi sarà analoga per tutte le altre. Scriviamo per definizione chi è A’O.

A’O è la sommatoria per s che va da 1 ad N, dove supponiamo che xs ed ys siano per esempio le prime due coordinate xs ed ys del punto Ps, misurate nel sistema di riferimento Oxyz. Come sono questi due sistemi di riferimento?

Il sistema di riferimento Oxyz è parallelo al sistema di riferimento baricentrico Gx'y'z', quindi in particolare Ox sarà parallelo a Gx', Oy parallelo a Gy' e la stessa cosa per gli assi z e z’.

Ps invece, per esempio nel sistema di riferimento Gx'y'z', avrà coordinate x’s, y’s e z’s.

Vediamo quali sono le formule che legano la xs, la ys e la zs alle coordinate di Ps nel sistema di riferimento quello che abbiamo evidenziato in azzurro, cioè quello baricentrico.

Le formule di trasformazione tra le coordinate dei due sistemi di riferimento è quella che abbiamo scritto.

A’ lo abbiamo visto come la sommatoria in s degli ms xs ed ys, adesso, siccome vogliamo trovare il legame tra A’O e A’G, cerchiamo di passare dalle coordinate nel sistema di riferimento Oxyz alle coordinate nel sistema di riferimento baricentrico. Quindi andiamo a sostituire al posto di xs ed ys, le coordinate nel sistema di riferimento baricentrico.

Svolgiamo i prodotti, spezziamo le varie sommatorie, poi consideriamo i vari addendi con le sommatorie. Chi è il primo addendo, sommatoria in s degli x’s ed y’s?

Per definizione, questo primo addendo è A’G. Siccome yG non dipende dall'indice s di sommatoria, possiamo raccoglierlo a fattore comune. Ma attenzione, chi è questo? M è la massa totale del sistema, per la coordinata x' del baricentro G, per definizione di coordinata x' del baricentro G. Anche al secondo addendo con la sommatoria xG non dipende dall'indice s di sommatoria, quindi lo possiamo raccogliere a fattore comune e per lo stesso motivo, in virtù della definizione di baricentro, questo è massa totale del sistema per la y' del baricentro G e infine, siccome xG e yG non dipendono dall’indice s di sommatoria, li raccogliamo a fattore comune e questo termine è la massa totale del sistema.

Se adesso andiamo a vedere quanto vale la coordinata x’G del punto baricentro, siccome il baricentro G è l'origine del sistema di riferimento Gx’y’z’, così come abbiamo visto nella dimostrazione del teorema di Huygens, avremo che x’G è 0, così come y’G è 0. Di conseguenza il secondo e terzo addendo con la sommatoria sono nulli e rimane soltanto l'ultimo addendo con la sommatoria e in questo modo abbiamo dimostrato il teorema.

La dimostrazione può essere fatta in modo esattamente analogo anche per i B' e C', ma non la facciamo, perché basta quella che abbiamo visto per A’. Questo è un analogo del teorema di Huygens, però fatto per i momenti di deviazione. In virtù di queste formule, se la terna di riferimento Gx'y'z' è una terna principale di inerzia; la terna principale di inerzia si ha quando gli assi coincidono con gli assi dell'ellissoide di inerzia, allora si avrà che A’O è uguale a M xG yG, B’O è uguale a M xG zG e C’O è uguale ad M yG zG.