7. Meccanica analitica

Il principio di d’Alembert ha almeno tre formulazioni diverse, tutte equivalenti.

Si considera un sistema meccanico il più generale possibile, quindi un sistema meccanico fatto da N punti materiali, Ps, ms, con s che va da 1 ad N, e soggetto ad un sistema di forze attive. Ps, Fs, e ad un generico sistema di reazioni vincolari che rappresentano i vincoli.

Questo è un generico sistema meccanico e supponiamo che questo si stia muovendo, quindi il sistema meccanico è in moto e allora, per ciascun punto sappiamo che si può scrivere la legge di Newton ms as, cioè massa del punto Ps per l'accelerazione del punto s-esimo, uguale ad Fs + φs, cioè la somma del vettore Fs delle forze attive + φs il vettore delle reazioni vincolari. Questa che è la legge di Newton possiamo anche scriverla in questo modo, Fs e poi mettiamo - ms as + φs, cioè portiamo tutto da una stessa parte, al primo membro o al secondo membro in questo caso, e quindi otterremo un'uguaglianza a zero, l'equazione è sempre la stessa, semplicemente abbiamo portato dalla stessa parte dell’equazione tutti i termini vettoriali.

Adesso ci concentriamo per un attimo su questo vettore, - ms as, se interpretiamo questo vettore come il vettore di una forza e in particolare li chiameremo vettori delle forze d’inerzia. Possiamo farlo, perché questo vettore ha le dimensioni di una forza, perché è una massa per un'accelerazione relativa al punto Ps, allora interpretando questi come vettori di forze che applicati al punto Ps, di vettore - ms as e queste le chiameremo forze d’inerzia, allora siamo pronti per dare l’interpretazione della legge di Newton scritta in questo modo, e abbiamo quindi la prima formulazione del principio di d’Alembert.

1ª formulazione

Il principio di d'Alembert nella prima formulazione ci dice che durante il moto durante di un qualunque sistema meccanico, non abbiamo fatto ipotesi restrittive, istante per istante, le forze attive, le forze d'inerzia e le reazioni vincolari si fanno equilibrio.

Quindi è una reinterpretazione della legge di Newton scritta opportunamente, in cui accostiamo ai vettori delle forze attive e delle reazioni vincolari, i vettori di forze che chiamiamo forze d’inerzia. La dimensione c'è, quindi non abbiamo fatto niente di strano e leggendo questa equazione che è eguagliata a zero, abbiamo la prima formulazione del principio di D’Alembert.

2ª formulazione

Poiché poi queste reazioni vincolari rappresentano i vincoli, c'è una seconda formulazione che possiamo dare di questo principio di D'Alembert che dice sempre che durante il moto di un qualunque sistema meccanico, istante per istante, le forze attive e le forze d'inerzia si fanno equilibrio in virtù dei vincoli.

L'enunciato del principio di d'Alembert si può anche esprimere in un'altra forma. Queste sono tutte equivalenti, però storicamente il principio di D'Alembert è quello che daremo nella terza formulazione. E' di nuovo una rilettura dei vettori che entrano in gioco sempre in queste equazioni, che sono tutte dello stesso tipo, per s che vada 1 ad N. Si tratta di rileggere in maniera diversa il vettore delle forze attive che agiscono sul punto.

3ª formulazione (Principio di D’Alembert)

Posso scrivere il vettore delle forze attive Fs come la somma di due contributi, cioè se penso a questa identità fatta così, ms as + (Fs - ms as). Questa è una banale identità, perché ad Fs ho aggiunto e tolto la stessa quantità e quindi questa è un'identità banale.

Reinterpreto in maniera diversa questa ms as e questo vettore che abbiamo messo tra parentesi. Possiamo dire che il vettore Fs lo vediamo come somma di due contributi:

1. Il primo contributo, a, che è ms as, che lo possiamo vedere come la forza, il vettore della forza, che sarebbe atta ad imprimere al punto Ps, se fosse libero — cosa che non è, perché ci sono anche i vincoli —  lo stesso moto a cui il punto Ps è soggetto sotto l'azione combinata di Fs e dei vincoli.

2. Il secondo contributo, (Fs - ms as) rappresenta invece quella parte di Fs che va perduta per compensare i vincoli. Questi vettori sono i vettori di quelle che si chiamano forze perdute.

E allora possiamo rivedere la nostra equazione, che era sempre questa, dove però andiamo a rileggere diversamente il contributo di questi primi due addendi. La scriviamo come (Fs - ms as) + φs = 0, sempre per s che va da 1 ad N. In questo modo abbiamo la terza formulazione del principio di D’Alembert, che si chiama anche Principio di D’Alembert.

Quindi la 3ª formulazione è la seguente:

Durante il moto di un qualunque sistema meccanico — non abbiamo fatto alcuna ipotesi restrittiva — istante per istante, le forze perdute e le reazioni vincolari si fanno equilibrio.

Sono tutte formulazioni equivalenti e qual è il vantaggio di utilizzare questo principio di D'Alembert? Il principio di D'Alembert, qualunque sia la sua formulazione, ha la sua forza in questo aspetto, che riconduce un qualunque problema di moto, quindi un problema di dinamica, ad un problema di equilibrio, cioè ad un problema di statica. E quindi per fare questo si tratta di sostituire alle forze attive, le forze perdute, oppure in maniera del tutto equivalente, aggiungere alle forze attive le forze di inerzia. Si tratta semplicemente di una rilettura, di una reinterpretazione dei vettori che entrano in gioco nella legge di Newton.

Le equazioni di Lagrange sono il secondo metodo per studiare il moto dei sistemi meccanici. Quali sono le ipotesi, cioè le condizioni di applicabilità per cui ci possiamo permettere di usare le equazioni di Lagrange per studiare il moto dei sistemi meccanici?

Ci viene richiesto di avere un sistema meccanico Ps, ms, con s che va da 1 ad N, che sia olonomo e sia a vincoli perfetti e bilaterali. Queste sono le ipotesi che ci sono richieste. Supponiamo inoltre che sia ad N gradi di libertà, e indichiamo con q₁, …, qn, i parametri lagrangiani. Appena abbiamo cominciato a parlare della meccanica dei sistemi, abbiamo preso un sistema meccanico a vincoli perfetti e abbiamo visto che per il sistema meccanico a vincoli perfetti, siccome i vincoli sono anche bilaterali, possiamo scrivere l'equazione simbolica della meccanica che ci dice che è condizione necessaria e sufficiente per il moto di un qualunque sistema meccanico a vincoli perfetti e bilaterali, bilaterali ci permette di dire che c'è l’uguaglianza, anziché la disuguaglianza.

Quindi la sommatoria per s che va da 1 a N è un sistema meccanico, quindi c'è un sistema di forze attive (Fs - ms as), scalare δPs, questo sarà uguale a zero qualunque sia lo spostamento virtuale δC che individueremo con δP₁, …, δPn. In virtù del fatto che i punti Ps sono funzione di q₁, …, qn e in generale del tempo, noi poi sappiamo che lo spostamento virtuale δC si potrà scrivere anche in funzione di δq₁, …, δqn.

Inoltre, sappiamo che queste Fs sono funzione, in generale, delle q, delle q punto e del tempo, lo stesso le accelerazioni as, di conseguenza, reinterpretando opportunamente queste equazioni e quindi tutti i vettori che le compongono, in virtù di tutte queste uguaglianze che abbiamo scritto si ricavano, e noi non lo faremo, ma vediamo come attraverso dei passaggi analitici si arrivano a ricavare le equazioni di Lagrange.

I passaggi non li facciamo, dobbiamo solo sapere da dove si parte, come si reinterpretano i vari δPs, che si possono sempre scrivere come funzione dei δq, ma anche le Fs e le as, però non lo faremo. Reinterpretando opportunamente i vettori, otteniamo le equazioni di Lagrange, che dicono che la derivata temporale della derivata parziale dell'energia cinetica, fatta rispetto a qk punto, - la derivata parziale di T, energia cinetica, fatta rispetto a qk, è uguale alla k-esima forza generalizzata di Lagrange per k, che va da 1 ad n.

Abbiamo ottenuto le equazioni di Lagrange e sono le equazioni differenziali del moto di un qualunque sistema meccanico olonomo a vincoli perfetti e bilaterali.

Queste sono n, tante quant’è il numero di gradi di libertà, n equazioni differenziali del secondo ordine.

Perché sono equazioni differenziali del secondo ordine? Perché l'energia cinetica T è funzione dei parametri lagrangiani delle velocità generalizzate e in generale del tempo, e le forze generalizzate di Lagrange Qk anch'esse sono delle funzioni dei parametri lagrangiani delle velocità generalizzate e in generale del tempo. Le forze generalizzate di Lagrange compaiono quando abbiamo scritto il lavoro infinitesimo reale o virtuale.

Vediamo un esempio di come si scrivono le equazioni di Lagrange se per un corpo rigido consideriamo un corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso. Supponiamo di avere il corpo rigido e poi consideriamo l'asse scorrevole su un certo asse fisso. Consideriamo quindi un sistema di riferimento Oxyz con l'asse Oz che coincide con l'asse fisso. Poi prendiamo un secondo sistema di riferimento con origine nel punto O₁ e gli assi x’, y’ e z’, che sia un sistema di riferimento traslante rispetto al sistema di riferimento fisso e con O₁z' che coincide con l'asse scorrevole. Inoltre, O₁ è un punto dell'asse scorrevole e che appartiene al corpo 𝒞. Poi z’ coincide con l'asse z. Infine ci serve un altro sistema di riferimento, O₁x₁y₁z₁, che sia solidale al corpo rigido 𝒞. E quindi questo sistema di riferimento avrà O₁z₁ coincidente con O₁z’.

Il corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso ha due gradi di libertà. E come parametri lagrangiani prendiamo la coordinata z del punto, che è la coordinata di O₁ rispetto ad O e come altro parametro lagrangiano prendiamo l'angolo ϑ di rotazione del corpo rigido 𝒞, cioè l'angolo che l'asse fisso nel corpo x₁ forma con l’asse fisso nello spazio x’.

L’energia cinetica del corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso vale ½, supponiamo che il corpo rigido abbia massa M, ½ m z² punto + ½ il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞 rispetto all'asse fisso O₁z₁ per ϑ² punto. Se vogliamo scrivere le equazioni di Lagrange, abbiamo bisogno dell'energia cinetica che poi deriveremo parzialmente rispetto ai parametri lagrangiani, alle velocità generalizzate e poi ci serviranno le forze generalizzate di Lagrange.

Se considero il lavoro virtuale infinitesimo compiuto dal generico sistema di forze agenti sul corpo rigido, il δL lo posso scrivere come la sommatoria per k che va da 1 ad N delle Qk, δqk. In questo caso particolare, siccome ho due gradi di libertà, avrò una Qzδz + Qϑδϑ, cioè n è uguale 2, la Q₁ sarà la Qz, q₁ è z, la Q₂ è Qϑ e la q₂ è ϑ e allora se scriviamo il δL per il corpo rigido che Fe scalare δO₁ + Ωe con polo in O₁, scalare a δϑ, dove δO₁ e aδϑ sono quelli che contribuiscono a scrivere gli spostamenti infinitesimi del corpo rigido. Quindi lo spostamento infinitesimo del corpo rigido è una traslazione infinitesima più la rotazione infinitesima.

Se O₁ è il punto dell'asse del corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso, δO₁ sarà δz lungo k o k₁, che tanto non importa. L'unica rotazione compatibile con i vincoli è O₁ δϑ k. Quindi andiamo a sostituire qui dentro e otteniamo Fe scalare δz k + Ωe con polo in O₁, scalare δϑ k. Quindi quello che otteniamo è Fez, la componente del vettore Fe lungo l'asse z per δz + Ωez, quello con polo in O₁, per δϑ. E quindi, confrontando questo con questo, perché i δL sono esattamente uguali, si ottiene che Fez è Qz e Ωez è Qϑ. Quindi si ottiene che Qz vale Fez, è la componente del vettore risultante delle forze attive esterne lungo l'asse z e Qϑ è la componente del momento delle forze attive esterne lungo l'asse z.

Adesso possiamo andare a scrivere le equazioni di Lagrange equazioni, che sono 2, perché n è uguale a 2 e quindi diventano la derivata fatta rispetto al tempo della derivata parziale dell'energia cinetica. fatta rispetto a z punto - la derivata di T fatta rispetto a z, è uguale alla Qz. E la derivata fatta rispetto al tempo della derivata parziale dell'energia cinetica fatta rispetto a ϑ punto, - ∂T, derivata parziale di T fatta rispetto a ϑ, è uguale a Qϑ. Queste sono le equazioni di Lagrange e quindi adesso andiamo a sostituire.

L’energia cinetica dipende solo da ϑ punto e da z punto, non dipende da ϑ e da z. Quindi quando calcolo questa derivata parziale rispetto a z, questa è 0 in questo caso, cioè la derivata parziale di T fatta rispetto a z è uguale a 0, così anche questa è uguale a 0, perché la T non dipende da z e da ϑ, ma dipende solo da z punto e da ϑ punto. Andiamo a derivare l'energia cinetica rispetto a z punto. La derivata parziale dell'energia cinetica fatta rispetto a z punto vale 2 per 1/2 per M per z punto, uguale a Qz, quindi uguale a Fez.

La seconda equazione è la derivata temporale della derivata parziale di T, fatta rispetto a ϑ punto, vale 2 volte per ½ per questo momento di inerzia per ϑ punto. Quindi avremo il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞 rispetto all'asse O₁z₁, uguale ad Ωez. Ora si tratta di derivare ancora una volta queste quantità tra parentesi, M z due punti è uguale ad Fez e il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞 rispetto all'asse O₁z₁ è uguale ad Ωez, dove Fez dipende da z da ϑ, da z punto, da ϑ punto e dal tempo e analogamente la stessa cosa, l'Ωez. E queste sono le equazioni di Lagrange per il corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso.

Per concludere questa parte di teoria di meccanica analitica, concludiamo con le equazioni di Lagrange per i sistemi meccanici conservativi. Le equazioni di Lagrange sono derivata totale della derivata parziale di T, fatta rispetto a qk punto, - δT in δqk, uguale a Qk, questo per k che va da 1 ad n. Quando è che un sistema è conservativo? Quando il sistema meccanico è olonomo, scleronomo, a vincoli perfetti e soggetto ad un sistema conservativo di forze attive. Se un sistema di forze è conservativo, allora vuol dire che le forze generalizzate di Lagrange sono uguali alle derivate parziali prime della funzione potenziale e quindi per k che va da 1 ad n avrò che le Qk si possono sostituire con queste derivate parziali. E allora abbiamo le equazioni di Lagrange per i sistemi meccanici conservativi, perché la derivata fatta rispetto al tempo della derivata parziale di T fatta rispetto a qk punto, meno la derivata parziale di T fatta rispetto a qk è uguale alla derivata parziale di U fatta rispetto a qk per k che va da 1 ad n. E queste sono le equazioni di Lagrange per i sistemi meccanici conservativi.

C'è anche un'altra forma in cui si possono scrivere le equazioni di Lagrange per i sistemi conservativi ed è quella che utilizza la funzione lagrangiana. La funzione lagrangiana, o funzione di Lagrange, è la somma dell'energia cinetica + la funzione potenziale. Questa ℒ si chiama funzione di Lagrange o lagrangiana. Siccome la funzione potenziale U dipende solo dai parametri lagrangiani, la derivata parziale di U fatta rispetto a qk punto è identicamente nulla, per k che va da 1 ad n.

Le equazioni di Lagrange le posso scrivere come la derivata temporale della derivata parziale di T fatta rispetto a qk punto e siccome questa quantità è 0, la posso aggiungere qui dentro, perché tanto non faccio nessuna variazione, perché ho aggiunto uno 0. Poi ho - la derivata parziale di T fatta risputò a qk e questo lo porto al primo membro, - dU in d qk. Questo diventa uguale a zero per k che va da 1 ad n.

La derivata totale della derivata parziale di T + U fatta rispetto a qk punto, - la derivata parziale di T + U, fatta rispetto a qk, uguale a 0 per k che va da 1 ad n. Ma abbiamo detto che T + U è la funzione di Lagrange, cioè la lagrangiana. Ed ecco allora che abbiamo le equazioni di Lagrange scritte in funzione della lagrangiana, che ci dicono che la derivata totale della derivata parziale della lagrangiana fatta rispetto a qk punto, - la derivata parziale della lagrangiana fatta rispetto a qk punto, è uguale a zero per k che va da 1 ad n. E questa è l'altra forma delle equazioni di Lagrange per i sistemi meccanici conservativi.

Per i sistemi meccanici conservativi possiamo usare o queste equazioni di Lagrange con la lagrangiana o anche queste, che sono esattamente la stessa cosa.

Con questo terminiamo la parte di teoria sulle meccaniche analitiche e anche tutta la parte di teoria del corso di meccanica razionale. Dalla prossima lezione faremo gli esercizi.