7. Sitzung Mathematisches Gedächtnis

Frühes Mengenverständnis

Approximative Mengenvergleiche

• Säuglinge unterscheiden zwischen unterschiedlich mächtigen Punktemengen

• Z.B:  Studie von  Xu& Spelke, (2000) mit 6 Monate alten Säuglingen (siehe nachfolgende Folien)

Mengenwahrnehmung kann auf unterschiedliche Art erfolgen:

a) Als auf  kontinuierlicher physikalischer Ausdehnung beruhend

b) Als zusammengesetzt aus diskreten, unterscheidbaren Einheiten

= Numerisch basierte Mengenrepräsentation

• Wichtig für die exakte Bestimmung von Mengenveränderungen und

• Voraussetzung für spätere Zählfertigkeiten

• Säuglinge unterscheiden zwischen Punktemengen in einem bestimmten altersabhängigen Bezugsverhältnis (Ratio)

• Neugeborene: Kritische Ratio = 3    [z.B: 1:3 oder 4:12]

• 6 Monate: Kritische Ratio = 2  [z.B: 1:2 oder 6:12]

• 10 Monate: Kritische Ratio = 1,5 [z.B: 2:3 oder 12:18 ]

• Babys (sowie einige nichtmenschliche Primaten) entscheiden sich eindeutig für die größere Anzahl, wenn sie die Wahl zwischen 1 und 2 oder zwischen 2 und 3 Keksen haben, zeigen aber keine klare Bevorzugung, wenn sie zwischen 5 und 6 Keksen wählen dürfen (z.B: Starkey & Cooper, 1980).

• Es scheint so etwas wie eine „magische Zahlengrenze“ bis 4 zu geben, bis zu der die Kinder Mengen auf einen Blick erfassen können.

• Auch Erwachsene, die die Anzahl von Punkten bestimmen sollen, sehen Mengen bis  4 auf einen Blick und fangen erst bei etwa 5 Elementen an zu zählen.

Simultanerfassung (engl. Subitizing):

• Fähigkeit, die Anzahl mehrerer Elemente erfassen zu können, ohne diese explizit abzählen zu müssen.

• Offene Frage: Handelt es sich hierbei um reine perzeptuelle Vergleichsprozesse (z.B. Mustererkennung) oder um frühe numerische Zählfähigkeiten?

„Subitizing“:Direkte Mengenerfassung bis zu 4 Elementen

Handelt es sich hierbei um frühe numerische Kompetenzen?

Versuche von Wynn, 2007: Verständnis von Mengen-veränderungenbei bis zu 4 Elementen

• „Addition“

• „Subtraktion“

• Betrachten Kinder immer dasjenige Ereignis länger, das mehrereMäuse beinhaltet?

—> Säuglinge scheinen zu verstehen, dass Hinzufügen und Wegnehmen mit einer Anzahl - Veränderung einhergeht

Ergebnisse

• 5 Monate alte Babys schauen in allen Aufgaben länger auf das mathematisch unmögliche Ereignis (inconsistent outcome).

• Babys erfassen sehr früh die Anzahl von Objekten im Bereich 1 bis 4. Sie begreifen, wenn etwas dazu kommt (Addition) oder weggenommen wird (Subtraktion).

• Wynn (e.g. 2007) geht davon aus, dass es sich bei diesen Leistungen um frühe numerische Kompetenzen handelt.

• Säuglinge scheinen über 2 zahlenrelevante Repräsentationssysteme zu verfügen: Analoge Mächtigkeitsrepräsentationen und sog. Object-file Repräsentationen(Carey, 2001; Xu& Spelke, 2000)

„Analog magnitude model“ zur Repräsentation größerer Mengen und ihrer ungefähren kardinalen Wertigkeit

• Bei Mengenvergleichen spielt die Mächtigkeit der zu vergleichenden Mengen eine entscheidende Rolle: Das Verhältnis zweier Mengen ist für den Vergleich ausschlaggebend

• Zur „analog magnitude Hypothese“ passen die Befunde zur approximativen Mengenerfassung bei Mengen über 4 Elemente

-> sogar Neugeborene können dies

-> je jünger die Kinder desto größer muss dies sein

-> KInder zählen Objekte (Punkte) nicht -> mächtigkeit ist wichtig

„Object file model“ zur mentalen Repräsentationen konkreter Objekte beim Vergleich kleinerer Mengen (Mengen von 1 -4)

• Für jedes wahrgenommene Element wird kurzzeitig ein mentaler raumzeitlicher Repräsentant „object file“ geöffnet, der aber keine detaillierte Informationen über die jeweiligen Elemente enthält

  -> Probleme bei größeren Mengen

  • Demnach wird zunächst die Anzahl der in einem Ereignis involvierten Objekte beachtet und zwar unabhängig davon, welche Eigenschaften die Objekte aufweisen.

• Festtsellen der Anzahl der Objekte (kinder dazu früher in der Lage auch ohne Merkmalsinformation)

Objectfile/Objectindex = Synonyme

• System erklärt wie Kinder kleinere Mengen erfassen und voneinander nterscheidne können

• Index Zuweisung -> benötigt Raum/Zeitliche Information

• Ohne Merkmalsinformation (weis nicht wie Objekte einzelnd aussehen)

Zu der Annahme der Object-file Bildung passen auch Befunde aus:

a) Weiteren Studien zum frühen Additions /Subtraktionsverständnis

b) Studien zur Objekt-Individuation

• Verständnis das es sich um verschiedene Objekte handelt

• mit unterschiedlicher zeiträumliche Information (ein Objekt kann nicht mehrere Räume einnehmen)

• wie viele Dinge sind in einem Ereignis involviert? (raum-zeitliche Information entscheident -> werden Repräsentatnten entwikclet)

• Später i.d. Entwicklung können Kinder Merkmalsinformationen nutzen um diese zu identifizieren

-> das eine Objekt ist rechts, das andere linke (kann es daran unterscheiden); Farbe: eins rot, andere gelb

-> Erwarten 2 -> durch raum zeitliche Information in der Testphase sind sie in der Lage zu individuieren

rechts: hat Kindern zusätzlich raum zeitliche Information gegeben (Hase nimmt den einen, Ball den anderen Raum ein) -> Kinder konnten dann individuieren

Bis zum Schuleintritt werden wichtige Zählprinzipien erworben:

Rechenstrategien:

• Abruf arithmetischen Faktenwissens: Lösung einfacher Aufgaben wird aus dem Gedächtnis abgerufen.

• Abzählen:

  -> z.B. Aufgabe 2 + 2

  -> Kind streckt pro Hand zwei Finger aus und zählt ab 1,2,3,4

• Zählen vom größeren Summanden aus (ab Schuleintritt)

  -> z.B. Aufgabe 3 + 9 -> 9, 10, 11, 12

• Zerlegung / Dekomposition der Aufgabe in zwei leichtere Aufgaben

  -> z.B. Aufgabe 3 + 9 -> 3 + 10 = 13 und 13 –1=12

  -> z.B. Aufgabe 3 x 4 -> Zerlegung in 3 Additionsaufgaben |||| + |||| + |||| = 12

Bereits bei 4 Jährigen:

• Angemessene Auswahl der zur Verfügung stehenden Strategien

• z.B. Gedächtnisabruf bei leichten Aufgaben, Abzählen bei schwierigen Aufgaben

Verständnis mathematischer Konzepte

• Konzept der Gleichheit       2 + 2 = 4

• Verständnis, dass die Werte zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens ausgeglichen sein sollen.

• Oft werden solche Aufgaben in der Form 2 + 2 = X gestellt.

  -> Kinder interpretieren das Gleichheitszeichen oft als Startsignal zur Addition

• Problem wenn Aufgabe in der Form 2 + 2 = __ + 1 gestellt wird.

• Goldin-Meadow et al. (2001) zeigen, dass in den USA solche Aufgaben noch in der vierten Klasse falsch bearbeitet werden: Oft werden nur die Zahlen auf der linken Seite addiert.

• Es wird nicht verstanden, dass das Gleichheitszeichen für eine Entsprechung der Summen auf beiden Seiten steht.

Kontextspezifische Unterschiede in der Rechenleistung

Nuneset al. (1993)

• Brasilianische Kinder im Alter zwischen 9 und 15 Jahren, die auf den Straßen Süßigkeiten verkaufen zeigen…

  -> exzellentes Rechenverständnis wenn Aufgaben im Kontext des Straßenverkaufs präsentiert wurden  (z.B. was kosten 4 Kokosnüsse bei einem Stückpreis von 35 C?)

  -> sehr schwache Leistungen wenn Aufgaben in schulischem Format gestellt werden (z.B. was ist 4 x 35?)

Länderübergreifende Vergleiche des mathematischen Verständnisses

In Ländern mit besseren Mathematikleistungen

• wird viel mehr Zeit in Mathematikunterricht investiert

• wird stärker auf das Verständnis der Grundbegriffe fokussiert als auf das (Auswendig)lernen von Rechenwegen

-> Bsp.: Stigler & Hiebert, 1999 zeigen: In Japan wird oft eine Stunde lang eine einzige Aufgabe besprochen. Alternative Lösungsansätze werden diskutiert …