ℕ natürliche Zahlen

Menge:

ℕ = {1; 2; 3; 4;…}

ℕ₀ = {0; 1; 2; 3; 4;…}

Eigenschaften: Ergebnis bei + und • ist wieder eine natürliche Zahl.

Problem: Ergebnis bei - ist nicht immer eine natürliche Zahl.

ℝ reelle Zahlen

Menge: ganze Zahlengerade, die irrationalen Zahlen

√2 ≈ 1,41; π ≈ 3,14 sind z.B. reell.

Eigenschaften: Ergebnis bei +, -, • und ÷ ist wieder eine reelle Zahl.

Problem: Die Gleichung x² = −1 hat keine reelle Lösung.

ℤ ganze Zahlen

Menge: {…;−2; −1; 0; 1; 2;…}

Eigenschaften: Ergebnis bei + , - und • ist wieder eine ganze Zahl.

Problem: Ergebnis bei ÷ ist nicht immer eine ganze Zahl.

ℚ rationale Zahlen

Menge: { p/q ∣ p, q ∈ Z, q ≠ 0}

Eigenschaften: Ergebnis bei +, -, • und ÷ ist wieder eine rationale Zahl

Problem: „Lücken” in der Zahlengeraden, z.B. fehlt eine rationalen Zahl, deren Quadrat 2 ist

Menge

• Definition

  Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen

  Elemente: Objekte in einer Menge

• Schreibweise

  Ist x ein Element der Menge , so schreibt man x ∈ M andernfalls schreibt man x ∉ M

  
  

  Aufzählende Mengenschreibweise: B = {a; b; c}

  Beschreibende Mengenschreibweise: B = {x ∈ N ∣ x liegt zwischen 2 und 16}

• Eigenschaften

  {1; 1; 2; 2; 2; 2} = {1; 2} (egal wie oft Elemente sich doppeln, die Menge bleibt gleich groß)

  {1; 2; 3} = {3; 2; 1} = {2; 1; 3; 1; 2; 3} = … (Reihenfolge egal)

  leere Menge: ∅ oder {}

  
  

Vereinigung und Durchschnitt von zwei Mengen

• Vereinigung A ∪ B = {x ∣ x ∈ A oder x ∈ B}

  In derbDefinition ist kein „entweder oder”, sondern ein „logisches Oder” gemeint:

  x ist in A oder in B oder in beiden Mengen (gleichzeitig) enthalten.

Vereinigung und Durchschnitt von zwei Mengen

• Differenz A ∖ B = {x ∣ x ∈ A und x ∉ B}

Vereinigung und Durchschnitt von zwei Mengen

• Durchschnitt A ∩ B = {x ∣ x ∈ A und x ∈ B}

  Als „logisches Und” gemeint: x ist sowohl in A als auch in B enthalten.

(−a) ⋅ b = a ⋅ (−b) = −(a ⋅ b)

(−a) ⋅ (−b) = a ⋅ b

(−a) : b = a : (−b) = −(a : b) = −a : b

(−a) : (−b) = a : b

Außerdem: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich