Wie berechnet man die Basis für den Kern einer Matrix?
Basis für Kern einer Matrix:
Matrix in Stufenform bringen (Gauß)
—-> Nullzeilen bedueten frei wählbare Variablen
für frei wählbare Variablen nacheinander 0 & 1 einsetzen
—> z. Bsp. x3=1, x4=0 und x3=0, x4=1
—> GLS lösen
Basis vom Kern für alle Fälle ablesen und aufschreiben
( x1 )( x1 )
| x2 || x2 |
span | x3 || x3 |
( x4 )( x4 )
Wie erkennt man ein Typ 1 Gleichungssystem?
Alle Diagonalelemente sind ungleich null
—> Lösung ist eindeutig bestimmt
Wie berechnet man die Basis für das Bild einer Matrix?
Man schreibt die Spalten der Matrix als Zeilen (Transponieren) und führt Gauß Schritte durch. Die nichtverschwindenden Zeilenvektoren bilden eine Basis von dem Bild der Matrix.
Matrix transponieren
transponierte Matrix in Stufenform bringen (Gauß)
—-> linear unabhängige Zeilen bilden Spanvektoren des Bildes
Zeile für transponieren und aufschreiben
Wann ist ein Gleichungssystem homogen?
Wenn jede Gleichung des Gleichungssystems gleich 0 gesetzt ist
I x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 0
II x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 0
III x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 0
IV x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 0
V x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 0
Wie erkennt man ein Typ 3 Gleichungssystem?
unterste Stufe 0 =x mit x ungleich 0
—> unlösbar
Was ist ein Typ 2 Gleichungssystem?
Bei der letzten Zeile kommt 0=0 raus. Die Stufen sind nicht nur einzelnen Stufen, sondern teilweise auch breiter. Die Variablen auf den breiteren Stufen können frei gewählt werden. (z.B. x3 = t.
Welche elementaren Umformungen sind in einem linearen Gleichungssystem erlaubt?
Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0
Zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren.
Zwei Zeilen vertauschen
Was ist der Rang eines linearen Gleichungssystems?
Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen des Gleichungssystems.
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1 | 5
1 0 0 0 1 | 5
0 0 0 0 0 | 0
—> Rang 2
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Menge V ein K-Vektorraum ist?
Welche Kleinbuchstaben verwendet man für die Angabe der Spaltenzahl und der Zeilenzahl?
Spaltenzahl: n
Zeilenzahl: m
Wann heißt eine Abbildung von einem Vektorraum in die reellen Zahlen Norm? (Norm = Länge, Betrag)
Welche drei Arten von Normen kennen wir?
Welche vier Normen kennen wir für Matrizen?
Was muss gelten, damit U ein Untervektorraum von V ist?
Der Nullvektor muss in U liegen.
Zwei Vektoren aus U müssen addiert auch noch in U liegen.
Ein Skalar multipliziert mit einem Vektor aus U muss auch in U liegen.
Was ist der Spann von n Vektoren?
Die Summe aller Linearkombinationen. Im Spann liegen alle Vektoren, die ich aus einer Linearkombination der Vektoren des Spanns aufstellen kann.
Wie überprüft man, ob die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind?
Man schreibt die Vektoren in ein homogenes Gleichungssystem und führt Gauß-Schritte durch. Alle Zeilen die ungleich null sind sind dann linear unabhängig.
Was ist eine Basis und wie kann man sie ausrechnen?
Basen sind Erzeugendensysteme (eine Menge von Vektoren aus denen sich alle anderen "zusammenbasteln" lassen), wobei alle Vektoren des Erzeugendensystems linear unabhängig sind.
Um die Basis zu berechnen schreibt man die Vektoren transponiert in eine Matrix. Dann löst man das System mit den Gauß Schritten. Die nicht verschwindenden Zeilenvektoren bilden dann eine Basis des Vektorsystems.
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