Mathematik 1

2

-> wahr oder falsch

ACHTUNG: Manche Sätze sind keine Aussagen, dann ist es nicht richtig, dies als falsche Aussage zu definieren!

• A und B

• A oder B

• aus A folgt B/ A impliziert B

• A ist äquivalent zu B

• nicht A

Merke: Implikation nur in dem Fall falsch, wenn aus “wahr” “falsch” wird!

A und B

A,B,C -> B wie A, C wie B, A (4w, dann 4f)

Quantoren sind Aussageformen, enthalten eine Variable -> beim Einsetzen der Variable erhält man eine wahre oder falsche Aussage

∀

-> Dieser Quantor heißt „Für alle“

∃

-> Dieser Quantor heißt “es existiert ein”

n!

-> z.B. A = {1,2,3,4,5} = 5 Elemente

-> 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Möglichkeiten

Mächtigkeit = Anzahl der Elemente einer Menge

z.B. |{a,u,t,o}| = 4

Potenzmenge P(A)= Anzahl der Teilmengen der Menge

-> P ({a,u,t,o}) = { }, {a}, {u}, {t}, {o}, {a,u}, {a,t}, {a,o}, {u,t}, {u,o}, {t,o}, {a,u,t}, {a,t,o}, {u,t,o}, {a,u,o}, {a,u,t,o}

-> |P ({a,u,t,o})| = 2^n = 2^|{a,u,t,o}| = 2^4

= 16 Teilmengen

Beschreibend:

{x|A(x)}

-> es wird durch eine Aussage beschreiben, aus welchen Elementen sich die Menge zusammensetzt

Aufzählend:

{a,b,c,d}

-> die Elemente werden alle einzeln aufgezählt

= A × B

ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a∈A und b∈B

-> {(a,b)|a∈A, b∈B}

z.B. A = {a,b,c} und B = {-1,1}

-> A×B = {(a,-1),(a,1),(b,-1),(b,1), (c,-1), (c,1)}

-> B×A = {(-1,a), (-1,b), (-1,c), (1,a), (1,b), (1,c)}

Merke: A×B ≠ B×A!

Mächtigkeit = Anzahl der Elemente

-> |A×B| = |A|*|B|

-> z.B. A = {a,b,c} und B={d,e} -> |A×B| = 3 * 2 = 6

Potenzmenge P(A) = 2^n

-> P(A×B) = 2^|A×B|

-> z.B. A = {a,b,c} und B={d,e} -> |A×B| = 3*2 = 6 -> 2^6 = 64

-> X×Y

-> 1,2,3 sind X-Werte

-> 1,2 sind Y-Werte

Geordnete Paare =Korrdinaten) sind daher:

(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)

-> als Fläche einzeichnen

• A ∪ B

  -> Die Vereinigungsmenge (∪) enthält alle Elemente aus der Menge A und der Menge B

• A ∩ B

  -> Die Schnittmenge (∩) enthält nur die Elemente, die in beiden Mengen A und B sind.

• A ⊆ B

  -> Die Teilmenge (⊆) ist dadurch definiert, dass alle Elemente von A in B liegen, aber nicht unbedingt alle Elemente von B in A

• A \ B

  -> Die Differenzmenge (\) ist die Menge aller Elemente, die in A und nicht in B enthalten sind.

  -> nicht kommutativ! A\B ≠ B\A

Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes

• R ⊆ A×B

Ist R eine Relation, so schreiben wir für (x,y)∈R kurz xRy.

z.B. A = {a,b,c} und B = {-1,1}

R := {(a,1), (b,-1), (c,-1), (c,1)} ⊆ A×B ist eine Relation

-> (a,-1) und (b,1) ∉R

Ist R ⊆ A×A d.h. B=A, so heißt R eine Relation in A

reflexiv

-> wenn ∀ a∈A: (a,a)∈R

-> z.B. R = {(1,1),(2,2)}

symmetrisch

-> wenn ∀ a,b∈A: (a,b)∈R ⇒ (b,a)∈R

-> z.B. R = {(1,2),(2,1)}

transitiv

-> wenn ∀ a,b,c∈A: (a,b)∈R ∧ (b,c)∈R ⇒ (a,c)∈R

-> z.B. R = {(1,2), (2,3), (1,3)}

Wenn eine Relation in A reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, dann heißt sie Äquivalenzrelation in A

• [a] := {b|b∈A, b~a} ist die Äquivalenzklasse von a∈A

z.B. A = {1,2,3,4}

-> R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}

• [1] = (1,2) = [2]

• [3] = (3,4) = [4]

= Funktion (Zuordnung)

A und B -> zwei nicht leere Mengen

-> jedem Element a∈A wird genau ein Element f(a)=b∈B zugeordnet

A heißt Differenzmenge

B heißt Wertemenge

f(A) = {f(a)|a∈A} heißt Bildmenge

z.B.

f: ℝ->ℝ, f(x) = x²

g: ℕ->ℝ, f(n) = √n

Injektiv: wenn jedes Element aus B höchstens einmal als Funktionswert auftritt

-> zu jedem Y- höchstens ein X-Wert

z.B. f(x) = 2x

Surjektiv: wenn jedes Element aus B mindestens einmal als Funktionswert auftritt

-> zu jedem Y- mindestens ein X-Wert

z.B. jede Gerade (z.B. f(x)=2x+1)

-> nicht surjektiv z.B. x², da manche Funktionswerte nie getroffen werden (negativer Bereich)

Bijektiv: wenn jedes Element aus B genau einmal als Funktionswert auftritt = injektiv und surjektiv ist

-> zu jedem Y- genau ein X-Wert

z.B. Gerade, x³

Keine Abbildung: Wenn von einem Wert in A mehrere Elementen in B zugeordnet werden = mehrere Pfeile gehen von einem Punkt in A aus

x² => nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv!

-> es gibt Y-Werte, die nicht getroffen werden -> nicht surjektiv

-> es gibt Y-Werte, die mehrmals getroffen werden -> nicht injektiv

Rationale Zahlen ℚ mit der Menge

ℚ := {a/b|a,b∈ℤ, b ≠ 0}

Addition und Subtraktion:

a/b ± c/d = (a⋅d±b⋅c)/(b⋅d) —> über Kreuz multiplizieren

Multiplikation und Division:

a/b ⋅ c/d = a⋅c/b⋅d

a/b : c/d = a/b ⋅ d/c —> mit Kehrwert multiplizieren

1. Binomische Formel:

(a+b)² = a²+2ab+b²

2. Binomische Formel:

(a-b)² = a²-2ab+b²

3. Binomische Formel:

(a+b)(a-b) = a²+b²

Dient der Berechnung der Potenz eines Binoms (a+b)^n

-> die Koeffizienten bilden das Pascalsche Dreieck und heißen Binomialkoeffizienten

-> Der k-te Binomialkoeffizient in der n-ten Zeile wird abgekürzt durch “n über k”

GEKÜRZT NUR DIESE FORMEL: (n über k) = (n-k+1)!/k!

z.B.

(6 über 3) = 6⋅5⋅4/1⋅2⋅3 = 20

(49 über 6) = 49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44/1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 13.983.816 (Lotto)

allgemein gilt:

(n über 0) = 1

(n über 1) = n

Symmetrie des Pascalschen Dreiecks:

(n über k) = (n über n-k)

Lehrsatz:

Beispiel:

(x+2)⁵

= x⁵ + (5 über 1)⋅x⁴⋅2 + (5 über 2)⋅x³⋅2² + (5 über 3)⋅x²⋅2³ + (5 über 4)⋅x⋅2⁴ + 2⁵

Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen

z := (a,b), ab∈ℝ

a heißt Realteil von z, b heißt Imaginärteil von z.

Re(z) := a

Im(z) := b

Die imaginäre Einheit ist definiert durch

i := (0,1)

Es gilt i⋅i = (0,1)⋅(0,1) = -1

=> i ist eine Lösung der Gleichung x²=-1

-> für (0,b) wird einfach b⋅i geschrieben

-> zweie Schreibweise ohne Klammern

z = a + bi

Menge der komplexen Zahlen:

ℂ = {z|z=a+bi, a,b∈ℝ}

Addition

(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)⋅i

z.B.

3+2i + 6+4i = 9+6i

Multiplikation

(a+bi) ⋅ (c+di)

= a⋅c + a⋅d⋅i + b⋅c⋅i + b⋅d⋅i²

= (ac-bd) + (ad+bc) ⋅ i

z.B.

(3+5i) ⋅ (2+4i)

= (6-20) + (12+10)⋅i

= -14 + 22i

Zu z konjugiert komplexe Zahl

z¯:= a - bi

Betrag

|z| := √a²+b²

-> reelle Zahl

es gilt:

¯(a+bi)¯ doppelt quer = a+bi

|a+bi¯| = |a-bi| = |a+bi|

(a+bi)⋅(a-bi) = a²+b²

Die Division komplexer Zahlen führt man durch, indem mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert wird:

a+bi/c+di

= (a+bi)⋅(c-di) / (c+di)⋅(c-di) -> MERKE: (c+di)⋅(c-di) = c²+d²

= ac-adi+bci-bdi² / c²+d²

= (ac+bd)⋅(ad+bc)⋅i / c²+d²

= (ac+bd / c²+d²) + (bc-ad / c²+d²) ⋅ i

—> Realteil / Imaginärteil!

z.B.

4-8i/3+4i

Zwischenschritt = (4-8i)⋅(3-4i) / 3²+(-4)²

= (4⋅3+(-8)⋅4 / 3²+(-4)²) + ((-8)⋅3-4⋅4 / 3²+(-4²)) ⋅ i

= -20/25 - 40/25 ⋅ i

= -4/5 + 8/5 i

Definition: Für a,b∈ℕ, b 0, sei

a div b das Resultat der ganzzahligen Division a:b.

a mod b der Rest der ganzzahligen Division a:b.

a mod b∈ {0,1,2,…,b-1}

Die Menge ℤb := {0,1,…,b-1} heißt Restklasse modulo b

In Restklassen kann man rechnen:

Allgemein in ℤb:

x+y = (x+y) mod b∈ℤb

x⋅y = (x⋅y) mod b∈ℤb

-> es können auch die Reste addiert multipliziert werden (z.B. 11⋅25 mod 8 = 1⋅3 mod 8 = 3)

z.B. ℤ10 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

ℤ10:

5+4 = 9

5+5 = 10 mod 10 = 0

5+7 = 12 mod 10 = 2

ℤ20:

5⋅15 = 75 mod 20 = 15

-> es wird immer der Rest nach der ganzzahligen Division angegeben! = modulo

-> Man rechnet zunächst ohne den Exponenten und berechnet den Rest der Basis

-> wenn die Zahl danach weiterhin zu groß ist, zerlegt man den Exponenten in seine Faktoren, sodass eine wiederum kleinere Zahl in der Klammer steht, von welcher wir wieder den Rest bestimmen können

-> wiederholen, bis der Rest vollständig bestimmt ist

Beispiele:

ℤ5: (6112)^10

= 6112^10 mod 5 —> Rest von 6112 ist 2, damit weiterrechnen

= 2^10 mod 5

= 4

ℤ8: 20^30

= 4^30 mod 8 —> da 20 mod 8 = 4

= (4²)^15 —> Zerlegung in Exponenten 2 und 15 (da 2⋅15 =30)

= 0 —> da 16 mod 8 = 0, und daher 0^15 mod 8 ebenfalls 0

ℤ8:

4^15 = 4^2 · 4^13= 0 · 413 = 0

5^19 = 5 · 25^9= 5 · 1^9 = 5

6^11 = 6² · 6² · 6^7 = 4 · 4 · 6^7 = 16 · 6^7 = 0 · 67 = 0

7^11 = 7  · (72)^5 = 7  · (1)^5 = 7

Sei p eine Primzahl. Dann gilt in ℤp:

x^p = x für alle x∈ℤp

bzw.

x^p-1 = 1 für x∈ℤp\{0}

Beispiel:

ℤ7:

5^7 = 5

5^6 = 1

Botschaft x∈ℤn soll verschlüsselt werden

Öffentlicher Schlüssel:

-> n (= p⋅ q) und e

Geheimer Schlüssel:

-> p, q und d

Verschlüsselung:

y := x^e mod n ∈ℤn

Entschlüsselung:

y^d mod n = x

z.B.

Verschlüsseln Sie die Zahl x=6 mit dem RSA-Verfahren und dem öffentlichen Schlüssel (n,e)=(7,5). Wie lautet die verschlüsselte Nachricht?

6^5 mod 7

= 6 (36)² mod 7

= 6

Die richtige Antwort lautet: 6

Definition: Eine reelle oder komplexe Zahlenfolge (an) heißt beschränkt, falls eine positive reelle Zahl R existiert mit

|an| < R für alle n∈ℕ

Falls dies nicht der Fall ist, heißt die Folge unbeschränkt.

z.B.

an = 2n oder bn = 2n-1 ergeben die Folgen (2,4,6,8,…) und (1,3,5,7,…) —> unbeschränkt

cn = (-1)^n liefert (-1, 1,-1, 1,-1,…) —> beschränkt

= Konvergenz

-> eine Folge konvergiert zu einem Grenzwert x

Man schreibt (lim —> n->∞) xn=x oder xn —> x (n->∞)

Folgen mit dem Grenzwertx = 0 heißen Nullfolgen

z.B.

1/n —> 0(n->∞)

xn+yn -> x+y (n->∞)

xn⋅yn -> x⋅y (n->∞)

xn/yn -> x/y falls y ≠ 0 (n->∞)

z.B.

xn = 2+1/n -> 2

yn = 3+1/n² -> 3

(2+1/n)⋅(3+1/n²) -> 2⋅3 = 6 (n->∞)

(3n²+2n+1) / (5n²+4n+2) —> durch n² kürzern = (3+2/n+1/n²) / (5+4/n+2/n²)

-> alle /n gegen 0 —> 3/5

(3^n+1)+2^n / (3^n)+2 =(durch 3^n kürzen)= 3+(2/3)^n / 1+ 2/3^n —> 3/1 = 3

Summenzeichen: obere Grenze über dem Summenzeichen, untere Grenze k = Beginn der Reihe z.B. k=1

-> lies, Summe von k =1 bis 100 über k

z.B. Summe von k=1 bis 5 von (k-1) / (k+2)

= 0/3 + 1/4 + 2/5 + 3/6 + 4/7 = 241/140

Rechenregeln:

1. Summe von k=1 bis n über a = n*a (da a+a+a+a -> n Summanden)

2. + 3.

Arithmetische Reihe

nΣk=1 über k = n⋅(n+1) / 2

allgemein:

nΣk=m über k = (n-m+1)(n+m) / 2

Geometrische Reihe

nΣk=1 q^k = 1-q^(n+1) / 1-q

30Σk=1 über (8 − 6k) +Σ30k=1 (2k − 3) − Σ30k=1 (4 − 4k)

= 30Σk=1 über (8-6k+2k-3-4+4k)

= 30Σk=1 über 1

= 30

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.

Man geht aus von der Form

ax²+bx+c und landet am Ende der Umformung bei der Scheitelform

a(x−d)² + e

-> sortieren nach Exponenten

-> aussklammern

-> binomische Formel bilden, indem man Vorfaktor von x durch 2 teilt und diesen Wert als b der binomischen Formel ergänzt

-> diesen Wert auch wieder abziehen, damit die Gleichung nicht verändert wird

-> immer erst auf x² ohne Vorfaktor a bringen!

-> bei negativen Zahlen unter der Wurzel = komplexe Lösung mit i

e^ix = cos(x) + isin (x)

(ax+b)’ = a

(x)’ = 1

(5)’ = 0

(x²)’ = 2x,

(x³)’ = 3x²

(x^n)’ = n*x^(n-1)

(1/x)’ = -x^-2 = -1/x²

(ln(x))’ = 1/x

(√x)’ = 1/2√x

1/4√x³ = -3/4x^-7/4 = -3/4*4√x^7

1/x^n = -n/x^n+1

(e^x)’ = e^x

sin(x)’ = cos(x)

cos(x)’ = -sin(x)

tan(x)’ = 1/cos²(x) = 1+tan²(x)

cot(x)’ = - 1/sin²(x)

cosh(x)’ = sinh(x)

sinh(x)’ = cosh(x)

arcsin (x)’ = 1/√1-x²

arccos (x)’ = - 1/√1-x²

arctan (x)’ = 1/1+x²

Produktregel

(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)*g’(x)

Quotientenregel

(f(x) / g(x)) = f’(x)g(x) - f(x)*g’(x) / g(x)²

Kettenregel

(f(g(x)))’ = f’(g(x))*g’(x)