Raum und Form

= rote Fäden für den gesamten Geometrieunterricht von der Grundschule bis in die Sekundarstule

• geben eine Orientierung bei der Auswahl und Strukturierung von konkreten Unterrichtsinhalten

• helfen, sich auf das Wesentliche im Unterricht zu konzentrieren

• der Bildungsplan gibt Bildungsstandards vor, die der schlechteste SuS immer erreichen sollte

  → der Bildugnsplan gibt Luft nach oben

  → dabei helfen die Fundamentalen Ideen

• Geometrische Formen und ihre Konstruktionen: Wie kann ein Quadrat konstruiert werden? Welche Möglichkeiten gibt es dabei

Beispiel: Zeichenuhr (je nach Art der Aufgabenstellung)

• Operieren mit Formen: Zerlegen, Verändern und Zusammenfügen von Formen und Arbeiten mit Formen,

Beispiel: Zeichenuhr (je nach Art der Aufgabenstellung: „Welche Besonderheiten hat das Quadrat, was macht es aus?)

• Koordinaten: Hilfe beim Zurechtfinden, Lagebeschreibungen, Grundlage für die spätere analytische Geometrie

Beispiel: Taxigeometrie (je nach Art der Aufgabenstellung)

• Maße (und Formeln): Messen und Arbeiten mit Maßen (Flächeninhalte, Volumen, etc.), mit Formeln wird in der Grundschule nicht gearbeitet

• Geometrische Gesetzmäßigkeiten und Muster

Beispiel: Taxigeometrie (je nach Art der Aufgabenstellung)

• Formen in der Umwelt: Formen von Alltagsgegenständen (Kirchturmdächer, Fußbälle, Pyramiden, etc), Verbindung der Geometrie mit der Umwelt

Beispiel: Taxigeometrie (hängt damit zusammen, ist aber nicht die vordergründige Idee dahinter)

• Übersetzen in die Zahl- und Formensprache

• Mathematisch argumentieren

• Mathematisch kommunizieren

• Probleme mathematisch lösen

• Mathematisch modellieren

• Mathematisch darstellen

• Mit mathematischen Objekten und Werkzeuge arbeiten

• Hinterfragen und Prüfen von mathematischen Aussagen

• Aufstellen von Vermutungen zu mathematischen Zusammenhängen

• Formulierung und Vollziehen von Begründungen

• Entnehmen von relevanten Informationen (z.B. aus Texten, Darstellungen, etc.) für die Bearbeitung einer Fragestellung

• Übersetzen von Sachproblemen in die Sprache der Mathematik

• Prüfung und Interpretation der mathematischen Lösungen

  bezüglich der Ausgangssituation

• Formulieren von Termen, Gleichungen und bildlichen

  Darstellungen zu Sachaufgaben

• Entwicklung von Lösungsideen und -strategien (z.B. systematisches Probieren, Nutzen von Analogien)

• Wählen und Nutzen von heuristischen Hilfsmitteln (z.B. Tabellen)

• Überdenken und Anpassen von Vorgehensweisen

• Beschreiben und Erklären von Überlegungen zu mathematischen Sachverhalten

• Erläutern von mathematischen Zusammenhängen

• Vollziehen Hinterfragen und Weiterentwicklung von

  Lösungen und Lösungswegen anderer

• Wahl, Nutzung und Entwicklung von geeigneten Darstellungsformen für das Lösen mathematischer Fragestellungen

• Übertragung von Darstellungsformen in andere

• Vergleichen und Bewerten von Darstellungsformen

• Übersetzten von symbolischer und formaler Sprache in Alltagssprache und umgekehrt

• Verwenden von mathematischen Fachbegriffen und Zeichen

• Verwenden von mathematischen Objekten (z.B. Zahldarstellungen, Ecken, Tabellen, Terme, etc.) bei der Bearbeitung von Aufgaben

• sachgerechte Einsetzung von mathematischen Werkzeugen (z.B. Zeichenwerkzeuge, digitale Werkzeuge)

5 Bereiche:

• Zahl und Operationen

• Größen und Mengen

• Raum und Form

• Daten und Zufall

• Muster, Strukturen, funktionaler Zusammenhang (ist in allen Themenbereichen eine Grundlage)

Leitidee Raum und Form

• Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Vertiefung, Ordnung, Nutzung und spiralcurriculare Erweriterung von konkrete Handlungserfahrungen

• Begriffsverständnis und Zeichnen

1. Über räumliches Vorstellungsvermögen verfügen

• Orientierung im Raum (z.B. Wege, Pläne, etc.)

• Erkennen, Beschreiben und Nutzen von räumlichen

  Beziehungen

• gedankliches Operieren (z.B. zerlegen, falten, drehen,

  spiegeln, bauen) mit geometrischen Objekten

2. Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

• Klassifizieren von Körper und Figuren nach Eigenschaften

• Wiedererkennen von Körpern und Figuren in der Umwelt

• Darstellen und Untersuchung von Modellen von Körpern und Figuren

• Untersuchen und Vergleichen von Figuren und Köpern

• Anfertigen von Zeichnungen von geometrischen Figuren

3. Geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen

• geometrisches Abbilden von Figuren (verkleinern, vergrößern, spiegeln)

• Erkennen und Beschreiben der Aschsensymmetrie

• Erkennen und Beschreiben von geometrischen Abbidlugnen in der Umwelt oder in Mustern

• keine lange Tradition in der GS

• Dominanz der Arithmetik: wird von Lehrkräften oft als wichtiger

  angesehen

• großer Vorbereitungsaufwand und großer Zeitaufwand im

  Unterricht

  • Materialien werden benötigt: Faltpapier, Kleber, Schere, etc.

• Fachliche und methodische Unsicherheit (früher gab es wenig didaktische Vorlesungen zur Geometrie)

  • Geometrie in der Grundschule nicht als systematischer Lehrgang konzipiert (Bei der Arithmetik ist klarer, wo angefangen wird)

• Lernziele für den Geometrieunterricht erscheinen nicht so klar wie für den Arithmetikunterricht

• Ergebnisse geometrischer Aktivitäten spiegeln sich oft nicht sofort in einem Zuwachs an Wissen wider und sind oft nur schwer zu prüfen

  • Bewertungen sind im Geometrieunterricht oft schwierig

• Image der Geometrie als Unterhaltung („Bastelstunde“)

• Förderung elementarer geistiger Fähigkeiten (z.B. Ordnen und Klassifizieren)

  → wichtige Komponente für die Begriffsbildung

• Umwelterschließung

• Förderung der räumlich-visuellen Fähigkeiten (als Teil von

  Intelligenz)

• Unterstützung zum Erwerb arithmetischer Konzepte (geometrische Kompetenzen braucht man für den Erwerb der arithmetischen Kompetenzen)

• Ausbildung allgemeiner mathematischer Kompetenzen (besonders:

  Prozessbezogene Kompetenzen)

• Geometrieunterricht ermöglicht Entdeckendes Lernen und natürliche Differenzierung (handelnde Aktivitäten, bei denen die SuS etwas entdecken können)

  ≠ Arithmetik (die oft „vorgeschrieben“ und „festgelegt“ ist)

• ermöglicht eine natürlich differenzierende Begegnung mit

  mathematischen Inhalten

• Eigenaktivität und Kreativität kann eingebracht werden

• Freude und Motivation

• Propädeutischer Charakter für den Geometrieunterricht der Sek I

  → Geometrieunterricht in der Grundschule als Grundlage für das weitere Lernen

• Den Kindern werden die Formen oft nur in einer Lage gezeigt, sodass sie mit dem Begriff dann auch wirklich nur diese eine Form verbinden

  → Sie lernen nicht zu abstrahieren

Beispiel Dreieck:

• Oft wird in der Schule an dem Beispiel des gleichschenkligen oder rechtwinkligen Dreieck gearbeitet, weil an diesen Beispielen die Eigenschaften eines Dreiecks gut erkennbar sind

• Aber: bei Formen sagt die Lage nichts über die Bedeutung aus

Folgen für die Schule

• Für Formen sollten immer mehrere Beispiele gezeigt werden, damit die SuS verstehen, dass es keine „idealen“ Formen gibt

Vergleich mit der Spache

• In der Schrift kann man Buchstaben nicht einfach drehen, denn es gibt sonst eine Bedeutungsänderung

• Beispiel: M → W sind umgedreht unterschiedliche Buchstaben mit unterschiedlichen Bedeutungen

Was ist ein Begriff?

• Wir sprechen dann von einem Begriff, wenn damit nicht nur ein einzelner Gegenstand (oder auch ein singuläres Ereignis usw.) bezeichnet wird, sondern eine Kategorie, eine Klasse assoziiert wird, in die der konkrete Gegenstand einzuordnen ist.

  → Mit einem Begriff werden demnach Objekte oder Erscheinungen hinsichtlich bestimmter Eigenschaften zusammengefasst

• Anwendung einer Äquivalenzrelation auf eine Menge (2 oder mehrere Objekte werden miteinander vergleichen)

  → Relation „hat genau so viele Ecken wie“ führt zur Einteilung „Vierecke“, „Dreiecke“, ...

Eigenschaften von Begriffen

• Bei natürlichen Begriffen (Alltagsbegriffen) gibt es nur wenige absolute Grenzen

• Die Alltagsbegriffe werden oft nach pragmatischen Gesichtspunkten, werniger nach formal-logischen, gebildet.

• Begriffe weisen Beziehungen zu anderen Begriffen auf.

• Ein Objekt kann auf unterschiedliche Weise klassifiziert und damit in verschiedenen Netzwerken eingeordnet sein.

• Zur Klassifikation der Umwelt haben die Menschen hierarchische Begriffssysteme gebildet.

• Mit der Höhe der Allgemeinheit innerhalb einer Hierarchie nimmt die Anzahl der begriffsbestimmenden Merkmale ab

• Innerhalb dieser Hierarchie kommen die Merkmale der Oberbegriffe auch den untergeordneten Begriffen

• Für Alltagsbegriffe wird meist ein mittleres Differenzierungsniveau verwendet

  → diese Bergriffe nennt man Basisbegriffe

• Das Verstehen eines Begriffs ist mehr als das Kennen eines Wortes

  → nur weil man das Wort „Dreieck“ kenn, heißt es nicht, dass man es versteht

• Das Verstehen eines Begriffes

  • hat verschiedene Ausprägunen / Stufen

    (ähneln den Zielen des Unterrichts)

  • ist keine Dichotomie („verstanden“ / „nicht

    verstanden“)

• Das Lernen eines neuen Begriffs ist ein langfristiger Prozess

  → nach nur einer Unterrichtseinheit zu Quadraten, haben die Kinder nicht automatisch gleich ein Verständnis von Quadraten

Ziele des Unterrichts

1. Begriffsumfang erfassen

• Typische oder besondere Beispiele als Repräsentanten angeben (was gehört alles dazu?

• zu gegebenen Objekten entscheiden können, ob sie den Begriff repräsentieren

2. Begriffsinhalt verstehen

• Repräsentanten herstellen

• alle Eigenschaften kennen (man benötigt das Wissen über die Eigenschaften)

• eine Definition (Beschreibung) angeben

3. Über ein Begriffsnetz verfügen

• Beziehungen zu Ober- und Unterbegriffen bzw. nebengeordnetes Begriffe

4. Anwendung des Begriffs kennen

• Begriff und dessen Eigenschaften zum Modellieren und Problemlösen nutzen (bei Aufgaben)

• in der Mathematik sind nicht alle Begriffe gleich

  → es gibt viele unterschiedliche Sortierungen von Begriffen (haben alle ihre Berechtigung)

→ im Alltag werden oft ebene Begriffe für räumliche Körper verwendet

Begriffsbildung

• individueller kognitiver Konstruktionsprozess, der sich auf praktisches Handeln sowie auf das Eingehen und Zuweisen von Festlegungen stützt

  → läuft bei jedem Menschen anders ab (es gibt eine Tendenz, aber es hängt von den gemachten Erfahrungen ab)

• mathematische Begriffe (z. B. Zahlen, Kreis, Würfel) sind real nicht existent

  → es gibt die Begriffe nicht in Echt, sondern nur in unserem Verstand

• Repräsentanten entsprechen in idealisierter Form den theoretischen Konstrukten

1. durch Erfahrungen:

• aktiver Umgang mit oder Betrachten von verschiedenen Beispielen (Bilder, Modelle, reale Objekte), wodurch Eigenschaften erfahren oder gesehen werden

2. durch Sprache:

• Verknüpfung der Erfahrungen mit Sprache, also mit der Bezeichnung (Wort „Frosch" oder „, Katze)

• Aber: so erworbene Begriffe sind unscharf (Beispiel: Katze)

  • in Bezug auf den Begriffsumfang

  • in Bezug auf den Begriffsinhalt

• Mögliche Probleme

  • Erkennen falscher Kriterien, Nicht-Berücksichtigung richtiger Kriterien

  • Übergeneralisierungen, Nicht-Erkennen von Beispielen

• Kinder können über (erste, vorläufige) Begriffe verfügen, ohne dass sie die zugehörigen Wörter sagen können.

  → Beispiel: Lorenz und Frosch

  → Aber: Einfluss des gehörten Wortes

• Kinder können Worte nachsprechen, ohne dass sie über den Begriff verfügen.

  → Beispiel: Kinder sagen Viereck oder Quadrat, ohne dass ihnen die geometrische Bedeutung klar ist.

• Kinder verwenden Bezeichnungen oft mit einer abweichenden Bedeutung.

  → Beispiele:

  • kleiner Hund wird als Katze aufgefasst,

  • ein Quadrat wird nicht als besonderes Rechteck aufgefasst.

Van-Hiele-Modell zum Verständnis geometrischer Begriffe

→ Wie entwickelt sich das Begriffsverständnis bei Kindern?

1. Niveaustufe: räumlich-anschauungsqebundenes Denken (Visualization)

2. Niveaustufe: analysierend-beschreibendes Denken (Analysis)

3. Niveaustufe: abstrahierend-relationales Denken (Visualization)

4. Niveaustufe: schlussfolgerndes Denken (Formal Deduction)

5. Niveaustufe: strenges abstrakt-mathematisches Denken (Rigor)

Kritik am Modell

• nicht für die Grundschule entwickelt

  → in der GS: Stufe 1, 2, 3

  → Stufen 4 und 5 spielen in der GS keine Rolle

• Stufenmodell, aber es muss tatsächlich nicht nach diesen Stufen ablaufen (man „springt“ nicht von Stufe zu Stufe)

• keine genaue Trennung möglich

• bei verschiedenen Objekten kann man sich auch in verschiedenen Stufen befinden

• Diskussion: was ist vor der 1. Stufe?

1. Niveaustufe: räumlich-anschauungsqebundenes Denken (Visualization)

• eher ein intuitives Wissen

• ein zu identifizierendes Objekt wird ganzheitlich erfasst und

  → keine Zerlegung in Bestandteile

  → keine Zuordnung über Eigenschaftszuweisungen

• Beispiel: Figuren werden auf dieser Stufe aufgrund der Ähnlichkeit mit früher betrachteten Quadraten und Rechtecken identifiziert:

2. Niveaustufe: analysierend-beschreibendes Denken (Analysis)

• geometrische Eigenschaften der einzelnen Figuren können ausgemacht werden

  → Eigenschaften werden über Handlungserfahrungen (Falten, Schneiden, Legen, Zeichnen, Spiegeln, etc.) und genaues Betrachten erkannt

• ine erste Analyse der geometrischen Objekte wird geleistet

• Informelle Begründungen können geliefert werden

• Beispiel: Kinder erkennen teilweise verdeckte Figuren

3. Niveaustufe: abstrahierend-relationales Denken (Visualization)

• Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und Eigenschaften verwandter Figuren können hergestellt werden

  → diese Erkenntnisse können in Begründungen einbezogen werden

• Klassifikationen und Klasseninklusion wird verstanden

  → Klasseninklusion: Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck

• Verbale Formulierungen von Definitionen werden bedeutender

• SuS sind in der Lage Argumente abzuleiten, erste logische Schlüsse zu ziehen und Erkenntnisse zu formulieren

4. Niveaustufe: schlussfolgerndes Denken (Formal Deduction)

• logische Schlussfolgerungen können gezogen werden

  → Weg zum Entdecken geometrischer Theorien

• Nachvollziehen von Beweisen und Übertragung von Beweisen auf andere Sachverhalte

• Rolle und Bedeutung von geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen und Beweisen wird verstanden

5. Niveaustufe: strenges abstrakt-mathematisches Denken (Rigor)

• differenzierte Arbeit mit Axiomen, Definitionen und (geometrischen) Sätzen wird möglich

• Nachdenken über mathematische Denkobjekte und deren Beziehungen auf einer Metaebene in formaler Sprache

  → Losgelöst von konkreten Vorstellungen

• Einbettung in mathematische Theorien

• selbst in der gymnasialen Oberstufe erreichen diese Stufe nicht alle SuS

Kennzeichnende Charakteristika des Van-Hiele-Modells

• (Geometrisches) Denken erfolgt auf differenzierbaren Niveaus, die sequenziell ablaufen

  • die Niveaus sind nicht altersabhängig

• Die Ebenen des Denkens sind hierarchisch angelegt

  • das Denken einer höheren Stufe enthält auch die Fähigkeiten, die auf einem niedrigeren Niveau erworben wurden

• Die Entwicklung von einer Stufe zur nächsthöheren hängt mehr von der Instruktion durch die Lehrkraft und von der Auswahl der Unterrichtsmethoden als von Prozessen der Reifung ab

• (Geometrisches) Denken ist kontext- bzw. aufgabenabhängig

  • Ein Schüler kann bei unterschiedlichen Aufgaben auf verschiedenen Stufen arbeiten

• Misslingende Lehr-Lern-Prozesse können auf ein Passungproblem zurückgehen

• Die Sprache der Lehrkraft muss auf die Sprachentwicklung der Schüler abgestimmt sein

1. Intuitives Begriffsverständnis

2. Inhaltliches Begriffsverständnis

3. Integrierendes Begriffsverständnis

4. Formales Begriffsverständnis

1. Intuitives Begriffsverständnis

• Kinder lernen Repräsentanten für einen Begriff kennen und können aufgrund der Wahrnehmung Beispiele und Gegenbeispiele finden

• SuS haben ein Schema im Kopf

• der Vergleich erfolgt ganzheitlich (die Figur wird als Ganzes

  wahrgenommen)

Beispiele

• „Was ist das (A) für eine Figur?"

  → „Sieht aus wie ein Dach. Das ist ein Dreieck."

• Woher weißt du das? → „Weil es wie ein Dreieck aussieht."

Figuren als einprägsames Ganzes

Figuren als visuelles Schema

Beispiele aus dem Schulbuch

2. Inhaltliches Begriffsverständnis

• Eigenschaften des Begriffs werden erfasst und zum Untersuchen und Herstellen von Beispielen genutzt.

Beispiele

• „Was ist das (A)für eine Figur?"

  →„Ein Dreieck mit zwei gleichlangen Seiten."

• Woher weißt du das?"

  → „Diese beiden Seiten sind gleich lang und diese beiden Winkel sind gleich groß."v

Figuren besitzen Eigenschaften

Beispiele aus dem Schulbuch

3. Integriertes Begriffsverständnis

• Beziehungen zwischen den Eigenschaften eines Begriffes werden erfasst

• Beziehungen zwischen Begriffen, insbesondere zu Unter- und Oberbegriffen werden erfasst

• ein Beziehungsnetz entsteht

Beispiele

• „Was ist das (A) für eine Figur?" → „Das ist ein gleichschenkliges Dreieck."

• „Woher weißt du das?" →„Da es nur zwei gleich lange Seiten hat, ist es gleichschenklig und nicht gleichseitig.“

Figuren als Teil eines Beziehungsgefüges

Beispiele aus dem Schulbuch

4. Formales Begriffsverständnis

• Einbettung des Begriffs innerhalb einer (mathematischen) Theorie

• Bereich, der für die GS nicht so wichtig ist

es gibt verschiedene Wege zum Einführen von Begriffen:

• Spezifizieren aus einem Oberbegriff

• Begriffserwerb durch Abstrahieren

• Begriffserwerb durch Konstruktion

-> es sollte nicht nur ein Zugang angewandt werden, sondern mehrere

Spezifizieren aus einem Oberbegriff

• man geht davon aus, dass der SuS schon einen Oberbegriff des neu zu erwerbenden Begriffs kenn

• der Lehrer gibt den Oberbegriff (Grundmenge) und min. 1 spezifisches Merkmal an, das den neuen Begriff charakterisiert

• der neue Begriff wird im Sinne einer Realdefinition sprachlich beschrieben

Beispiel

• Rechteck als Oberbegriff für Quadrat (Spezifikation aus dem Oberbegriff):

  Ein Rechteck ist ein Viereck, in dem die benachbarte Seiten senkrecht zueinander liegen. Welche Figuren sind Rechtecke

Begriffserwerb durch Abstrahieren

• es erfolgt eine Klassenbildung

  • nach bestimmten Merkmalen oder

  • durch Beispiele oder Gegenbeispiele zu einem Prototypen

• eignet sich gut für die GS zum entdeckenden Lernen, danach muss aber eine Grundlage geschaffen werden

Beispiel

• Was sind Rechtecke, was sind keine Rechtecke: Kinder sollen alle Pappfiguren heraussuchen, die aussehen wie das mitgebrachte Rechteck

• Vierdrei (vom Bild der Abbildung einige Eigenschaften abstrahiert)

Begriffserwerb durch Konstruktion

• „operative Begriffsbildung“

• der Begriff wird handelnd beim Herstellen von Repräsentanten des Begriffs gewonnen

  → Handlungs- und Sachwissen wird erworben

wird erzielt

• durch über handelnde Auseinandersetzung mit der Umwelt

• durch das Sammeln von Erfahrungen

• durch das Entdecken von Zusammenhängen

• durch in Verbindung setzen der gewonnenen Informationen mit bestehendem Wissen

Beispiel

• Lege mit 4 Stäbchen, von denen jeweils 2 Gleichklang sind, ein Viereck. Zeichne alle möglichen Vierecke auf

• eignet sich gut für die GS

Ordnung nach Symmetrieeigenschaften

→ „Haus der Vierecke“

Haus der Vierecke

• wird in der GS oft auch als Haus dargestellt

  → anschaulich

  → aber die Vernetzung gerät in den Hintergrund

• die räumlichen Fähigkeiten lassen sich aufteilen in Wahrnehmung und Raumvorstellung

Wahrnehmung

= komplexer Informationsverarbeitungsprozess, der seinen Ausgangspunkt in der Aufnahme von Reizen durch unsere Sinne hat und in eine kognitive Verarbeitung des Erfassten mündet

• Beispiel: die visuelle Wahrnehmung beinhaltet nicht nur das Sehen im engeren Sinne, sonder bezieht sich auch auf das Verarbeiten, Speichern oder Einordnen des Gesehenen

Raumvorstellung

• auch: Räumliches Vorstellugnsvermögen

• bezieht sich stärker darauf, auch neuartige Vorstellungen räumlicher Phänomene zu generieren

  → können unabhängig von real erfahrbaren Bildern, Modellen oder der Umgebung entstehen

• umfasst über das Speichern, Abrufen oder Erfinden von (statischen) Vorstellungsbildern hinaus auch die Fähigkeit zur Raumvorstellung und die Fähigkeit daran gedankliche Veränderungen vorzunehmen

Non-Visuelle Wahrnehmung:

• Taktile Wahrnehmung

• Kinästhetische und vestibuläre Wahrnehmung

• auditive Wahrnehmung

Visuelle Wahrnehmung

Taktile Wahrnehmung

• erfassen von mechanischen Sinneseindrücken

• Aufnahme und Verarbeitung von Reizen, die gewonnen werden durch:

  • passive Berührung

  • aktive Herbeiführung taktiler Stimulation (gezieltes Umfassen, Berühren oder Erkunden mit der Hand)

• findet im Geometriunterricht eher selten statt, ist aber wichtig dafür

Kinästhetische und vestiuläre Wahrnehmung

• Sinneseindrücke aus dem Körperinneren

• weniger relevant für den Geometrieunterricht der Grundschule

• Kinästhetische Wahrnehmung: Lage- und Bewegungssinn

• Vestibuläre Wahrnehmung: Wahrnehmung unserer Gleichgewichts

Auditive Wahrnehmung

• Erfolgt über die Aufnahme und Weiterleitung von Schallwellen über das Ohr

• Umfasst mehr als die Aufnahme äußerer Reize durch die Sinnesorgane

Visuelle Wahrnehmung → aktive Konstruktion

• Aufnahme, Verarbeiten, Speichern und Einordnen des Gesehenen

• Verbindung zu Gedächtnis, Vorstellungen, Denken und Sprache

• "aktiver Prozess, gesteuert durch bereits vorhandenes Wissen

• Vorrangiger Bezug zu sichtbaren Objekten (im Gegensatz zum räumlichen

  Vorstellungsvermögen)

• Der eigentliche Wahrnehmungsprozess gestaltet sich vielmehr als geistige Konstruktionsleistung, in der der Wahrnehmende selbst aktiv wird:

  • Wir filtern, strukturieren und verarbeiten das Wahrgenommene kognitiv, indem wir neu gewonnene Eindrücke in vorhandene Denkstrukturen integrieren.

Tiefe, Lage und Größe ist erkennbar an:

• Verdeckungen

• ermöglichen die Entscheidung, wie weit etwas entfernt liegt

• Lage, Relative Höhe und Größe

• Perspektivischer Konvergenz (parallele Linien, die scheinbar aufeinander zulaufen)

• Textur und Schatten

• Bewegung

Bereiche der Visuellen Wahrnehmung

die visuelle Wahrnehmung kann in verschiedene Bereiche eingeteilt werden:

• Visuo-motorische Koordination

• Figur-Grund-Unterscheidung

• Wahrnehmungskonstanz

• Wahnehmung räumlicher Beziehungen und der Raumlage

visuo-motorische Koordination

die Fähigkeit, Sehen und Körperbewegungen zu koordinieren

→ Auge-Hand-Koordination

• fällt Kindern oft schwerer als Erwachsenen (müssen das noch lernen)

Beispiele

Wahrnehmungskonstanz

die Fähigkeit, Figuren in der Ebene und Körper im Raum in verschiedenen Größen, Anordnungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wiederzuerkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden.

Größenkonstanz

• Größenkonstanz liegt vor, wenn die Objekte unabhängig von ihrem Netzhautbild aus verschiedenen Entfernungen von uns als gleich groß wahrgenommen wird

• Abstrahieren von der erfassten Größe eines Objektes

• das Netzhautbild wird kleiner, je größer die Entfernung

  → trotzdem weis man, das ein Objekt nicht kleiner wird, wenn es sich von uns entfernt

Formkonstanz

• Formkonstanz liegt vor, wenn die Form eines Objektes aus der Relation der im Netzhautbild erfassten Form und der räumlichen Ausrichtung oder Ausdehnung des zu Identifizierenden bestimmt werden kann

• Erkennne von geometrisch ähnlichen Figuren und Abstraktion von Merkmalen, wie Farbe, Größe oder räumlicher Lage

Beispiele

Figur-Grund-Unterscheidung

die Fähigkeit, aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren

• je komplexer der Hintergrund, desto schwieriger

• wird auch benötigt, wenn ein Gegenstand auf dem Regal geholt wird, oder um sich in einem Schulbuch zurechtzufinden

• Bei der Identifikation von Teilfiguren hilft dem Betrachtenden die Kenntnisse über die Formen

• Kipppfiguren zeigen, dass es nicht immer direkt klar ist, welcher Bereich einer Darstellung als Grund und werlcher Teil als Hintergrund anzusehen ist

Beispiel:

Wahrnehmung räumlicher Beziehungen und der Raumlage

die Fähigkeit, räumliche Beziehungen innerhalb einer Anordnung, sowie die Raum-Lage-Beziehungen eines Gegenstandes oder Arrangements zum Wahrnehmenden zu erkennen und zu beschreiben

• erkennen räumlicher Beziehungen innerhalb einer Anordnung

Beispiel:

Räumliches Vorstellungsvermögen

• ist eines der Hauptziele des Geometrieunterrichts

• hat eine hohe lebenspraktische Bedeutung:

  • Wahrnehmung im Raum

  • Orientierung im Raum

  • Operieren im Raum

• gilt als eine der sieben Primärfaktoren der Intelligenz

Modelle der Intelligenz

• es gibt viele Modelle der Intelligenz → 2 Beispiele:

Intelligenzfaktoren nach Thurstone (1937; 1950)

1. Faktor: Sprachverstandnis

2. Faktor: Wortflüssigkeit

3. Faktor: Rechenfertigkeiten

4. Faktor: Wahrnehmungstempo

5. Faktor: räumliches Vorstellungsvermögen

6. Faktor: Merkfähigkeit

7. Faktor: logisches u. schlussfolgerndes Denke

Theorie der multiplen Intelligenzen nach Gardner (1991)

1. Linguisusche intelligenz

2. Musikalische Intelligenz

3. Logisch-mathematische Intelligenz

4. Bildlich-räumliche Intelligenz

5. Körperlich-kinasthetische Intelligenz

6. Intra- und interpersonale Intelligenz

• Problem: lässt sich empirisch nicht absichern, weil es nur auf der Theorie basiert

  → wird nur selten als Grundlage genommen

räumliche Intelligenz setzt sich aus einzelnen Teilfähigkeiten zusammen:

• die Fahigkeit, die Identität eines Elements zu erkennen

• die Fähigkeit, ein Element in ein anderes zu transformieren oder eine solche Transtormation zu erkennen

• die Fähigkeit, eine mentale Vorstellung zu erzeugen und im Kopf' zu verändern

• die Fähigkeit, graphische Entsprechungen räumlicher Information zu erzeugen und dergleichen mehr

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• es gibt keine einheitliche Darstellung (einheitlichen Modelle) der Teilkomponenten

• Begriffsunklarheiten bzw. -üerschneidungen

• Teilweise starke Uberschneidungen der Teilkompetenzen (nicht trennscharf)

• Aufgaben konnen mit unterschiedlichem „mentalem Werkzeug“ bearbeitet werden (z.B. durch mentale Rotation, Perspektivwechsel oder analytisch)

• Kompetenzen werden in der Literatur häufig mit den psychologischen Testitems gleichgesetzt

Komponenten nach Thurstone

S1: Räumliche Beziehungen (spatial Relations)

S2: Räumliche Veranschaulichung (visualization)

S3: Räumliche Orientierung (spatial Orientation)

S1: Räumliche Beziehungen (spatial Relations)

• intern statisch

• Erfassen räumlicher Gruppierungen und deren Beziehungen

• Erkennen der räumlcihen Beziehugnen von Teilen eines Objekts zueinander

• Identifikation eines Objekts auch aus verschiedenen Blickwinkeln / der Figur in verschiedenen Lagen

• das Objekt wird als Ganzes betrachtet

Beispiele

S2: Räumliche Veranschaulichung (visualization)

• intern dynamisch

• Fähigkeit zur Vorstellung räumlicher Veränderung innerhalb von Objekten

• Vorstellung räumlicher Veränderung innerhalb von Objekten / innerhalb von Anordnungen von Objekten

  → Verschiebung, Faltung, Zerlegung

Beispiele

S3: Räumliche Orientierung (spatial Orientation)

• Einordnung der eigenen Person in eine räumliche Situation

• trainiert die Fähigkeit, sich real oder mental im Raum zurechtzufinden

Die Raumvorstellung ...

... ist wichtig im Alltags- und Berufsleben

• für technische Berufe und für die Naturwissenschaften • wichtig für den Straßenverkehr

... spielt eine zentrale Rolle in der Grundschule

• ist ein Fächerübergreifendes Lernziel

... spielt eine zentrale Rolle im Geometrieunterricht

→ zählt zu den obersten Lernzielen

• Geometrieverständnis ist vor allem die Einsicht in Beziehungen und Zusammenhänge

  → ist ohne Raumvorstellugn nicht denkbar

... hängt zusammen mit der Mathematikleistung

• SuS mit besserer Raumvorstellung, zeigen in der Regel auch eine besser Mathematikleistung (ist empirisch bestätigt)

... ermöglicht die Arbeit mit konkreten Arbeitsmittel oder die bildliche Veranschaulichung

• Konkrete Handlungen an Materialien tragen zu der Entwicklung von Zahl- und Operationsvorstellungen bei

• ermöglicht die Nutzung von Strukturen

Entwicklung der Raumvorstellung

• Eine gute Raumvorstellung ist nur zum Teil angeboren

• Raumvorstellung muss im Verlauf der weiteren Entwicklung erlernt werden

  → sie ist in jedem Alter erlernbar:

  • Bis Alter von 9 Jahren sind ca. 50 % und bis zum Alter von 14 Jahren ca. 80 % der Raumvorstellungsfähigkeit entwickelt

  • Das Training ist vor der Pubertät besonders erfolgversprechend

Kopfrechnen

• hier steht oft die Automatisierung und das Resultat im Mittelpunkt

  → Beispiel: Auswendiglernen des kleinen Einmaleins

• Lösungsprozess steht im Mittelpunkt

• Ziel der Kopfgeometrie: Entwicklung des geometrischen Vorstellungs- und Denkvermögens

  → Denken in ein, zwei und drei Dimenisonen (=Raumvorstellungsvermögen)

  → schließt das Arbeiten mit linearen und ebenen Figurn ein

Früher vs. Heute

• früher: fand ausschließlich im Kopf statt (keine Modelle oder Zeichnung)

• heute: Hilfe bei der Ergebnisformulierung durch manuelle Handlung oder Skizzen

  → Lösen der Aufgaben sollte immer durch mentales Operieren erfolgen

Gründe für die Kopfgeometrie in der Grundschule

→ Wozu Kopfgeometrie?

• Weiterentwicklung der Raumvorstellung

• Problemlösungen mit Hilfe von räumlichem Denken

  → Vorstellungsvermögen

• Operationen an Figuren im Kopf ohne Hilfsmittel durchführen

• Wissen und Fähigkeiten in vielfältiger Weise in Beziehung setzen und kombinieren können

• Sicherheit im Erfassen und im Gebrauch der Fachsprache gewinnen

• Weiterentwicklung der geometrische Sprache (weil die SuS mit Hilfe der Sprache ihre Vorstellungen verbalisieren müssen)

• Trainieren der Konzentrationsfähigkeit

Was soll der Kopfgeometrie vorrausgehen?

• ein materialgestützter Unterricht viele handelnde und spielerische Aktivitäten

• SuS müssen mit den Materialien und den Beqriffen vertraut sein

• erst dann ist es sinnvoll kopfgeometrische Aufgaben zu stellen

• Lösen der Aufgabe sollte immer durch das Operieren im Kopf erfolgen

Reine Kopfgeometrie

→ keinerlei Hilfsmittel oder Veranschaulichung

Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln (in Phasen 1 und 3)

• in der 2. Phase gibt es keine Hilfestellung (die SuS sollen die Aufgabe im Kopf lösen)

• Arbeit mit Modellen und Tätigkeiten im zeichnerisch-darstellenden Bereich müssen vorausgehen

• sehr gute Abstufung des Schwierigkeitsgrades

• Informationen müssen knapp und redundanzarm gehalten werden

• beim Aufbau komplexerer Informationen: Kontrollinformationen geben bzw. Kontrollfragen einbauen

• Aufgabenstellungen variieren (mündlich, schriftlich, mit Modell, mit Zeichnung)

• Differenzierung muss möglich sein

• konzentrierte Atmosphäre und angemessene Denkzeit

• Unterstützung in eigenen Lösungsversuchen

• Lösungen mit Begründungen fordern

• Kontrollmöglichkeiten zur Verfügung stellen

• regelmäßige und über das Schuljahr verteilte Durchführungen der Übungen in allen Jahrgangsstufen sinnvoll und vorteilhaft

Ziele

• Wissen über ebene Figuren: Formenkenntnis, Symmetrie, Flächeninhalte

• Förderung der Raumvorstellung

• Förderung prozessbezogener Kompetenzen: Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren, Darstellen

• Unterstützend dazu: Herausbilden einer geometrischen Sprachkultur

Freies Legen

• spielerisches Lernen

Legen nach Vorlage

• SuS sollen etwas nachlegen

• „Lege mit diesen 4 Dreiecken

  ein Rechteck“

• kann verbal oder bildlich

  vorgegeben werden

Auslegen

• maßstabsgerechte Figur

• kann auch Hilfslinien enhalten

Umlegen vorgegebener Teile

• „Lege aus dem Dreieck ein Rechteck“

• Differenzierung: möglichst wenig Handgriffe

Besonderheiten des Legens

• kein oder wenig Zeichen erforderlich

  → Zeitersparnis

  → Chancengleichheit für motorisch ungeschickte Kinder

• typischerweise Arbeit auf der Handlungsebene, aber auch auf ikonischer Ebene möglich

• Demonstration auf dem Overheadprojektor-Projektor und das Arbeiten ohne Tafel ist möglich

  → gute Demonstration möglich

• starke Motivation aufgrund des “Knobelcharakters” vieler Aufgaben

• Lernerfolgskontrolle ist schwer umsetzbar

  -> schwierig bei Klassenarbeiten

-> diese Besonderheiten sind Chance und Gefahr zugelich

1. erste Erfahrungen im freien Legen sammeln

• dabei: möglicherweise Begleitung von der Lehrkraft:

• „Was hast du gelegt? Was fällt dir auf?“

• Hinweisen auf Beziehungen zwischen den Figuren

2. Variationen / Abstufungen der Schwierigkeiten beim Nachlegen

• Art der Einzelformen (Schulbuchbeispiele)

3. Die Teilformen mit ihren Eigenschaften und Beziehungen zueinander kennenlernen

• Erkunde die Eigenschaften den Tangram-Dreiecks

4. (Lege)Strategien kennenlernen

• Versuch und Irrtum: die 7 Tangram-Teile so oft austauschen, klappen oder drehen, bis die richtige Lösung gefunden wird

• zunächst die Verwendung der großflächigen Teile, damit einige Teiel schnell einen festen Platz finden

  → Reduzierung der Anzahl der Teile

• Orientierung an Längen, Winkeln (Ecken) und Umriss der unterschiedlichen Teilfiguren

• Nutzung von gewonnen Erfahrungen: Zusammenlegen zweier Dreiecke oder Austausch von 2 Dreiecken durch ein Quadrat

5. Sprachliche Unterstützung

• bewusste Sachverhalte werden nochmal bewusst, wenn darüber geredet wird → wichtig für die Kommunikation

• Wortspeicher unterstützen dabei

Wortspeicher

= Sammlung von wichtigen Wörtern, Satzphrasen oder ganzen Wörtern beispielsweise auf einem Plakat oder einer Tafel

• muss so geordnet sein, dass die SuS auf den ersten Blick einen Begriff finden, den sie für ihre Beschreibung brauchen

Erarbeitung von einem Wortspeicher

• Begriffe sollten zunächst mit eigenen sprachlichen Mitteln der Kinder (Alltagssprache der Kinder) bewusst aufgreifen werden

• Kinder in Reflexionsphase ihre Beschreibungen vorlesen lassen

• verdeutlichen, dass das Beschreiben keine einfache Angelegenheit darstellt und dringend wichtige Wörter gesammelt werden müssen.

  → Darunter zählen auch die Wörter der Mathematiker wie z. B. Gerade, parallel

• Sammeln bewusst moderieren (Fachbegriffe können nicht selbst entdeckt werden)

• kein sinnloses Ratespiel

• gezielt fachsprachliche Begriffe / Satzphrasen aufnehmen

  → Wortspeicher erweitern

Legen mit homogenem Material 4.2.1 Beispiel: Quadratmehrlinge

• Quadratmehrlinge bestehen aus n kongruenten Quadraten → gehören zu den sogenannten Polyominos (n-ominös)

• ein n-ominöse entsteht, indem n kongruente Quadrate so aneinandergerät werden, dass je zwei benachbarte Quadrate eine gemeinsame Seite haben

• Zur Bestimmung der Anzahl der n-ominös werden nur alle nicht deckungsgleichen n-ominös mitgezählt → gespiegelt oder gedrehte Figuren werden nicht mitgezählt:

Lernchancen bei der Arbeit mit Pentominos

• fördern des räumlichen Vorstellungsvermögens

• fördern des systematischen und strategische Denkens

• Begriffe Quadrat, Spiegelung, Symmetrie, Umfang, Fläche, Rechteck, symmetrisch, kongruent und deckungsgleich werden auf spielerische Art gefestigt

• Erkennen, Benennen und Untersuchen ebener Figuren

• Erstellen ebener Figuren

• Bestimmung und Vergleich von Flächeninhalt

• Zeichnen von Linien, Figuren unter Nutzung von Hilfsmitteln wie Lineal, Schablone und Gitterpapier

• Orientierung im zweidimensionalen Raum

• Beschreibung und Nutzung räumlicher Beziehungen

• Erkennen, Überprüfen und Nutzen von Achsensymmetrie und Symmetrieeigenschaften

• Erzeugen komplexer symmetrischer Figuren

Aufgabenstellungen am Geobrett

1. Freies Spannen

• eigene Figuren

• bestimmte allgemeine Figuren (z.B. ein Pfeil)

• geometrische Figuren

2. Nachspannen

• nach vorgegebenen Bilder spannen (Anzahl der Nägel beachten)

• schrittweise verändern

3. Weitere Übungen am Geobrett

Arbeiten mit dem Geobrett

• Beim Arbeiten mit dem Geobrett werden enaktive und ikonische Repräsentation unmittelbar miteinander verknüpft.

• SuS können geometrische Formen und Beziehungen selbst erzeugen.

• Das Geobrett ist nicht nur für geometrische Aufgabenstellungen geeignet → es lassen sich auch Erfahrungen zu einem anschaulichen Bruchbegriff gewinnen

• Die Handhabung des Geobrettes ist einfach durchzuführen → das Material ist schnell bereitgestellt und auch wieder schnell weggeräumt.

• Handhabung mit den SuS muss besprochen werden:

  • was kann damit gemacht werden

  • Achtung: Verletzungsgefahr bei den Nägeln

• Gummirnge können veralten

  → darauf achten

• Transparente Geobretter für den OHP → verdeutlichen auch die Spiegelung

• ist eine handelnde Aktivität, die die Kopfgeometrie fördert

• die Übungen sollten im Hinblick auf geometrische Grundformen und Begriffe ausgewählt werden

• Verbindung handwerklich-praktischer und gedanklich-theoretischer Aspekte

Grundtechniken des Faltens

→ sollte den SuS vermittelt werden

• Falten entlang der Diagonale zu einer bestimmten Ecke

• Falten entlang der Mittellinie zu einer bestimmten Seite

• Falten einer Seite zur Mittellinie

• Falten einer Ecke zum Mittelpunkt

• Falten einer Ecke zu einer Seite

1. schrittweises, konkret handelndes Demonstrieren

2. Mündliche oder schriftliche Anleitung

3. Gezielte Anleitung oder Fotosequenz

4. animierte Anleitung (Videos)

5. Ausgehen von einem Faltprodukt

6. Falten anhand von Prozessmodellen

schrittweises, konkret handelndes Demonstrieren

• Was oder wie kann gefaltet werden?

Nachteile

• die SuS müssen die Demonstration gut erkennen können (es ist nicht immer alles eindeutig zu erkennen)

• die Klasse muss im Gleichschritt mitfalten (ist bei einfacheren Faltungen möglich, bei schwierigen Faltungen eher nicht)

  → ansonsten kann für einige SuS ein „Leerlauf entstehen

• sprachliche Beschreibungne können das konkret-handelnde Demonstrieren ergänzen

Gezeichnete Anleitung oder Fotosequenzen

Animierte Anleitung (Videos)

Ausgehen von einem Faltprodukt

• das Objekt vorfalten und Mitbringen, damit sich die SuS daran orientieren können → Endprodukt als Modell

Gezeichnete Anleitung oder Fotosequenzen

• Modell, auf dem alle einzelnen Schritte anschaulich festgehalten sind

  → bezieht sich auf den Prozess des Faltens

• schrittweises konkret-handelndes Demonstrieren

Fachliche Ziele

• sich im Raum orientieren

• räumliche Beziehungen erkennen, beschreiben und nutzen

• über räumliches Vorstellungsvermögen verfügen

  • Beispiel: Faltschritte gedanklich vorwegnehmen

  • Beispiel: Faltobjekte nach zweidimensionalen Darstellungen anfertigen)

• geometrische Figuren erkennen

• insbesondere Grundformen, ihre Eigenschaften und ihre Beziehungen erkennen und nutzen

• Fläche und Oberfläche, Ebene und Raum unterscheiden

• geometrische Abbildungen und ihre Eigenschaften erkennen (vor allem von Spiegelungen)

• Größenvorstellungen besitzen

• insbesondere Längen, aber auch Flächeninhalte und Volumina vergleichen, messen und schätzen

• Funktionale Beziehungen erkennen und beschreiben

• z.B. durch das Experimentieren mit der Größe von Faltpapieren

Übergeordnete Lernchancen beim Falten

• Ausdauer

• Sogfältiges Arbeiten

• Nachvollziehen von Schritten

• Merkfähigkeit

• planvolles Arbeiten

• Wahrnehmungsfähigkeit

• Analysefähigkeit (Wie wurde das gefaltet?)

• Neugier, Entdeckungsfreude

• ästhetische Erlebnisse

• Kreativität

Prozessbezogene Kompetenzen beim Falten

Problemlösen

• systematisches Vorgehen

• Strukturen erkennen und anwenden

Argumentieren

• Wege und Anleitungen nachvollziehen

• eigene Wege beschreiben

Darstellen

• Anleitungen lesen, bewerten, entwerfen

Kommunizieren

• Kinder greifen die fachgerechten Beschreibungen auf und verwenden sie selber: falten, öffnen, wenden, Rechteck, Quadrat, Dreieck, Seite, Ecke, Punkt, Linie, Diagonale Mittellinie, zuerst, danach, Abbildung, Zeichnung, u.v.m.

• Kinder mit Schwierigkeiten im mündlichen Sprachgebrauch werden durch ihre Modelle unterstützt, wenn sie „am Modell" erklären dürfen.

Wichtige Aspekte der Symmetrie als Unterrichtsstoff

→ es gibt verschiedene Aspekte, die oft nicht klar trennbar sind

• Formaspekt

  → wie lassen sich symmetrische Formen charakterisieren?

• ästhetischer Aspekt

  → Regelmäßigkeit, Fast-Achsensymmetrie in der Natur

• ökonomisch-technischer Aspekt

  → Symmetrische Sturkturen bieten oft die Möglichkeit zur Reduktion von Kraft und (Denk-)Aufwand

• arithmetischer Aspekt

  → Zahlen und Operationen lassen sich durch symmetrische Punktmuster darstellen (Punktefelder, gerade-ungerade Zahlen, etc.)

• algebraischer Aspekt (in der GS noch nicht so relevant)

  → Die Achsensymmetrie einer ebenen Figur kann man durch Deckabbildungen angemessen beschreiben

Bedeutung für den Unterricht

• Symmetrisches Empfinden ist schon bei Schulanfängern ausgeprägt

• hohe Lebensrelevanz (Technik, Natur, etc.)

• große Bedeutung für das Auffassungsgabe- und Gliederungsvermögen (Symmetrische Figuren werden vom Gehirn schneller analysiert und gespeichert als asymmetrische)

• Bedeutung für den Einsatz von Arbeitsmitteln (verständiges Nutzen von Strukturen)

• ist eine der Fundamentalen Ideen des Geometrieunterrichts (Geometrische Gesetzmäßigkeiten und Muster)

Möglichkeiten der Kongruenzbildung im Unterricht

• sollten in der GS alle angeschaut werden (unterschiedliche Stärke der Thematisierung)

Achsenspiegelung (besonders relevant in der GS)

Drehung

• Verkettung zweier Achsenspiegelungen

• Spiegelachsen schneiden sich im Drehzentrum

Punktspiegelung

• Drehung um 180° oder Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit zueinander senkrechten Achsen

Verschiebung

• Verkettung zweier Achsenspiegelungen

• Achsen parallel und senkrecht zur Verschieberichtung

Schubspiegelung

• Verkettung einer Achsenspiegelung mit Verschiebung

• Spiegelachse in Richtung der Verschiebung

Symmetrieverständnis von Schulanfängern

• haben schon Alltagserfahrungen mit Bauwerken, Tieren, Pflanzen, anderen Gegenständen und dem eigenen Körper

• grundlegendes Verständnis zur Achsensymmetrie bei den meisten Kindern zu Beginn der Grundschulzeit

• Kinder können schon entscheiden, ob Figuren achsensymmetrisch sind

• ABER: typische Schwächen und Begriffsbeschränkungen sind zu beachten

Es gilt

• Figuren könnne in der Regel achsensymmetrisch ergänzt werden, wenn die Gesamtfigur erkannt wird

• Das Bild wird aus der Vorstellugn heraus ergänzt, weniger auf Basis der Symmetrie

• Erkennen Kinder die Gesamtfigur nicht oder falsch, ergeben sich nicht korrekte Lösungen

• Die Fähigkeit zur Vorstellung der Figur ist also notwenig, wenn keine systematische Kenntnisse zur Achsensymmetrie vorhandne sind

Das Erkennen der Symmetrieachse hängt ab von:

• der Lage der Symmetrieachse

• der Bekanntheit der Figur

Zugänge zur Symmetrie in der Grundschule

• Anknüpfen an die Vorerfahrungen der Kinder im Hinblick auf die visuelle Wahrnehmung

• im Zentrum: ästhetischer Aspekt symmetrischer Figuren, der an vielen Beispielen betrachtet wird → Begriffsbildung durch Abstraktion

• Thematisierung abbildungsbezogener Erfahrungen beim Falten und mit Spiegelbildern („Figur wird in 2 deckungsgleiche Hälften unterteilt“)

• Im Vordergrund steht das Erkennen der Symmetrieeigenschaft und das Beschreiben von Eigenschaften symmetrischer Figuren

Nach der Einführung achsensymmetrischer Figuren werden diese auf ihre Eigenschaften untersucht:

→ die SuS sollen die wesentlichen Aspekte der Figuren erkennen:

• Symmetrieachse (alternativ: Spiegelachse) Bezeichnungen wie „Faltlinie“ sollten vermieden werden

• Abstände Punkt und Bildpunkt haben gleichen Abstand zur Symmetrieachse

• Unterteilung in deckungsgleiche Teilfiguren

  Kinder verwenden anfangs oft selbst gewählte Begriffe wie etwa „Spiegelbild" oder „gespiegelte Figur"

• Verbindliche Begriffe bis Ende KI.4 (BP Ba-Wü):

  symmetrisch, Spiegelachse

Die SuS sollen

• auf verschiedenen Repräsentationsebenen agieren und diese in Verbindung setzen

• ihr (mentales und konkretes) Handeln sprachlich begleiten und miteinander kommunizieren

• ihr räumliches Vorstellugnsvermögen schulen

• Techniken lernen, die auch für andere Fächer oder Freizeitaktiitäen sinnvoll sind

• bei jeder Lernaktivität auch wirklich etwas dazulernen können, un nicht nur beschäftigt sein

• Fehlersuchbilder

• Schmetterlinge

• Suchen von symmetrischen Gegenständen

Symmetrische Figuren herstellen und Figuren auf Symmetrie überprüfen

Mögliche Varianten:

• Veränderung des Objekts (unbekanntere Objekte)

• Veränderung der Symmetrieachse (nicht immer senkrecht)

  → waagerecht oder diagonal

  → mehrere Symmetrieachsen

• Objekte auch außerhalb der Symmetrieachse

Miraspiegel

• halbdurchsichtiger Spiegels, der es ermöglicht, das Spiegelbild und Objekte hinter dem Spiegel in Beziehung zu setzen

• eine abgeschrägte Zeichenkante verhindert, dass das Spiegelbild versetzt wird

  → ermöglicht ein genaues Abzeichnen des

  Spiegelbilds

• gut einsetzbar im Unterricht

Benutzung:

• Miraspiegel auf die Symmetrieachse stellen

• Figur achsensymmetrisch ergänzen bzw.

  symmetrische Figur zeichnen

Nachteile:

• es geht wenig um die Abstände von der Symmetrieachse

• man braucht wenig Wissen über die Symmetrie (man muss nur wissen, wo der

  Spiegel aufgesetzt werden muss)

• ist ein Arbeitsmittel, dass die Nachteile des echten Spiegels ausgleicht, aber andere Nachteile mitbringt

  
  

Kompetenzen zum Begriff „ist symmetrisch (zu)“

Die Schülerinnen und Schüler können ...

• Beispiele und Gegenbeispiele (zueinander) symmetrischer Figuren als solche identifizieren

• Figuren auf Symmetrie überprüfen (z.B. durch Falten, mit dem Spiegel)

• (zueinander) symmetrische Fiquren herstellen (z.B. durch Zeichnen, Falten, Schneiden, Legen, Spannen)

• Eigenschaften symmetrischer Figuren beschreiben (achsensymmetrisch, drehsymmetrisch)

• geometrische Figuren nach Symmetrieeigenschaften ordnen und sortieren

• ...

Definition: mathematisches Muster (Pattern)

• eine räumlich in Erscheinung tretende (oder auch numerische) Regelsmäßgikeit

• Muster sind durch besondere Beziehungen zwischen den sie konstituierenden Bestandteilen gekennzeichnet

Bedeutung von Mustern

• können Tragfähigkeit Werkzeuge für den Erwerb mathematischer Kompetenzen (wie Messen, Rechnen und Wahrscheinlichkeiten) sein

• es gibt einen Zusammenhang zwischen Musterfolgen und Zahlenfolgen, sowie räumlichen Strukturierungen und Algebra

• es gibt einen Zusammenhang zwischen der Fähigkeit Strukturen zu erkennen und der späteren Rechenleistung

Räumliche Muster (spatial structure patterns)

• nach außen hin begrenzte Muster

• diesen Mustern liegt eine Symmetrie zugrunde (Muster begründet auf seine Symmetrie

• Grundeinheit ist gegeben: wird regelmäßig wiederholt

sich wiederholende Musterfolgen (repeating patterns)

• Grundeinheit ist gegeben: wird regelmäßig wiederholt

• zwei Unterteilungen sind möglich

  • zyklische Musterfolge

  • lineare Musterfolgen

Wachsende Musterfolgen (growing patterns)

• kann nicht über eine Grundeinheit, sondern nur über die Veränderung beschreiben werden

Bandornamente (auch Streifenornamente)

= Figuren, in denen ein Motiv nach beiden Seiten mit jeweils gleichem Abstand periodisch wiederholt wird

• auch teilweise alltäglich

• altes Thema, dass in vielen alten Kulturen als Dekoration verwendet wurden

• oft Fortsetzen von Bandornamenten im Schulbuch

Bandornamente werden von folgenden Kongruenzbildungen geprägt

• die Verschiebung parallel zum Streifen

• die Spiegelung an der Mittellinie (Längsspiegelung)

• die Spiegelung an beliebigen Achsen senkrecht zum Bandornament (Querspiegelung)

• die Punktspiegelung an Punkten der (Längs-) Mittellinie

• die Schubspiegelung mit der Mittellinie als Achse.

Aktivitäten im Umgang mit Mustern

Kinder können...

• Muster nach einer Vorlage nachlegen

• Muster erkennen (Grundeinheit markeiren)

• Muster fortsetzen

• Muster beschreiben

• Muster erfinden

• Muster nachlegen aus dem Gedächtnis

• Muster reparieren

• Muster übersetzen

• Muster in rhythmische Muster übersetzen

• das letzte Folgeglied bestimmen

Parkettierungen (sich wiederholende Musterfolgen)

= vollständige Abdeckung der Ebene mit kongruenten Ausgangsfiguren, ohne dass Lücken oder Überlappungen entstehen

• wird nur eine Figur verwendet (Beispiel: Quadrat) , sprich man von einem einfachen Parkett

  → alle Parkettsteine sind zueinander kongruent

• werden zwei oder mehrere Figuren verwendet (Beispiel: Quadrat und Dreieck), spricht man von einem komplexen Parkett

Parkette in der Umwelt und in der Kunst finden

• Parkettierungen herstellen (Legen, Zeichnen mit Schablone, Zeichnen im Kästchenpapier, Zeichnen im Punktegitter)

  • Aus regelmäßigen Figuren

    

  • Aus geometrischen Grundfiquren

  • Einfache und komplexe Parkettierungen

• Finden neuer Ausgangsfiguren

  • Zusammensetzen geometrischer Grundfiguren

    

  • Zerlegen geometrischer Grundfiguren (in kongruente Teile)

  • Veränderungen mit der „Knabbertechnik”

    

• Ordnen und Sortieren

  • Kategoriensuchendes Ordnen und Sortieren („wie kann ich ordnen?“)

  • Kategoriengeleitetes Ordnen und Sortieren („wie ordne ich zu?“)

• Körperformen in der Umwelt und auf Abbildungen

  • Untypische Repräsentanten können gefunden werden

  • Objekte ohne unmittelbaren Zugriff

  • Körperformen auf Abbildungen

Übungen zum Unterscheiden von Körperformen

• Spiele mit sprachlicher Umschreibung (Beispiel: ich sehe was, was du nicht siehst

• Fühlübungen -> taktile Fähigkeiten

• Ratespiele (Kategoriesuchendes Vorgehen: Kategorie herausfinden, nach welcher Kategorie wurden die Objekte sortiert?)

• Zuordnungsspiele mit Objekten auf der Bildebene (Beispiel: Memory)

Massivmodelle

• Fertige Massivmodelle (verschiedene Materialien: Plastik, Holz) -> unterschiedliche Gefühle und Gewicht

• Eigenschaften können gut besprochen werden (Ecken, Kanten, Begrenzungsflächen, etc.)

• gut für den Einstieg

• Modelle herstellen • Mögliche Materialien: Knete, Speckstein, Styropor, Kartoffeln, etc.

• Zerlegen von Modellen

Kantenmodelle

• Gesamtheitseindruck geht ein wenig verloren: Aufmerksamkeit liegt auf den Kanten (und teilweise den Ecken)

• Modell selber herstellen

  Knete / Kastanie / Kichererbsen und Zahnstocher

  Strohalme und Wollfäden

  Kantenmodell aus Papier:

• Modelle zum Kaufen

  Kugeli, Geomag

Flächenmodell (aus einem Netz)

• Modell selber herstellen

  quadratische Pappen (Bierdeckel) / Klebestreifen

• Modelle zum Kaufen

  Effekt-System

  Polydron-Material

Bauen und Bauwerke (Was kann gemacht werden?)

• Bauen nach vorgegebenem Thema

• Nachbauen vorgegebener Bauwerke (vergrößern, verkleinern)

• Nachbauen nach Abbildungen als Schrägbild oder Bauplan

• Nachbauen nach verbalen Beschreibung

• Nachbauen nach Ertasten

• Umbauen, Umordnen und Verändern

→ Aktivitäten können protokolliert werden (z.B. Skizze, Schrägbild

Zeichnen zum Dokumentieren

• benötigt mototische Fähigkeiten

• muss erst verstanden werden (wie zeichne icht? Was zeichne ich?) um dann motorisch umgesetzt werden zu können

Zeichnen räumlicher Objekte

• schafft eine Grundlage für die räumliche Darstellung von Objekten

• visuelle Wahrnehmung und Vorstellungsvermögen werden weiterentwickelt

• Eigenschaften geometrischer Figuren werden entdeckt oder bewusst gemacht

• Schemata im Sinne von Abbildungs- und Ausführungswissen werden aufgebaut

Stufenmodell zur Entwicklung des Zeichnens

1. Kritzelphase (ab 2. Lebensjahr)

2. Übergangsphase zu Darstellungen (ab 3. Lebensjahr) (Kopfmännchen)

3. erste Schemaphase (ab 5. Lebensjahr)

4. zweite Schemaphase (ab 8./9. Lebensjahr): Richtungsdifferenzierung

5. Auflösung des Schemabildes (ab 12. Lebensjahr)

Tiefendarstellung in Kinderzeichnungen

• Querschnittsstudie von Lewis (1963)

1. Nur eine Seite, keine Tiefe

2. Klappbild, Details aller Seiten

3. Versuch, Tiefe durch Schrägzeichnungen der Grundlinien

4. Schrägzeichnungen von Tiefkanten, ohne Verkürzung

5. Verkürzung der Schrägkante

Kavalierprojektion

• Die Front des Körpers liegt parallel zur Zeichenebene

  -> man schaut frontal drauf

• Frontkanten liegen parallel zu Waagerechten der Zeichnung

• Die Form der Front wird unverzerrt

  dargestellt

• Die in die Tiefe gehende Linien werden in einem Neigungswinkel (oft 45°) und um 50% verkürzt dargestellt

Isometrische Darstellung

• Längenverhältnisse der Kanten ist unverz

  -> Würfel: alle gezeichneten Kanten sind gleichlang

• Die in die Tiefe gehenden Kanten verlaufen im 30° Winkel zur Waagerechten der Zeichnung

• keine Fläche liegt parallel zur Zeichenfläche bestimmten Punkten umsetzbar

• Alle Flächenformen sind verzerrt

Dreitafelprojektion

• Drei Projektionen zur Abbildung eines Objekts

• Seitenflächen des Objekts parallel zur jeweiligen Zeichenfläche

• Verzerrung nur, wenn Kanten oder Flächen nicht parallel zur Zeichenflächeliegen

• Freihandzeichnen (mit Blei- und Farbstift)

  • Zeichnen auf weißem Papier

  • Zeichnen auf Gitterpapier

• Zeichnen mit Schablonen

  • Zeichnen mit „Negativ- und Positivschablonen"

  • Übergang zum Zeichnen mit Zeichengeräten

• Zeichnen mit Zeichengeräten

  • mit dem Lineal

  • mit dem Geodreieck (GS: parallel und senkrecht zueinander, Winkel)

  • mit dem Zirkel

Zeichnen mit Zeichengeräten

• Lineal ab Klasse 1

• Geodreieck ab Klasse 3

• Zirkel ab Klasse 4

Übungen zum Zeichnen

• Zeichnen nach Vorgabe

• Nachzeichnen

• Abzeichnen

• Zeichnen im Punktegitter und auf Karopapier

Bedeutung von Größen

• früher Erfahrung

• Größen oft erster Kontakt mit Zahlen

• Entwicklung des Größenverständnisses dauert lange („Was sind Größen)

• Maßzahlaspekt: neben Kardinal- und Ordinalzahlaspekt

• ist eine Grundlage für die Arithmetik (vor Allem beim Messen und dem Ordinalzahlaspekt)

Ziele

• Aufbau von Vorstellung über

  • Größen

  • deren Anwendung und Bedeutung im täglichen Leben

• fachliches Wissen über Größen zur Klärung authentischer Fragen (Probleme der Umwelt) nutzen

• mit geeigneten nichtstandardisierten und standardisierten Einheiten in den Größenbereichen vergleichen, schätzen und messen

• typische Repräsentanten für standardisierte Maßeinheiten kennen

• ersten Rechnen mit Größen

• Größenangaben in benachbarte Einheiten umwandeln

Größenarten in der Grundschule

• Geldwerte (€, ct)

• Längen (km, m, cm, mm)

• Zeiten (h, min, s) = Zeitspannen, davon sind Zeitpunkte zu unterscheiden)

• Gewichte (t, kg, g)

• Hohlmaß (l, ml) = Rauminhalt

• Flächeninhalt (keine standardisierten Einheiten)

• Rauminhalt (keine standardisierten Einheiten)

• „Messen erfolgt durch Vergleichen des zu messenden Objekts mit einer als Maßeinheit gewählten Größe der gleichen Art, die beispielsweise bei Längen ohne Lücken oder Überlappungen abgetragen werden.“

• Einheiten können willkürlich gewählt werden

• standardisierte oder nicht-standardisierte Maßeinheiten (wichtig mit beiden zu arbeiten)

  • nicht-standardisiert eher für das Verständnis wichtig und nicht für die spätere Anwendung

    -> Beispiel: Standars-Quadrate

  • standardisierte Maßeinheiten: Geodreieck, Lineal, etc.

• Messergebnis wird angegeben durch Maßeinheit und Maßzahl

chwierigkeiten beim Messen von Längen

• Messgerät wird nicht am Nullpunkt angelegt

• Messgerät hat auf der Vorder- und Rückseite eine Skala

• Nicht nur Skala mit metrischem System

• Messgerät ohne Maßzahl oder genaue Zurodnung

• Messgerät für zu messendes Objekt ungeeignet (Skala zu grob, Objekt gekrümmt)

Unterstützung:

• Skalen für die Längenmessung selbst herstellen

  → Größen und Messen, Raum und Form, Zahlen und Operationen

Einführung zum Begriff „Fläche“ und „Flächeninhalt“ oft unscharf:

• Mangelnde Ausbildung von Flächenvorstellungen aufgrund der Liniendominanz ebener Figuren

• Unsicherheit darin, was man unter der Größe einer Fläche versteht

• Zu wenig Einsicht in das Prinzip der Flächenvarianz

• Unsicherheit im Schätzen von Flächeninhalten

• Zu wenig Erfahrung auf der Stufe des qualitativen Flächenvergleichs

• Mangel an Vorerfahrung aus Alltag und Umwelt

• Verwechseln von Fläche und Umfang (Flächeninhalt aus Strecken berechnet)

Flächeninhalt in der Grundschule

• Formeln spielen keine Rolle

• Lerninhalte sollten sein:

  • Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie deckungsgleich sind

  • Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie zerlegungsgleich sind

  • Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie auslegungsgleich sind

-> es gibt viele Parellelen zum Flächeninhalt:

• Objekte haben den gleichen Rauminhalt, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen

• Objekte haben den gleichen Rauminhalt, wenn sie zerlegungsgleich sind

• Objekte haben den gleichen Rauminhalt, wenn sie mit der gleichen Anzahl von Einzelkörpern lückenlos ausgefüllt werden können

Aktivitäten im Unterricht

• Aktivitäten bei denen Fassungsvermögen eines Körpers die alltagsrelevanten Einheiten Liter und Milliliter im Mittelpunkt stehen

• Aktivitäten, die stärker auf die Volumenberechnung und die Erarbeitung der Volumenformel in der Sekundarstufe ausgerichtet ist

• Aktivitäten, die untersuchen, wie viel Raum durch das Volumen eines Körpers verdrängt wird

-> Direkter Vergleich oft schwierig

-> indirekter Vergleich mit Sand oder Wasser