Statistik

• Nachbildung bzw. Durchführung eines zufallsabhängigen Vorgang

• Menge aller möglichen Ausgänge bzw. Ergebnisse ist bereits vor Durchführung bekannt

• Beliebig oft wiederholbar unter jeweils gleichen Bedingungen

• Multiplikation von Mengen

Wenn 3 Axiome erfüllt sind:

• Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1

• Dass ein Ergebnis aus dem Raum aller möglichen Ergebnisse auftritt, ist sicher. Hat also die Wahrscheinlichkeit 1

• Die Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse (haben keine gemeinsame Schnittmenge) sind als Einzelwahrscheinlichkeiten berechenbar

• Anzahl der möglichen Ausgänge ist endlich

• Jeder dieser Ergebnisse wird als gleichwahrscheinlich angesehen

• Permutation: Reihenfolge der Ziehung von bspw. Kugeln ist relevant

• Kombination: Reihenfolge ist egal

• bei zwei unabhängigen Ereignissen

• gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable höchstens den Wert x annimmt

• ist monoton steigend

• Ist eine Treppenfunktion

• Hat die Grenzwerte bei - unendlich = 0, bei +unendlich = 1

• wenn eine Variable nur zwei mögliche Werte annehmen kann, ist es eine Bernoulli-Variable (Münzwurf: Kopf/Zahl)

• Errechnung der Anzahl der Erfolge bei n-facher Wiederholung eines Bernoulli-Zufallsexperiments

Dichte

• Wahrscheinlichkeitsfunktion und Stabdiagramm

• Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch Addition von Einzelwahrscheinlichkeiten

• Dichte

• Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch Intervallbildung

• Summierung nicht möglich, stattdessen aber Integration (Flächenberechnung)

Grundraum

• Teilmenge = Ereignisse

• einelementige Teilmenge = Elementarereignisse

als n-Faches kartesisches Produkt vom Grundraum

• Additionssatz

• Wahrscheinlichkeit dass A eintritt + Wahrscheinlichkeit dass B eintritt - Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von A und B

• Division der Anzahl “günstiger” Ausgänge durch die Anzahl möglicher Ausgänge

• wenn die Ergebnisse keine Zahlen sind, wie bei Münzwurf (Kopf, Zahl), dann muss den Ergebnissen trotzdem eine Zahl zugeordnet werden

• Beispiel: “Kopf” = 0 ; “Zahl” = 1

• Modellierung der Anzahl bestimmter, eher seltener Ereignisse innerhalb eines Intervalls

• Beispiel:

  • Anzahl der Schadensmeldungen innerhalb eines Jahres bei einer Versicherung

  • Anzahl der Kreditausfälle innerhalb eines Jahres

• zwei Ereignisse können nicht genau gleichzeitig auftreten

• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis innerhalb eines sehr kleinen Zeitintervalls stattfindet, ist sehr klein (Verteilung der seltenen Ereignisse)

• Die Eintrittswahrscheinlichkeit innerhalb eines Intervalls hängt nur von der Länge des Intervalls ab, nicht davon, WO auf der Zeitachse dieses Intervall liegt (30 Tage im April oder 30 Tage im Juli = egal)

• Die Realisationen für zwei disjunkte Intervalle sind unabhängig voneinander (wenn im Januar 2 Ereignisse passiert sind, heißt das nicht, dass im Februar deshalb nichts passiert)

• unendlich viele Realisationen weshalb nicht jeder einzelnen Realisation ihre Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann

• Wenn allen Werten positive Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden, würden diese aufaddiert mehr als 1 ergeben

• stetig und streng monoton wachsend mit Werten von 0-1

• Grenzwerte -unendlich = 0 ; + unendlich = 1

• Ableitung der Verteilungsfunktion ist Stammfunktion der Dichte