[B] (11) Vorlesung 11: Design of Experiments, statistische Auswertung und Experimentenarten

• Stochastische Modelle

• Deterministische Modelle

• Haben keine interne Zufälligkeit (randomness)

• Jeder Lauf des Systems liefert, wenn es mit den selben Inputparametern / Eingansparametern ausgeführt wird, das gleiche Ergebnis

• Das Model folgt dabei immer der gleichen Trajektorie (Sequenz an Zustandsänderungen)

• Dennoch wird auch ein deterministisches Modell oft mehrfach mit zufälligen Variationen der Eingangsparameter ausgeführt

• Haben eine interne Zufälligkeit ( randomness )

• Jeder Durchlaufauf (auch mit identischen Eingansparametern / Inputdaten) resultiert in einer unterschiedlichen Trajektorie und Ergebnis

• Folge => Es müssen unter Umständen mehrere Durchläufe durchgeführt werden, um ein aussagekräftiges Bild vom Verhalten des Systems zu erhalten

Eine Reihe von Simulationsläufen mit jeder Art von Zufälligkeit wird als Monte Carlo Simulation bezeichnet

• Stochastischen Modell => Es müssen unter Umständen mehrere Durchläufe durchgeführt werden, um ein aussagekräftiges Bild vom Verhalten des Systems zu erhalten

• Deterministischen Modell => Es werden oft mehrfach mit zufälligen Variationen der Eingangsparameter ausgeführt

• Statistische Versuchsplanung (Design of Experiments) wird im Rahmen von Simulationen verwendet um:

  • Die „richtigen“ Experimente durchzuführen

  • Die Aussagekraft der Ergebnisse sicherzustellen

• Zentraler Aspekt ist die Festlegung der Faktoren und der Faktorstufen:

  • Faktoren => Parameter die innerhalb des Versuchsplans untersucht werden

  • Faktorstufen => Zustand der jeweiligen Faktoreinstellung (mind. 2)

Es ist notwendig unabhängig davon ob ein Modell stochastisch oder deterministisch ist

• (1) Ausgangssituation beschreiben

• (2) Untersuchungsziel festlegen

• (3) Zielgrößen und Faktoren festlegen

• (4) Versuchsplan aufstellen

• (5) Experimente durchführen

• (6) Versuchsergebnisse auswerten

• (7) Ergebnisse interpretieren und Maßnahmen ableiten

• Linear

  • Teilfaktorielle zweistufige Versuchspläne

• Quadratisch

  • Central-CompositeComposite-Design

• Kubisch

  • Space Filling Design

• Komplexe Zusammenhänge

  • Monte-CarloCarlo-Verfahren

• Vollfaktorieller Versuchsplan

• Zweistufiger, Teilfaktorieller Versuchplan

• Central Composite Design

• Space Filling Dedign

• Monte Carlo VErfahren

• Es werden alle Möglichkeiten / Kombinationen modelliert

• Bsp.:

  • Einflusgröße 1 => 5 Faktorstufen

  • Einflussgröße 2 => 3 Faktorstufen

  • Einflussgröße 3 => 4 Faktorstufen

  • Anzahl Versuche => 5*3*4 = 60 Versuche

• Nur Betrachtung der Extremwerte

• Teilfaktorielle => Nur bei unbhängigen Systemen

• Bsp.:

  • Einflusgröße 1 => 5 Faktorstufen

  • Einflussgröße 2 => 3 Faktorstufen

  • Einflussgröße 3 => 4 Faktorstufen

  • Anzahl Versuche => 8

• Zusätzliche Versuche (Stern) aufbauend auf einem zweistufigem Versuchsplan (Würfel)

• Besonders geeignet für quadratische Beschreibungsmodelle

• Wird unterschieden in

  • Central Composite Design

  • FaceCentered Central Composite Design

• Faktoreneinstellung per Zufallsgenerator

• Hohe Anzahl an Kombinationen

• Auch für komplexere Zusammenhänge geeignet

• Faktoreneinstellung per Zufallsgenerator

• Möglichst gleichmäßige Verteilung im Faktorraum

• Auch für komplexere Zusammenhänge geeignet

• Es müssen die richtigen Daten aufgezeichnet werden

• Die Analyse der Simulationsexperimente findet in der Regel extern statt (Excel, R, Python…)

• Die Analyse der Simulationsexperimente findet in der Regel extern statt (Excel, R, Python…)

  
  

• Lageparameter

• Streuungsparameter

• Erwartungswert / Mittelwert

• Median

• Modus

• Quantile

• Empirische Standardabweichung / Varianz

• Spannweite

• Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel

• Bei stochastischen Modellen sind je Versuch mehrere Läufe / Replikationen notwendig

• Verwendung von Konfidenzintervallen zur Bestimmung der Anzahl an Replikationen

  • Falls die berechnete Intervallbreite zu groß ist, muss die Anzahl der Simulationsläufe 𝑛 erhöht werden

• Konfidenzintervalle

• Oftmals wird hier der Mittelwert eines Parameters aus mehreren Simulationsläufen betrachtet

  • zentarler Grenzwertsatz!

• Der Mittelwert und die Summe unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen nähert sich bei einer beliebigen Verteilung mit zunehmenden Stichprobenumfang der Normalverteilung an.

• Fall 1 => Standardabweichung und Mittelwert der Verteilung sind unbekannt

• Fall 2 => Standartabweichung ist bekannt

• Punktschätzer für den Mittelwert 𝜇 der Verteilung über den empirischen Mittelwert der Stichprobe

• Punktschätzer für die Standardabweichung σ über die korrigierte Stichprobenstandartabweichung s

• Unter Annahme einer normalverteilten Grundannahme kann nun eine Zufallsgröße gebildet werden, deren Werte t verteilt sind

• Punktschätzer für den Mittelwert 𝜇 der Verteilung über den empirischen Mittelwert der Stichprobe

• Abschätzung der Bereiche mittels Quantile der N (0 , 1)-Verteilung.

• (1) Bestimmung der Mittelwerte aus den Faktorstufen (-) und (+)

• (2) Bestimmung des Effekts durch Subraktion der Mittelwerte

• (3) Auswahl der Parameter mit dem größten Eeffekt

• Anylogic ermöglicht automatisiert komplexe Simulationsexperimente:

  • Parameter Variation

  • „Optimierung“

  • Monte Carlo

• Die Auswahl des Experimententyps erfolgt je nach Zielsetzung der Simulationsstudie

• Automatischer Durchlauf mehrere Simulationsläufe mit Anpassung der Inputparameterwerte

• Anpassung der Parameterwerte:

  • Variation in einem Wertebereich [min, max ] mit einer festen Schrittweite

  • Freeform Variation: Für das Modell wird eine feste Anzahl an Simulationsläufe definiert. Die Parameter werden iterative nach einem Ausdruck in Abhängigkeit der aktuellen Laufnummer angepasst.

• In stochastischen Modellen muss zudem mit Replikationen gearbeitet werden

• Monte Carlo Experiment erzeugt den Output eines stochastischen Models oder stochastischer Modellparameter

• Für Parameter wird entsprechend eine Verteilung hinterlegt