Kartenstapel

→ Sekandensteigung → Symmetrie

→ Tangentensteigung → Polstellen → Normalensteigung → Asymptote

→ Funktionsgraphen → Gauß-Verfahren

→ Nullstellen → glatter Übergang

→ Extrema → Stetigkeit

→ Wendepunkt → Grenzverhalten

→ Monotonieverhalten

- (durchschnittliche) Änderungsrate

- mittlere Änderungsrate

- durchschnittliche Steigung

Gibt die durchschnittliche Steigung zwischen

zwei Punkten auf einer Funktion an.

- Steigungsdreieck

- momentane Änderungsrate

- mittlere Änderungsrate

- momentane Höhenzunahme/-abnahme

- momentane Änderungsrate

- mittlere Änderungsrate

- momentane Höhenzunahme/

-abnahme

- Gibt die genaue Steigung eines spezifischen

Punktes auf einer Funktion an

- schriflich:

► mt = f`(x)

► Tangentengleichung: f(x1) = mx1 + n

- CAS: ► Grafik & Tabelle

► Funktion eingeben und zeichnen

► Skizze

► Tangente

► x-Wert eingeben

- Senkrechte zur Tangente

- schriflich

► Anstieg der Tangente mt um Punkt P ermitteln: f`(x1)

► Anstieg der Normale mn im Punkt P ermitteln: -

► f(x) = xmn + n

- CAS: ► Grafik & Tabelle

► Funktion eingeben und zeichnen

► Skizze

► Normale

► x-Wert eingeben

- Nullpunkte

- x-Achsenabschnitt

- Ermittlung, wann ein Funktionsgraph die x-Achse berührt bzw. durchquert

- für Ermittlung des Extrema und Wendepunkte wichtig

- schriftlich

►bei lineare Funktionen: > einfach x ausrechnen (Ausklammern)

►bei quadratische Funktionen > pq-Formel

- CAS: ►Grafik & Tabelle

►Funktion eingeben

►Funktion zeichnen lassen

►Analyse

►Grafische Lösungen

►Nullstelle

- Extrempunkte

- Extremen

- Hochpunkt/ Tiefpunkt

- Sattelpunkt

- (lokales Maximum/ Minimum

- höchster/größter o. tiefster/niedrigster Punkt

- Einen (oder mehreren Hochpunkt/ Tiefpunkt oder Sattelpunkt in einem Funktionsgraphen zu ermitteln

- schriftlich:

> f`(x) = 0

> f``(x) < 0 ► Maximum

> f``(x) = 0 und f```(x) ≠ 0 ► Sattelpunkt

> f``(x) > 0 ► Minimum

- CAS: > Grafik & Tabelle

> Funktion eingeben und zeichnen lassen

> Analyse

> Grafische Lösung

> Maximum/ Maximum

- Wendestelle

- Einen Funktionsgraphen auf Wendestellen überprüfen

- schriftlich:

> f``(x) = 0

> f```(x) < 0 ► Links-Rechts-Wendestelle

> f```(x) > 0 ► Rechts-Links-Wendestelle

- CAS: > Grafik & Tabelle

> Funktion eingeben und zeichnen lassen

> Analyse

> Grafische Lösung

> Wendepunkt

- f`(x) > 0 f ist monoton steigend

- f`(x) < 0 f ist monoton fallend

- f`(x) > 0 f ist streng monoton steigend

- f`(x) < 0 f ist streng monoton fallend

- Graphen

- Bestimmte Funktionen haben eine speziellen Funktionsgraphen, den man erkennen und beschreiben soll.

- linearer Funktionsgraph

- quadratischer Funktionsgraph

- kubischer Funktionsgraph

- quadratische Wurzelfunktion

- asymptotischer Funktionsgraph

- Logarithmusfunktion

- Exponentialfunktion

► f(x) = ax1 + n

► f(x) = axk + n

► k = eine gerade Zahl

► f(x) = axk + n

► k = eine ungerade Zah

► f(x) = n√ax

► n = eine gerade Zahl

► f(x) = 1 / axk

► k = eine ungerade Zahl

► k = eine gerade Zahl

► f(x) = logb (ax)

► f(x) = a*bx

► f(x) = ex

- Spiegelung an der Achse

- Spiegelung am Punkt

- Punktsymmetrie

- Achsensymmetrie

- Symmetrische Ähnlichkeiten eines Funktionsgraphen f finden

- achsensymmetrisch zur y-Achse

► f(-x) = f(x)

► alle ganzrationalen Funktionen f, die nur gerade Exponenten bei x haben

- punktsymmetrisch zum Ursprung

► f(-x) = - f(x)

► alle ganzrationalen Funktionen f, die ungerade Exponenten bei x haben

- keine Symmetrie

► alle ganzrationalen Funktionen f, die gerade und ungerade Exponenten bei x haben

► alle Funktionen, die weder punkt- noch achsensymmetrisch sind

- Definitionslücken

- Definitionsbereich finden

- ist eine Kurve, an welche sich die Funktion f annähert, aber nie erreicht.

- lineare Asymptoten = Grenzgeraden

- senkrechte Asymptote = Parallel zur y-Achse

(Gerade durch die Polstelle der Funktion)

- waagerechte Asymptote = Parallel zur x-Achse

[Gleichung y=g (g=Grenzwert)]

- Trassierung

- Eine Funktion für eien Bereich von x ermitteln, mit dem man 2 verschiedene Funktionen so verbinden kann, dass es knickfrei und krümmungsrückfrei ist.

- Die Gleichung soll an beiden Übergängen die gleichen Tangentenanstieg und den gleichen Punkt (sprungfrei) haben

- Aufstellung der Bedingungen *

- Übergangspunkt ist jeweil als Punkt des Graphens und als Extrempunkt

- schriftlich: ► Bedingungen aufstellen

► Mit den Gleichsetzungsverfahren oder Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen

- CAS: ► Main Menü

► Funktion (1,2,3,… Grades) definieren

-► Keyboard

-► Math3

-► Define

-► Funktioin eingeben

► Bedingungen eingeben

-► Math1

-► Bedingunge eingeben

1.) Gleichung gleichsetzten und nach allen Variable auflösen

2.) Variable von „hinten“ nach „vorne“ berechnen

1.) eine Gleichung auswählen und nach einer Variablen

umformen

2.) Wert der Variable in die andere Gleichung einsetzen

3.) die noch enthaltende Variable berechnen

4.) ausgerechnete Variable (Schritt 3) ind die Gleichung

(Schritt 1) einsetzen und berechnen die andere Variable

1.) eine Variable entfernen, durch das Multiplizieren der

Gleichungen, sodass sich eine Variable gegenseitig

aufhebt

2.) Beide Gleichungen zusammen addieren –> neue

Gleichung, enthält nur nocheine Variable. Gleichung

lösen

3.) Variable in eine Gleichung einsetzten und ausrechnen.

Andere Variable als Lösung

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f verläuft durch Punkt P (xp|yp)

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f schneidet die x-Achse bei x0

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f berührt die x-fAchse bei x0

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f besitzt bei xE einen Extrempunkt

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f besitzt bei xw einen Wendepunkt

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f besitzt einen Terrassenpunkt/ Sattelpunkt T (xt| yt)

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f besitzt bei x0 den Anstieg m

oder

Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle x0 besitzt den Anstieg m

oder

Funktion f verläuft bei x0 parallel zur Geraden g y = mx + n

Formulierung der Aufgabe: Funktion f verläuft bei x0 parallel zur Geraden g x –> mx +n

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f berührt in

P (x0| y0) den Graphen der Funktion h

Formulierung der Aufgabe: Der Graph der 1. Ableitung einer quadratischen Funktion p ist eine Gerade mit dem Anstieg m, die durch den Koordinatenursprung geht

Formulierung der Aufgabe: Der Graph der 1. Ableitung einer Parabel p ist eine Gerade mit dem Anstieg mg

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion f ändert seine Krümmung im Punkt W (xw| yw)

Formulierung der Aufgabe: Graph der Funktion h ändert an der Stelle xE sein Monotonieverhalten

Eine Funktion ist stetig an einer Stelle, wenn der Grenzwert an dieser Stelle existiert und mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmt.

- Verhalten im Unendlichen

- Verhalten bei 0

- Es wird geschaut, wie sich einige (besondere) funktionen im positiven und negativen Unendelich verhalten und/oder bei 0.

- Verhalten im Unendlichen:

► schriflich: a. Wo steht das x (Exponenten, Nenner, Basis,…

b. Was passiert, wenn x immer größer/kleiner wird.

c. Sind mehrere x sa, dann nur das x, welches am stärksten wächst

d. Die höhste Potenz ausklammern

► CAS: a. Main Menü

b. Keyboard, Math2

c. Limes eingeben

- Verhalten gegen 0 bzw. eine bestimmte Zahl

► schriflich: a. Für jedes x die Zahl oder 0 eingeben, kann gleich der Grenzwert sein

b. Wenn Nenner 0 ist, geht es gegen Unendlich

► CAS: a. Main Menü

b. Keyboard, Math2

c. Limes eingeben

- Lineare Gleichungssysteme lösen

- LGS

- Gauß-Algorithmus

Mehrere Gleichungen mit mehreren

- schriftlich: ► man braucht genauso viele Gleichungen wie genauso viele unbestimmte Varianten

► Mit den Gleichsetzungsverfahren oder Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen

- CAS: ► Main Menü

► Funktion (1,2,3,… Grades) definieren

-► Keyboard

-► Math3

-► Define

-► Funktioin eingeben

► Gleichungen eingeben

-► Math1

- Potenzregeln

- Wurzelgesetze

- Wurzelregeln

- Wurzeln und/oder Potenzen umformen und vereinfachen

- an * am = an+m

- (an)m = an*m

- an / am = an-m

- a1/n = n√a

- an * bn = (a*b)n

- a-n = 1/an

- an / bn = (a / b)n

- a1/2 = 2√a = √a

- a1 = a - a0 = 1

- 1 / a = a-1

- Steigungsfunktion

- Ableitungsfunktion

- Steigung einer Funktion mittels einer Ableitungsfunktion an jeder Stelle ermitteln zu können.

- Potenzregel

- Faktorregel

- Summenregel

- Produktregel

- Konstanten fallen weg

f(x) = xr ► f´(x) = r*xr-1

f(x) = s*xr ► f`(x) = s*r*xr-1

f(x) = xr + xs ► f`(x) = r*xr-1 + s*xs-1

f(x) = u(v(x)) ► f`(x) = u`(v(x)) * v`(x)

u(x) = äußere Funktion

v(x) = innere Funktion

f(x) = xr + c ► f`(x) = r*xr-1

f`(x) = 0

f``(x) = 0

f`(x) = 1

2√x

f``(x) = - 1

4x √x

f`(x) = axIn a

f``(x) = ax (In a)2

f`(x) = ex

f``(x) = ex

f`(x) = cos x

f``(x) = - sin x

f`(x) = - sin x

f``(x) = - cos x

f`(x) = 1

cos2x =

f``(x) = 2tan x (1 + tan2x)

f`(x) = 1

x * In a

f``(x) = - 1

x2 * In a

f`(x) = 1

x

f``(x) = -1

x2

- schriftlich: ► nach den Ableitungsregeln und den Sonderregeln

- CAS: ► Main Menü

►Aktion

► diff f(x)= f`(x)

► diff diff f(x) f``(x)…

- Exponentialfunktionen

- e – Funktionen

- Exponentielles Wachstum

- Eine exponentielle Funktion ist eine Funktion mit mind. einem x als Exponent.

- meist alle Variablen (also a und b) im Text geben

- a meist der Anfangswert

- b meist Wachstumsfaktor (verdoppelt, verdreifacht)

- x meist die Zeit

- f(x) meist der Endwert

- f(x) = a*bx ► f(x) = a*ek*x k = In(b)

- keine Nullstellen

- keine Extrempunkte

- keine Wendepunkte

- keine Symmetrie

→ Sinusfunktion

→ Kosinusfunktion

→ Winkelfunktionen

Sinus: f(x) = sin x

Kosinus: f(x) = cos x

→ trigonomischer Pythagoras:

→ Sinussatz:

→ Kosinussatz:

→ f(x) = a*sin (bx+c) + d ► a = Amplitude, also die Höhe der Sinusfunktion

► b = Änderung der Periodenlänge (bei 1 beträgt die Periodenlänge 360° bzw. 2)

► c = Verschiebung nach links oder rechts

► d = Verschiebung nach oben oder unten

→ Dreisatz:

→ Nebenbedingungen

→ Skizze zeichnen

→ Zielfunktion aufstellen (Hauptbedingung)

► Zielfunktion beschreibt immer diejenige Größe, die möglichst groß oder möglichst klein werden soll

► Formel aufstellen die wir für die Lösung brauchen (meistens mit zwei unbekannten Parameter)

→ Hilfsfunktion aufstellen (Nebenbedingung)

► Hilfsfunktion wird benötigt, um eine der Unbekannten aus der Zielfunktion zu ersetzen

► Hilfsformel mit den zwei Parameter + gegebenen Zahlen aufstellen

► nach ein Parameter von der Zielfunktion umstellen, und in die Zielfunktion einstellen -► Zielfunktion hat nur ein Parameter

→ Extremstelle der Zielfunktion berechnen

→ Antwortsatz formulieren

> Ist für die Flächenberechnung unter einer Funktion

> Ist die Rückrechnung zur Ableitung

> Stammfunktion

- Aufleitung

- Integration

F(x)

- Menge aller Stammfunktionen F(x) + C

- ∫ f(x) dx = F(x) + C

A= │S1∫S2 (f(x) – g(x)) dx

► normale Berechnung:

► Faktorenregel:

► Summenregel:

► Übereinstimmung der Integrationsgrenzen:

► Vertauschung der Integrationsgrenzen:

► Intervalladditiveität:

a∫b f(x) dx = │ [Fb(x) – Fa(x)]ab │

a∫b c*f(x) dx = c* a∫b f(x) dx

a∫b (f(x) + g(x)) dx = a∫b f(x) dx + a∫b g(x) dx

a∫a f(x) dx = 0

a∫b f(x) dx = - b∫a f(x) dx

a∫b f(x) dx = a∫c f(x) dx + c∫b f(x) dx

- Main Menü

- Keyboard

- Math2

F(x) = C

F(x) = In(x) + C (x ≠ 0)

F(x) =

F(x) = 2/3 √x3 + C

F(x) = ½ (x + sin x cos x) + C

F(x) = X* In (x) – x + C

F(x) = - cos x + C

F(x) = ex + C

F(x) = loga x + C

F(x) = (x + In √x2 + a2) + C

F(x) = (1/a) arctan (x/a) + C (a ≠ 0)

F(x) = (1/ n + 1) xn + 1 + C

F(x) = sin x + C

F(x) = ½ (x – sin x cos x) + C

F(x) = - In cos x + C