Kartenstapel

→ Schnittpunkt mit den Koordinatenachse/ -ebene

Zur Veranschaulichung von Ebenen in einem Koordinatensystem orientiert man sich an den jeweiligen Schnittpunkt der Ebene mit den Koordinatenachse/ -ebene.

→ Eine Ebene E geht durch die…

… x-Achse bei k1, wenn gilt: S1(k1|0|0)

… y-Achse bei k2, wenn gilt: S2(0|k2|0)

… z-Achse bei k3, wenn gilt: S3(0|0|k3)

→ Die Spurgerade…

… S12 ist die Schnittgerade durch S1 und S2 und gehen durch die xy- Ebene

… S23 ist die Schnittgerade durch S2 und S3 gehen durch die yz-Ebene

… S13 ist die Schnittgerade durch S1 und S3 gehen durch die xz-Ebene

→ Eine Ebene schneidet entweder alle drei, genau zwei oder eine einzige, aber nie keine Koordinatenachse.

y = mx + n

ax + by + c = 0

y – y1 = m(x – x1)

> für P1 (X1|Y1); P2(X2|Y2)

- Vektorrechnung

- Richtungskoordinaten

- Wege im Raum

Ein Vektor gibt den Weg innerhalb eines Koordinatensystem an. Man kann ihn sich als Pfeil mit einer bestimmten Länge und Richtung vorstellen.

→ Ein Vektor in einem zweidimensionalen System besteht aus 2 Zahlen übereinander in einer Klammer. Die obere Zahl gibt die x-Richtung an und die untere Zahl die y-Richtung an.

→ Vektoren in einem n-dimensionalen Koordinatensystem haben demnach, n Zeilen, die dann immer für die jeweilige Richtung zählt.

→ Am häufigsten sind Vektoren in dreidimensionalen Raum vertreten.

→ Man setzt Vektoren zur Berechnung mit kleinen Buchstaben, die einen nach rechts zeigenden Pfeil oben drüber haben gleich.

1. Ortskurve von einen Punkt:

2. Vektor Ausrechnen:

> Berechnungen im CAS:

→ Main Menü

→ Keyboard

→ Math2

→ Vektoren und ihre Berechnungen eingenben

- Vektoraddition /Vektorsubtraktion

- Vektorbildung

Man kann Vektoren auch mit anderen Vektoren addieren und subtrahieren

Vektoren müssen gleiche Anzahl von Einheiten („Zeilen“) haben

- Addition: Vektoren miteinander addieren:

- Subtraktion: Vektoren miteinander subtrahieren:

- Vektormultiplikation

→ Vektoren kann man auch mit reellen Zahlen multipliziert

→ wird dabei jede Teile einzeln mit dieser Zahl vor dem Vektor multipliziert

- Multiplikation: Vektor wird mir der Zahl multipliziert:

→ Untersuchung, ob ein Richtungsvektor ein Vielfaches eines anderen Richtungsvektor ist

→ Vektoren sind parallel = Abhängigkeit gegeben

-► ein Vektor ist ein Vielfaches (λ) des anderen Vektors

→ Vektoren sind nicht parallel zueinander = Unabhängigkeit gegeben

→ du darfst eigentlich kein Vektor miteinander Dividieren, das geht nicht

→ aber wenn du jede „Zeile“ für sich „gedanklich“ nimmst, dann gilt für die Parallelität der beiden Vektoren folgendes

→ist Parallel wenn es die gleiche Zahl (n) ist

Überprüfung, wie ein Punkt und eine Gerade zueinander stehen können

Berechnung:

Überprüfung, wie zwei Geraden zueinander stehen können

ganz normal, wie lineare Un-/Abhängigkeit

• identisch

• parallel

• schneiden

• windschief

- sind identisch, wenn die Vektoren abhängig voneinander sind und wenn der Punkt P auf der den Vektor liegt.

►g1: m1x + n1 g2: m2x + n2

m1 = m2 und n 1 = n2

- sind parallel, wenn die Vektoren abhängig voneinander sind, aber der Punkt P nicht auf den anderen Vektor liegt.

►g1: m1x + n1 g2: m2x + n2

m1 = m2 und n 1 ≠ n2

- schneiden sich, wenn die Vektoren genau einen Punkt gemeinsam haben

►g1: m1x + n1 g2: m2x + n2

m1 ≠ m2

- sind windschief, wenn die Vektoren sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

→ Betrag eines Vektors

→ Länge eines Vektors

→ Die Pfleillänge eines Vektors berechnen

→ Die Pfeillänge eines Vektors a wird als Betrag von a (| a |) bezeichnet

→ Abstand zweier Punkte = Betrag

→ Vektor * Vektor

→ Orthogonalität prüfen

→ Orthogonalität zweier Richtungsvektoren überprüfen

→ Vektor a ist dann genau senkrecht auf Vektor u, wenn das Skalarprodukt 0 ist.

> CAS: → Main Menü

→ Aktion

→ Vektoren -► dotP

→ Schnittwinkel: Gerade-Gerade

→ Winkel zweier Geraden

→ Richtungsvektoren müssen entweder beide zueinander oder voneinander weg zeigen

Den Winkel berechnen, der sich zwischen zwei sich schneidenden Geraden befindet.

→ Berechnung vom Winkel ɑ: cos-1(ɑ) = ɑ

> CAS: → Main Menü

→ Aktion

→ Vektoren -► angle

→ Parametergleichung

→ Geraden im Raum

Mit Hilfe von Vektoren kann man Geraden im beschrieben

- Vektor p = Stützvektor -► Punkt P ist Orts kurve von Geraden g

- Vektor u = Richtungsvektor

Auch Geradengleichungen können Unbekannte in ihren Vektoren haben, die man dann ermitteln muss, damit z.B.: zwei Geraden sich schneiden.

→ Ist im Stützvektor eine Unbekannt, verschiebt sich nur die Gerade mittels der Position im Raum, die Richtung bleibt gleich.

→ Ist eine Unbekannte im Richtungsvektor, so verschiebt sich die Richtung der Gerade.

Feststellung, ob ein Punkt in einer bestimmten Ebene eines dreidimensionalen Koordinatensystem liegt.

→ Punkte auf der x-Achse haben die Koordinaten P(x|0|0)

→ Punkte auf der y-Achse haben die Koordinaten P(0|y|0)

→ Punkte auf der z-Achse haben die Koordinaten P(0|0|z)

→ Punkte in der yz-Ebene haben die Koordinaten P(0|y|z)

→ Punkte in der xz-Ebene haben die Koordinaten P(x|0|z)

→ Punkte in der xy-Ebene haben die Koordinaten P(x|y|0)

> rechtwinklige Dreiecke

> gleichseitige Dreiecke

> gleichschenklige Dreiecke

Das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren muss 0 ergeben

→ Der Betrag aller Richtungsvektoren müssen identisch sein

ODER

→ Alle Winkel müssen identisch sein

→ Der Betrag von zwei Richtungsvektoren muss identisch sein

ODER

→ zwei Winkel müssen identisch sein

> Trapez:

> Parallelogramm:

> Rhombus/ Raute:

> Drachenviereck:

> Rechteck:

> Quadrat:

→ zwei Richtungsvektoren sind linear abhängig voneinander

→ Zweimal müssen Richtungsvektoren linear voneinander abhängig sein

→ Es gilt: - ɑ = γ

- β = δ

→ Zweimal müssen zwei Richtungsvektoren linear voneinander abhängig sein

→ Der Betrag aller Richtungsvektoren muss identisch sein

→ Zweimal zwei gleiche Beträge der Richtungsvektoren, die beide am jeweils gleichen Punkt gebunden sind (sind nicht gegenüberstehend)

→ Zwei mal zwei gleiche Beträge der Richtungsvektoren, die sich gegenüberstehend sind

→ Das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren die am gleichen Punkt gebunden sind muss 0 ergeben

→ Der Betrag aller Richtungsvektoren ist identisch

→ Das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren, die am gleichen Punkt sind muss 0 ergeben