Filter im Frequenzraum

Fourier-Reihen:

• Zerlegung einer bekannten Funktion in einfache Grund-Schwingungen (Sinus, Kosinus)

• Approximation einer stetigen, periodischen Funktion der Periodenlänge 2π durch trigonometrische Funktionen aller ganzzahligen Frequenzen

Wozu:

• Systemdynamik ist für Grund-Schwingungen einfach bestimmbar, damit

  • Verstärkung (Amplitude) und Verzögerung (Phase) als Funktion der Frequenz -> Frequenzgang

  • Verhalten bei komplexen Anregungen ist durch Betrachtung überlagerter Grund-Schwingungen vorhersagbar (-> bei linearen Systemen)

• z.B. Anwendung eines Frequenzgang-Filters (Hochpass, Tiefpass)

• Schnelleres Rechnen in der BV

• Trenne von Signal (bandbegrenzt) und Rauschen (breites Spektrum)

• Signaleigenschaften im Frequenzraum ost eindeutiger oder verständlicher zu visualisieren

Fourier-Transformation:

• für ein exakt bestimmtes Spektrum ergibt sich eine undendlich lange Observationsdauer bzw. eine unendliche Anzahl an Samples (N->∞)

Probleme:

• Unendlich lange Signale bzw. Zahlenfolgen in der Praxis nicht möglich (nur bei periodischen Signalen)

• Frequenzinhalte besitzen häufig räumlichen bzw. zeitlichen Bezug

Fensterung:

• Mathematisches Ersatzmodell für eine endliche Anzahl an Samples (endliche Observationsdauer)

• Fenster ist eine Funktion, die auf das Signal angewendet wird, bevor es transformiert wird. Es dient dazu, die Enden des Signals zu glätten oder zu beschneiden, um Artefakte zu reduzieren, die durch den plötzlichen Übergang des Signals von Null zu einem bestimmten Wert verursacht werden

• Verschmierung des Frequenzspektrums durch Fenstereinfluss

  • Informationsverlust

• Mathematisch:

  • ZB/BB: Multikplikation mit Fensterfunktion

  • FB: Faltung mit Fensterfunktion

• Filterung: Faltung im ZB/BB -> Multiplikation im FB

  ->schneller bei großen Filterkerneln (ab 7x7)

• Bild wird mit Hilfe der zweidimensionalen Fourier-Transformation (FFT) in den Frequenzraum transformiert

• kleine Filter wie z.B. Prewitt Filter, werden im Bildraum symmetrisch mit Nullen aufgefüllt bis zur Bildgröße und anschließend in den Frequenzraum transformiert

• Anwendung Filter

• inverse zweidimensionale FFT erlaubt die Rücktransformation in den Bildraum