Einführung in die Mathedidaktik

• Lehrplan-Wissen (Jahrgang)

• Stoffdidaktisches Wissen (Darstellung der Inhalte)

• Methodenwissen (vorgehen)

• Wissen über SuS und deren Vorstellungen

➔ Lehrer benötigt Vogelperspektive

• Fachwissen

• Fachdidaktiksches Wissen

• Pädagogisch-psychologisches Wissen

Eng: Besch. mit Theorie des Unterrichts

Weit: Besch. mit Theorie/Praxis Lehren und Lernens

„Bezugswissenschaft für Mathematiklehrkräfte“ (Mathe, Pädagogik, Praxis, Psychologisch)

• Präskriptiv: Welche Inhalte und Methoden möglichst effektiv bezüglich des Lernzieles ist

• Konstruktiv: entwickelt Curricula, Lehrverfahren, Lernmaterialien u.v.m.

• Integrativ: versucht Dimensionen der Tätigkeiten in ein kohärentes System zu bringen

Mathematikdidaktische Forschung

• Basic science: Pure (Theorie)

• Engeneering: Applied (Praxis)

Anthropogene Bedingungen (Mensch an sich)

• Schüler (Alter, Entwicklung, Geschlecht, Einstellung…)

• Lehrkräfte (Alter, Interesse, Kompetenz, Einstellung…)

• Klasse (Atmosphäre, Gruppierungen, Arbeitsstil…)

Soziokulturelle Bedingungen (Umfeld in dem sich Mensch befindet)

• Schule (Schultyp, Größe der Schule, Lehr- und Unterrichtspläne…)

• Klasse (Sitzordnung, Stundenplan, Größe der Klasse, Vorgeschichte der Klasse…)

• Soziales Umfeld der Schüler (soziale Herkunft, häusliches Milieu, familiäre Situation…)

• Kognitive = Erkenntnis

==> Was ist ein Quadrat

• Affektive = Gefühl

==> Bereitschaft den Lernerfolg kontrollieren zu lassen

• Psychomotorisch = motorische Fertigkeiten

==> mit Zirkel umzugehen

➔ Ziele sind meistens miteinander verknüpft nach diesen 3 Bereichen

Kognitive Lernziele

Komplexität steigt:

Grundlagen fürs Verstehen:

• Grundvorstellungen: Tragfähigkeit mentaler Modelle (Variable)

• Grundwissen: Für einen Inhaltsbereich grundlegende Fakten (Formeln / Sätze) auswendig kennen

• Grundfertigkeiten: Anwendung von Routinekalkülen

Zentrale Aspekte des Grundvorstellungskonzepts

• Grundvorstellungen: repräsentieren abstrakte Begriffe + verbinden Mathematik mit Anwendungen

• Typ 1 – Primäre Grundvorstellungen

==> Wurzeln in Handlungserfahrungen

• Typ 2 – Sekundäre Grundvorstellungen

==> werden mit mathematischen Darstellungsmitteln (Zahlenstrahl / Graph) repräsentiert

Ziele

• Sinnzusammenhang herstellen

• Aufbau visueller Repräsentation

• Fähigkeit zur Anwendung des Inhalts auf die Wirklichkeit

• Forderung nach Allgemeinbildung durch Mathe (Geisteskräfte schulen = logisches Denken)

• „vollständiger Menschenbildung“: „Lernen selbst“ und „Lernen des Lernens“

• Formale Ziele: Einsicht in logische Schlussfolgerung / Aufbau der Mathematik

• Materiale Ziele: Anwendungsbezug (eher zweitrangig)

• 1905 Kernthesen der Meraner Reform in Meran durch Felix Klein; Umgestaltung des MU nach:

• Psychologisches Prinzip: Anpassung des Lehrgangs an geistige Entwicklung der SUS

• Utilitarisches Prinzip: Verzicht auf Spezialkenntnisse

• Didaktisches Prinzip: „Fusion“ des Lehrstoffes

Anfang 80er

Die allgemeinbildende Schule soll Schüler zu mündigen Bürgern machen durch

• Förderung der Kreativität

• Lebensvorbereitung

• Stiftung kultureller Kohärenz

• Weltorientierung

• Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch

• Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft

• Einübung in Verständigung und Kooperation

• Stärkung der Schüler-Ichs

Konzept: Allgemeinbildend (für Mündigkeit) und Integration Materieller und Formaler Ziele

• Forderte Verknüpfung von 3 Grunderfahrungen

1. Mathe als nützliche und brauchbare Disziplin → anwendungsorientiert (Zinsrechnung)

   ==> Mächtiges Werkzeug zum Verständnis der Welt (Volumen / Oberfläche)

2. Die innere Welt der Mathematik = Strenge Wissenschaft ist möglich → strukturorientiert (Beweis)

   ==> Eine deduktive Welt eigener Art (Primzahlen gibt es unendlich viele)

3. Mathem. als Schule des Denkens (Allgemeine Aussagenlogik) → problemorientiert (WH-Rechnung)

   ==> Hilfmittel für vielfältige Lebenswichtiger Fähigkeiten

➔ 1. Produkt: Die sogenannte „fertige“ Mathematik

➔ 2. Prozess: Selbstständiges Entdecken

• Grundlage für Bildungsstandards

• Grundlage für Modellierung (Realitätsverknüpfung notwendig)

• Bzgl. fachbezogene Kompetenzen (vgl. Bildungsziele)

• Abschlussbezogen

• Instrument schulischer Qualitätssicherung

➔Leistungsstandards, keine Unterrichtsstandards, haben Entwicklungs- und Überprüfungsfunktion

!! Weinert:

• Inhalte und Kompetenzen sind nicht gegensätzlich

• Aufgaben konkretisieren Kompetenzen

• Orientierung → Klarheit / Verbindlichkeit

• Evaluation → Basis für Leistungsüberprüfungen (verschiedener Art)

• Konkrete Umsetzung → Qualitätsentwicklung im Unterricht

• Risiken: Teaching-To-The-Test

• Rolle von Aufgaben: Testaufgabe (Klar / Korrigierbar) vs. Lernaufgaben (Lernpotenzial / Anregend)

Anforderungsbereiche (Anforderungsdimension)

• Reproduzieren (in einem Schritt)

• Zusammenhänge herstellen

• Verallgemeinern und Reflektieren

Leitideen (Inhaltsdimension)

• Zahl

• Messen

• Raum und Form

• Funktionaler Zusammenhang

• Daten und Zufall

Mathematische Kompetenzen (Prozessdimension) + immer aktiver und passiver Teil

• argumentieren

• Probleme lösen

• Modellieren

• Darstellungen verwenden

• symbolisch / formal / technisch umgehen

• Kommunizieren

Rolle

• Struktur: Gliedern Unterricht / Teilen Lerneinheiten ein

• Kommunikation

• Qualitätssicherung

Qualitätsentwicklung

• Pragmatisch (umsetzbar)

• Verfügbar (leicht zugänglich)

• Methodisch unterfüttert (Einbettung im Unterricht)

➔ Aber auch Freiraum für komplexe Problemstellungen

Dimensionen von Aufgabenqualität

• Authentizität: spiegelt Realität wider (nicht nur oberflächlich)

• Bedeutsamkeit / Relevanz: Anwendungsrelevanz (fürs tägliche Leben), Subjektive Relevanz und objektive Relevanz (unmittelbar oder künftig)

• Offenheit: Mehrere Lösungswege, offene Antworten (überschlagen)

• Aufforderungscharakter: Interessensfaktor (Bezug, Präsentationsform…)

• Gibt nicht DEN guten Unterricht

• Erfolg braucht Unterrichtsqualität braucht entsprechende Lehrkraft

• Lehrkräfte mit gutem Unterricht berücksichtigen (Ditton?)

  • Nutzung der Unterrichtszeit (intensiv Lernwirksam)

  • Förderung

  • Aufgaben (anspruchsvoll)

  • Diagnostische Sensibilität

  • Haltung (Wertschätzung / Ermutigung)

1. Aufbau Fachlicher und überfachlicher Kompetenzen

2. Strukturierte und transparente Lehr- und Lernprozesse

3. Bewusster Umgang mit heterogenen Lernvoraussetzungen

4. Lernförderliches Klima und entsprechende Lernumgebung

- Rolle der Mathematik kennen

- fundierte mathem. Urteile stellen

- Konstruktiv, reflektiert und engagierter Bürger sein können

• Definition nach BS: realitätsbezogene Situation durch Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und zu Lösen sowie den Realitätsbezug zu erkennen und zu beurteilen

• Allgemein: Übersetzung zwischen Mathematik und Realität, braucht grundlegende Mathematische

  Fähigkeiten mit Realitätsbezug

➔ Modellieren macht Mathematik für SuS bedeutsam / Sinnvoll und trägt zur Entwicklung

verschiedenster mathematischer Kompetenzen bei

• Stoffbezogene Aspekt: Orga des Unterrichts (Realität = Ausgangspunkt, verdeutlicht mathem. Begriffe)

• Pädagogischer Aspekt: Umwelterschließung (Welt bewusst / kritisch sehen und Mathem. als nützlich)

• Psychologischer Aspekt: Motivation (Interesse, Offenheit, aufgeschlossene Einstellung)

• Wissenschaftsorientierter Aspekt: Mathe als Kulturgut (realistisches Bild der Mathe als Wissenschaft)

Maaß 2004

• Jeder Schritt des Modellierungskreislaufes ist eine Teilkompetenz der Modellierungskompetenz

• Achtung! Beim „nutzen individueller Kompetenzen“ werden andere Kompetenzen (1-6) angesprochen

Nach Borromeo Ferri 🤮

• Sinnhaftigkeit

• Altersgemäßer Realitätsbezug

• Herausforderung weiterer Fragestellungen

• Anregung zur Interpretation und Reflexion

• Ganzheitliches Lernen

• Angemessenes Sprachniveau

• Offenheit

• Bestimmtheit (zu viele oder zu wenig Infos)

• Komplexität (ein oder mehrere Durchläufe)

• Authentizität (Glaubwürdig!)

• Umfang nötigen mathematischen Verfahren

• Mehrere Kompetenzen nötig

• Mathem. Wissen, Vorstellungen, Weltwissen

• Kapitänsaufgaben als Gegenpool zu Modellierungsaufgaben

• Unterricht offen, ebenfalls Fülle von Kompetenzen erforderlich

• Langfristiger Kompetenzaufbau nötig von der Grundschule bis zur Universität

  • Geeignete Aufgaben

  • „guter“, „kompetenzorientierter“ Unterricht auf allen Stufen → Lehrkraft entscheidend

• Schwierig zu Bepunkten, aber nicht unmöglich. Punkte an Teilkompetenzen orientieren

1. Fachlich gehaltvolle Unterrichtsgestaltung durch herausfordernde Aufgabe

2. Methodenvariation: Einzel-, Gruppen-, Partnerarbeit (modellieren besonders geeignet für kooperatives Lernen) und Plenum

3. Kognitive Aktivierung der lernenden, Herausforderung ihrer Selbstständigkeit

4. Ermutigen individueller Schülerlösungen als Basis für Diagnosen, Rückmeldungen und Hilfen

5. Metakognitive Aktivierung der Lernenden, insbes. Begleitende und rückblickende Reflexionen

• offenen Aufgabe mit breitem Differenzierungspotential

• Inner- und außermathematische Vernetzung

• Erarbeitung vielfältiger Lösungen, Vergleichen und Bewerten von Lösungen

• Vorstellungsaktivierung, Modellieren, Argumentieren und Begründen

• Erkennbar beurteilungsfreie Arbeitsatmosphäre, wo Fehler Lernanlässe sind

• Reflexionen über das Vorgehen

• Methodenvariation mit klaren Unterrichtsstruktur, mit vielen Schüler-Kooperationsphasen

Eingekleidete Aufgaben: Innermathematischer Sachverhalt in ein konstruiertes Problem eingekleidet (ein

Bakterium, Der Teiler der Zahl ist x Mal so klein wie…)

• Weder über- noch unterbestimmt

• Nicht komplex

• Neutrale Fragestellung, nicht offen → Keine echte Modellierung

➔ Anwenden und Üben von Rechenfertigkeiten und Begriffen

Textaufgaben: Wie eingekleidete Aufgaben, nur noch nicht so mathem. beschrieben (Fußball Verpackung)

• Sinn muss begriffen werden und in Mathematik übersetzt

• Teilkompetenzen des Modellierens

• Sache unbedeutend / austauschbar

➔ Verstehen der Problematik und abbilden in mathem. Sprache

Sachproblem: Echtes Problem mit verschiedenen Komplexitätsstufen (Bus oder Bahn, Froschkönig)

• Thema selbst wird mitdiskutiert

• Mathe ist Hilfsmittel bei Bearbeitung

➔ Echte Anwendung: Daten müssen gesammelt werden

Fermi-Aufgaben: offene Fragestellungen ohne jegliche Daten mit Bezug zur Realität (Tanken)

• Annahmen eigenständig treffen, Schätzen / Überschlagen

• Sinnvoll in Gruppenarbeit

➔ Mathematisch Handeln an einem authentischen Sachproblem, Motivierend (Grundbedürfnisse der

Motivation: Autonomieerleben, Kompetenzerleben, Soziale Eingebundenheit)

• Interne vs. externe Darstellungen

• Ganzheitliches Vorgehen vs. Zergliederndes Vorgehen

• Gibt jedoch auch Bildlich-zergliedernd usw. Ist nur die Tendenz was für ein Typ man wird

• Visuelle Denkstil: Präferenzen für interne und externe bildliche

• Analytische Denkstil: Präferenz für interne und externe formale / symbolische

• Integrierten Denkstil: Kombination aus Visuell und Analytisch

Kommt auch auf die Aufgabenstellungen an!

- keine Fähigkeiten, sondern Präferenzen

- keine mathematischen problemlöse-Strategien

- durch die mathematische Sozialisation beeinflusst

➔ Es gibt keine Hierarchien bei mathem. Denkstilen – kein mathem. Denkstil ist „besser“ als der andere

• Realitätsnahe validieren: Links, eher visuell, realitätsnah

• Nachträglich formalisieren: rechts, Mathe = Sprache, sehr formal

• Formal-Real: beide Seiten ausgeglichen

Übereinstimmung (oder keine) von Denkstilen bei

- Lernenden und Lehrenden

- Denkstil und Fähigkeit

von Persönlichkeit, Kultur und schulischer Sozialisation

• Routineaufgabe

  Anfangszustand → Algorithmus → Zielzustand

• Problem:

  Anfangszustand → Barriere → Zielzustand

• Subjektiver Faktor entscheidend → Fehleinschätzungen möglich, Vorwissen entscheidend

- Formalisierungsgrad F: Aufgabe finden, Realität → Mathematik

- Komplexitätsgrad K: kognitive Anforderungen, Mehrschrittigkeit

- Bekanntheitsgrad B: Kennt das Individuum ähnliche Aufgaben

- Ausführungsgrad A: Wie hoch ist der Rechenaufwand (Fehleranfälligkeit), Ist sie Lösbar?

• Kennen- und Anwenden lernen von Methoden und Techniken zum Lösen

• Vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten

• Geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen wählen und anwenden

• Ergebnisse überprüfen, Lösungsweg reflektieren

• (A1) Routineaufgaben lösen, einfache Probleme mit bekannten (auch experimentellen) Verfahren

  (A2) Anwendung von heuristischen Hilfsmitteln / Strategien. Probleme formulieren, Plausibilität prüfen

  (A3) Anspruchsvolle Probleme, Lösungswege reflektieren

• Lernziele

  • Erkennen und Formulieren von mathematischen Fragestellungen im Alltag

  • Kennen und Anwenden mathematischer Modelle, Vorgehensweisen (Heurismen)

  • Entwicklung von Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit

• Mathematik individuell und aktiv konstruieren → angemessenes Bild der Mathe

• Kontexte die mathematischen Konstrukten Sinn geben → Behalten, Motivation, nachhaltiges Lernen

• Schlüsselkompetenz → eigene Strategien entwickeln + mit uneindeutigen Infos umgehen

• Emotionale Erlebnisse → Durchhaltevermögen, Aushalten von Widerständen…

• Transfer → Umgang mit unbekannten Situationen + Sammeln und strukturieren von Infos

• Konkrete Fragen stellen

• Problem verstehen, dran rumbasteln, Basiswissen anwenden

Modell der Lerntätigkeit (Lopscher)

• Handlung (Planen, Extrahieren, Selbständig, geistig Beweglich / Perspektivwechsel)

• Inhalt = objektive Realität

• Verlauf = psychischer Prozess

• Produkt: Konkrete Lösung

• Ergebnis: Person kann Probleme lösen

Geistige Beweglichkeit nach Bruder und Collet

• Reduktion: Fokussierung auf das Wesentliche

• Reversibilität: Gedankengänge umkehren

• Aspekt Beachtung: bestimmter Aspektes

• Aspekt Wechsel: Wechsel von Annahmen / Kriterien

• Transferierung: Bekanntes Vorgehen auf verschiedene Kotexte übertragen

• Vorwärts- / Rückwärtsarbeiten

• Invarianz Prinzip (Gemeinsamkeiten)

• Zerlegung (Teilschritte)

• Systematisches probieren / Konkretisieren (Bsp. Analysieren)

• Spezialisierung (Vom besonderen zum Allgemeinen)

• Analogiebildung (kenne ich schon so ein Problem)

• Ziel-Mittel-Analyse (was brauche ich)

Auch:

• 3 Dimensionen (Strategiewürfel)

  • Lern- vs. Problemlösestrategien

  • Kognitiv vs. Metakognitiv

  • Mathematisch / allgemein

• Helfen beim Verstehen und generieren Lösungsideen / -ansätze

• Können nur durch aktives Nutzen erlernt werden (Hilfe: Strategiekarten)

• Nachreflexion ebenso wichtig!

Hilfsmittel: Tabelle, Informative Figur, Gleichung / Term

Aha-Erlebnis und individuelle Schwierigkeitsgrade fördern Motivation → SuS muss selbst agieren

1. Implizite Gewöhnung an heuristische Vorgehensweisen und zugehörige typische Fragestellungen

2. Zu lernende Strategie Anhand von Musteraufgaben explizit vorstellen

3. Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit, neue Strategien bewusst anwenden

4. Anstreben einer unterbewussten flexiblen Strategieanwendung.

Reflexionsphase: Beschreibung mit heuristischer Fragetechnik

➔ Nicht erlernbar durch Anleitung. Heurismen sind wage und müssen selbstständig erarbeitet werden

Löseplan nach Polya

1. Aufgabe verstehen

2. Zusammenhang zwischen Daten und Unbekannten (evtl. Hilfsaufgaben + Plan)

3. Ausführen

4. Prüfen

Besonders strategische Hilfen sehr relevant

1. Gewöhnen an heuristische Methoden durch Reflexion im Anschluss an eine Aufgabenlösung

2. Bewusstmachen einer speziellen Methode oder Technik anhand eines markanten Beispiels, z.B. Wasser holen für Rückwärtsarbeiten

3. Bewusste Übungsphase mit Beispielen unterschiedlicher Schwierigkeit zur selbstständigen Bearbeitung

4. Beispiele aus anderen mathematischen Gebieten und der Lebenswelt suchen, bei denen die neue Strategie Anwendung finden kann (Kontexterweiterung der Strategieanwendung) (Zeitlicher Abstand zur 3. Phase)

Mindestens 1x Pro Schuljahr soll sich der Schüler selbst überlegen, wie er folgendes tut:

Sachverhalt verstehen → Geeignete Strategie finden → Lösungsidee ausführen → Kontrollieren

Die didaktischen Herausforderungen beim Begründen und Beweisen sind seit vielen Jahren bekannt

• Beweisen ist zentral für Mathe, spielt im Unterricht jedoch eine kleine Rolle

• Argumentieren / Begründen auch außermathematisch. Formales Beweisen Mathe spezifisch

• Beweise sind Teil der Grunderfahrungen und Bildungsstandards

• Jeder Beweis erfordert Problemlösekompetenz

Definition Holland: Unter einem Beweis eines mathematischen Satzes versteht man dessen logische Reduktion auf andere mathemaische Sätze S1, S2, …, Sn. Ist S mit Hilfe von S1, S2, …, Sn beweisen so folgt die Gültigkeit des Satzes S aus der Gültigkeit der genutzten Sätze.

Um Sätze anhand bereits begebener Sätze zu beweisen sind zwei Aspekte besonders entscheidend:

1. Beweisfindung: kann mit Hilfe von heuristischen Methoden unterstützt werden

2. Beweisdarstellung: Notation oder auch nur Kommunikation

Am besten findet man Beweisschritte

Diskrepanz zwischen Außenbild und Praxis

• Mathe ist beweisende Disziplin

• Außenbild: jedes generierte Wissen sei (theoretisch) lückenlos axiomatisch-deduktiv bewiesen

• Praxis zeigt: zunächst Austausch inhaltlich—anschaulicher Argumente. Prozess formt Beweis

• Eigentlich gibt es keine lückenlosen Beweise, daher:

• Wissenskultur: Gibt Normen fürs Beweisen vor

Enkulturation: Prozess Norman anzunehmen

• speziellem Beispiel

• generischem Beispiel (kann immernoch recht spezifisch sein)

• Begründung mit generischem Bild (ohne n)

• allgemeinem Bild (mit n)

• Algebraisierung

• Vollständiger Induktion

• Mengentheoretische Begründung

Beweis muss sozial akzeptiert sein!

Exaktheit des Beweises ist relativ zur Argumentationsbasis, diese sind von der Gesellschaft festgelegt

- Experimenteller „Beweis“ (Handlung)

- Präformale Beweise:

- Handlungsbezogener Beweis (enaktiv)

- Inhaltlich-anschaulicher Beweis

- Formaler Beweis

In der Mathedidaktik werden unterschiedliche begriffliche Ausdifferenzierungen vorgeschlagen

• Beweis: Stark formal

• Begründen: Weicher, weniger formal

• Argumentieren: Beinhaltet soziale und kommunikative Dimension (Viel im Unterricht)

Winter ❄

• Oft gibt es „negativ Beweise“ –> Messen ist nicht allgemein richtig usw.

• Steht den Grunderfahrungen entgegen. Man soll lernen Mathe auf die Welt anzuwenden (messen)

• Forderungen

• Positive Beweise: Wahrnehmen, Messen, Testen (zum anschaulich-empirischen Tun)

• Nutze Deduktive Argumentationen

• Optische Täuschungen und paradoxe können durch rationale Analysen aufgeklärt werden.

Weitere Forderungen

• In Sek1: nur für Schüler offensichtlich problematische Beweise thematisieren (Was durch Messen gezeigt werden kann muss nicht unbedingt bewiesen werden…)

• Allgemein einführen was ein Beweis ist und seine Funktionen → schafft Motivation zu beweisen

• Verifikation (50%): Feststellung der Gültigkeit

• Erklärung (35%): Verstehen, warum Aussage wahr ist

• Kommunikation: Austausch von Gedanken

• Systematisierung: Systematisierung der gültigen mathematischen Sätze und ihrer Zusammenhänge

• Entdeckung (1%): Entwicklung neuer Sätze durch Beweise

• Bezug auf eine Definition

• Bezug auf einen Satz

• Anwendung eines Verfahrens

• Widerspruchsbeweis

• Widerlegen durch Gegenbeispiel

1. Stufe des Argumentierens

   • Nicht streng und lückenlos

   • mündliche Argumentation

   • Uneingeschränkte Bezugnahme auf Beweisfigur

   • Veranschaulichung zugelassen

1. Stufe des inhaltlichen Schließens

   • Beweise strukturiert

   • Notation für Sequenz von Beweisschritten möglich

   • Allgemeingültigkeit der Aussage argumentiert

   • Angabe benutzter Sätze

   • Fallunterscheidungen, selbst Finden einfacher Beweise

1. Stufe des formalen Schließens

   • Sequenz von Beweiszeilen notieren

   • Schlüssig und Lückenlosigkeit (evtl. Erklärungen ergänzen)

• Faktenwissen vorhanden

• Scheitert an Anwendung (selbst für Fehlerfreie Argumentationsketten)

• Oft werden zu beweisenden Teilen übersprungen oder Zirkelschlüsse genutzt

• Auch werden formale Zirkelschlüsse als richtiger als korrekte wörtliche Beweise angesehen ==> Problem: Formalität überlagert Schlüssigkeit

• Nur Argumentationen

• Argumentationsbasis = jene Annahmen, die einem Argument zugrunde liegen und zum geteilten Wissen einer Lerngruppe gehören

• Begründung auf Argumentationsbasis = Beweis bezüglich dieser Argumentationsbasis

  Intervention

• Beweisorientierte Problemlösestrategien / Heurismen sinnvoll

• Reading and Coloring Strategie

• Konklusion K

• Daten D

• Schlussregeln SR

• Stützung S

• Operatoren O (vermutlich, höchst wahrscheinlich)

• Ausnamebedingungen AB

==> Keine Ausnahmeregelungen → Dann haben wir einen Satz mit Allgemeingültigkeit“

• Bessere Zugänglichkeit einer Formalisierung, als es andere Inhalte ermöglichen

• Relative Geschlossenheit und Eindeutigkeit der Aufgaben

• Beobachtung von höherem Formen des Denkens

• Mathematische Lern-Denk-Prozesse werden in der Psychologie als Teil der Psychologie des

  Problemlösens angesehen

• Bessere Zugänglichkeit einer Formalisierung, als es andere Inhalte ermöglichen

• Relative Geschlossenheit und Eindeutigkeit der Aufgaben

• Beobachtung von höherem Formen des Denkens

• Mathematische Lern-Denk-Prozesse werden in der Psychologie als Teil der Psychologie des

  Problemlösens angesehen

1. Sensomotorisches Stadium (0-2)

• Reiz und motorische Reaktion bilden eine Einheit

1. Prä-operationales Stadium (2-6)

• Denkleistung ist an konkrete Handlung und unmittelbare Anschauung gebunden (Video)

• Zentrierung: Nur ein Merkmal kann gleichzeitig berücksichtigt werden

• Egozentrismus: Schwierigkeit sind etwas aus der Sicht eines anderen vorzustellen

1. Konkret-operationales Stadium (7-12)

• Überwindung des Egozentrismus

• Dezentrierung: Verschiedene Aspekte gleichzeitig berücksichtigen

• Transformationsverständnis: Masse, Volumen, Flächeninhalt, Anzahl abstrakt verstehen und

  losgelöst der Anschauung

• Grundlegende mathem. Begriffe: Menge, Zahl, Länge, Addition…

• Fähigkeit zur Abstraktion fehlt

• Bildlich sind Argumentationsketten in Grenzen machbar, Textorientiert nicht

1. Formal-operationales Stadium (ab 12 Jahre)

• Denken wird abstrakt (nicht an konkrete Vorstellung gebunden)

• Hypothetisch-deduktives Schließen möglich („Wenn x und y gilt, dann z“)

• Variablenkontrolle bei der Kausalanalyse von Ereignissen (Es können versch. Faktoren

  mathematisch variiert werden)

==> Alles was man so kann…

• Entwicklung nicht durch Alter (Piaget) sondern Pädagogisch bedingt

• Möchte durch operative (Denk-)Methoden fördern: Reversibilität und Kompositionsfähigkeit

  • 
    

    • 4 + 3 + 6 = 6 + 4 + 3 (Kommutativität)

    • 11 + 4 = 15, Probe 15 – 4 = 11 (Umkehraufgabe)

  • Verinnerlichung der Operation

    • Konkrete Stude: Schüler arbeitet mit konkretem Material

    • Figurale Stufe: Zeichnerische Darstellung

  • Symbolische Stufe: Darstellung durch Ziffern und Operationszeichen

    Wird durch Vorwegnehmen und nachträgliches verbalisieren unterstützt

  • Operatives Durcharbeiten

    • Variables, sinnbezogenes Üben

    • Vertiefung des Verständnisses (keine Automatisierung!)

    • Flexibilität steht im Vordergrund!

(Modifikation von Piaget und Aebli)

Wissensrepräsentationen

• Enaktiv (handelnd)

• Ikonisch (bildhaft)

• Symbolisch

➔ Intellektuelle Entwicklung von oben nach unten

(zuerst enaktiv vorrangig → ikonisch → symbolisch)

➔ Lernprozesse durchschreiten immer alle drei Ebenen und es sollten auch alle 3 immer angeregt

werden.

• prädikative und funktionale kognitive Strukturen sind bei jedem Menschen gleich ausgeprägt

• Prädikatives Denken: in Beziehungen und Urteilen (eher statisch, Frauen).

• Funktionales Denken: in Handlungsfolgen und Wirkungsweisen (eher dynamisch, Männer)

➔ Unabhängig von Leistungsniveau!

• Prädikative Lösung: gemeinsame Charakteristika untersuchen und in Beziehung zueinander setzten

• Funktionale Lösung: Prozessabläufe analysieren und in Entstehungsgeschichte bringen