Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein zufälliges Ereignis ist der Ausgang eines Experimentes, eines Versuches, einer Beobachtung, der eintreten kann, aber nicht

eintreten muss.

Anzahl der für E günstigen Fälle

P(E) = ————————————————————————

Anzahl der möglichen Fälle

Axiom I

Jedem Ereignis E ist die Zahl P(E) zugeordnet.

P(E) nennen wir die Wahrscheinlichkeit des

Ereignisses E.

Es gilt: 0≤P(E) ≤ 1.

Axiom II

Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1:

P(Es )= 1

[Übrigens ist das Gegenteil ein unmögliches Ereignis mit der

Wahrscheinlichkeit 0.]

Axiom III

Die Wahrscheinlichkeit, dass von mehreren Ereignissen, die sich

wechselseitig ausschließen, eines eintritt, ist gleich der Summe

der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

P(E1 u E2 u E3 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E 3)

Jedem Ereignis E ist die Zahl P(E) zugeordnet.

P(E) nennen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E.

Es gilt: 0≤P(E) ≤ 1.

Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1:

P(Es)= 1

[Übrigens ist das Gegenteil ein unmögliches Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0.]

Die Wahrscheinlichkeit, dass von mehreren Ereignissen, die sich wechselseitig ausschließen, eines eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

P(E1 u E2 u E3 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E 3)

Die Wahrscheinlichkeit des zu E komplementären Ereignisses

(E mit Strich über E) beträgt:

Umformung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass E oder sein Gegenteil Nicht-E eintritt, beträgt 1. Das ist also sicher.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Ereignisse, die wechselseitig voneinander unabhängig sind, zusammen auftreten, ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Axiom 3

nicht sicheres Ereignis -> Axiom 2

Komplementärereignis zu P(E) -> Rechenregel 1

P(Nicht-E) = 1 - P(E)

P(Nicht-A und Nicht-B) = 1 - P(A oder B)

P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A) x P(B)

Rechenregel 2

Komplementärereignis zu P(E) -> Rechenregel 1

P(Nicht-E) = 1 - P(E)

P(Nicht-A und Nicht-B) = 1 - P(A oder B)

Ein Ereignis B ist von einem Ereignis A abhängig, wenn

die Wahrscheinlichkeit für B sich danach unterscheidet,

ob A eingetreten ist oder nicht eingetreten ist:

Wir nennen P (B|A) die

„bedingte Wahrscheinlichkeit für B gegeben A”

Man kann leicht sehen, wie sich unabhängige und abhängige Ereignisse unterscheiden.

Bei unabhängigen Ereignissen gilt:

Bei abhängigen Ereignissen:

Aus einer Vierfeldertafel wird in der Epidemiologie das Risiko

verhältnis (meist „relatives Risiko“ genannt) zweier Gruppen

hinsichtlich einer Erkrankung (oder eines anderen Ereignisses)

geschätzt.

Wenn z.B. die Vierfeldertafel 4 von einer Kohortenstudie stammte, ergäbe sich (dabei steht E für Exposition in unserem Beispiel: Rauchen und D für Disease in unserem Beispiel COPD).

Aus einer Vierfeldertafel lässt sich das relative Risiko zweier

Gruppen hinsichtlich einer Erkrankung (oder eines anderen

Ereignisses) schätzen.

Der Schätzwert lautet:

Sensitivität = a/(a+c)

Spezifität = d/(b+d)

ppV = a/(a+b)

npV= d/(c+d)

a / (a+c)

Wahrscheinlichkeit, dass die Person die die Krankheit hat, von dem Test erfasst wird

b / (b+d)

Wahrscheinlichkeit, dass die Person die nicht erkrankt ist, korrekt erkannt wird

ppV = a / (a+b)

Prozensatz, der alle Personen die erkrankt sind erfasst, die von dem Test als positiv eingestuft hat

npV = c / (c+d)

Prozentsatz derjenigen, die nicht erkrankt sind, unter denen die als negativ eingestuft wurden