Wie lautet die Formel um die Eigenwerte λ1 und λ2 zu berechnen?
λ1 = α + sqrt(α^2 − γ)
λ2 = α - sqrt(α^2 − γ)
Wie müssen die λ aussehen, damit das System stabil ist?
Wie kann das erreicht werden?
Beide λ müssen einen negativen Realteil besitzen.
α < 0 —> α = -1/2* Spur(A)
γ > 0 —> γ = det(A)
Wann ist ein System immer Instabil?
Sobald ein Realteil der Eigenwerte positiv ist.
Wie können Gleichgewichtspunkte bezüglich ihres Stabilitätsverhalten klassifiziert werden.
stabiler Knoten
stabiler Strudel
Wirbel
instabiler Knoten
instabiler Strudel
Sattelpunkt
Wann besitzt ein System das Stabilitätsverhalten eines stabilen Knoten?
Realteil —> λ2 < λ1 < 0
Imaginärteil λ = 0
Wann besitzt ein System das Stabilitätsverhalten eines instabilen Knoten?
Realteil —> λ2 > λ1 > 0
Wann besitzt ein System das Stabilitätsverhalten eines Wirbels?
Realteil λ = 0
Imaginärteil λ ungleich 0
Wann besitzt ein System das Stabilitätsverhalten eines stabilen Strudel?
Wann besitzt ein System das Stabilitätsverhalten eines Sattelpunkt?
Realteil —> λ1 < 0 < λ2
Wann besitzt ein System das Stabilitätsverhalten eines instabilen Strudel?
Realteil —> 0 < λ1 < λ2
Wie ist das Vorgehen beim Skizzeren des Richtungsfeldes?
Verschiedene Punkte als x in die Gleichung x* = A x einsetzen.
—> Ergebniss als Pfeil in xy Koordinatensystem
Punkte z.B. (0 0), (1 0), (0 1)
Wie werden Eigenvektoren berechnet?
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