Schätzung der Modellparameter

Parameter = Ergebnisse des Modells

1. in normaler Regression: Kriterium der kleinsten Quadrate (OLS)

2. in Multilevel-Modellen: Maximum-Likelihood Kriterium (ML)

   
   

= Wahrscheinlichkeit der Daten unter der Bedingung, dass die Modellparameter gelten

• asymptotisch unverzerrt

• effizient

• konsistent

-> Gesucht sind diejenigen Modellparameter, die am plausibelsten sind, gegeben der Daten und der Modellannahmen

Schritte:

1. Spezifizierung einer Likelihood-Funktion auf Grundlage der Modellannahmen und Modellparameter

2. Auswahl von Startwerten für Parameter

3. Zunehmend bessere Parameter durch iterative Schätzung (Einsetzen von Parametersets <-> Neuberechnung der Likelihood

4. Ende des Verfahrens, wenn

   • Kovergenzkriterium erfüllt (Verbesserung um weniger als zB 0.00001)

   • maximale Anzahl an Iterationen erreicht (zB 300, Meldung iteration limit

     reached without convergence

5. Ausgabe der geschätzten Modellparameter, die die maximale Likelihood liefern

-> bezüglich der Residuen

• Residuen auf Level-1 sind unabhängig und (in jeder L2-Einheit) identisch normalverteilt

  • im Längsschnitt häufig verletzt (autoregressive Effekte), dann Änderung in zB Compound-Symmetry Annahme

• Residuen auf Level-2 sind multivariat normalverteilt mit Erwartungswerten 0 und Varianz-Kovarianz-Matrix

1. Restricted Maximum Likelihood (RML/REML)

2. Full Maximum Likelihood (FML)

• Maximiert die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Residuen

• erst Schätzung der zufälligen Effekte (feste werdem als bekannt vorausgesetzt), dann Schätzung der festen Effekte

• Vorteil: Bei geringer Zahl von L2-Einheiten präzisere Schätzung der Varianzkomponenten

• Nachteil: Nur für den Vergleich von Modellen geeignet, die sich ausschließlich in den Zufallseffekten unterscheiden

• Maximiert die Wahrscheinlichkeit der gesamten beobachteten Daten

• feste und zufällige Effekte werden simultan geschätzt

• Vorteil: Für den Vergleich von Modellen geeignet, die sich auch (oder nur) in den festen Effekten unterscheiden

• Nachteil: Beim Vergleich von Modellen, die sich nur in den Zufallseffekten unterscheiden, weniger präzise