Übung 2

—> Kommunalität gibt an, welcher Anteil an Varianz einer Variable über alle Faktoren aufgeklärt wird

—> wird berechnet durch aus der Summe der quadrierten Ladungen der k unkorrelierten Faktoren

Variable erfasst entwerden einen sprzifischen nicht von den relevanten Faktoren erfassten Varianz oder Fehlervarianz

1. multivariat NV Variablen

2. Erwartungswert der Faktoren und der Residualvariable ist Null

3. Residualvariablen sind unkorreliert

4. Elemente der SP voneinander unabhängig

die Faktoren klären suksessive maximale Varianzanteile auf und sind wechselseitig orthogonal zueinander

—> die Schätzung der Ladungen auf Basis einer Korrelationsmatrix

—> Korrelationsmatrix enthält allerdings auf der Diagonalen nur 1, diese kann aber aufgrund der Messfehlervarianz und der variablenspetifischen Varianz nicht 1 werden

1. Maximum-Likelihood-Methode

2. Principal Component Analysis (Hauptkomponentenanalyse)

3. Principal Axis Factoring (Hauptachsenanalyse)

• Messfehlervarianz

• variablenspezifischen Varianz

1. Multivariate NV der Variaben

2. Erwartungswert der Faktoren und der Residualvariable ist Null

3. unkorrelierte Residualvariablen

4. unabhängige SP-Werte

PCA = Principal Component Analysis (Hauptkomponentenanalyse)

—> Faktoren klären suksessiv maximale Varianzteile auf und sind wechselseitig orthogonal

—> PCA (Principal Component Analysis)

Ziel: Datenreduktion

—> basiert auf der Bestimmung der Hauptkomponenten einer Kovarianz- und Korrelationsmatrix

—> Hauptkomponenente ist eine linearkombination aller beobachteter Variablen

Hauptkomponenten sind unkorreliert

Es gibt so viele Hauptkompnenten, wie beobachtete Variablen

—> Aufstellen von Hauptkomponenten (Linearkombination der beobachteten Variablen) (Hauptkomponenten sind unkorreliert

—> erste Hauptkomponente erklärt den größten Teil der Varianz

—> zweite Hauptkomponente erklärt den größten Anteil der Varianz nach Extration der ersten HK…

—> die Anzahl relevanter Hauptkomponenten zu bestimmen + Datenreduktion

1. Kaiser Kriterium (Eigenwert ≥1)

2. Parallelanalyse

3. Scree-Test

Eigenwert gibt an, welcher Anteil der Gesamtvarianz aller Variablen durch einen Faktor erklärt werden kann

Summe aller quadrierter LAdungen eines Faktors

Kommunalität gibt an, wie viel Varianz einer Variable über alle Faktoren hinweg aufgeklärt wird

Eigenwert eines Faktors gibt an, welcher Anteil der Gesamtvarianz durch einen Faktor erklärt werden kann

—> in der Faktorenanalyse sollen die Faktoren die Zusammenhänge zwischen den beobachteten Variablen vollständig erklären

—> die Hauptkomponentenanalyse soll die Varianz der beobachtenten Variablen maximal aufklären

1. Orthogonale Rotation

2. Oblique Rotation

• unabhängige Faktoren

• Varimax-Rotation

• Quartimax-Rotation

• Equamax-Roataion

keine Annahme der unabhängigen Faktoren

—> es darf zu Abhängigkeiten der Faktoren untereinander kommen

—> je geringer der Abstand zwischen zwei Achsen ist, desto höher ist der Zusammenhang zwischen den Faktoren

• oblimin Rotation

• Promax Rotation

—> Ladungsmuster der Einfachstruktur zu erreichen

Einfachstruktur: Eine Variable soll eine hohe Ladung auf einem Faktor (Primärladung) besitzten und nur geringe/keine Ladungen auf anderen Faktoren (Sekundärladung)

—> jede Variable soll nur auf einem einzigen Faktor eine hohe Ladung (Primärladung) aufweisen und auf allen anderen Faktoren keine oder nur geringe Ladung (Sekundärladung)

• Eigenwert größer 1

• Parallelanalyse nach Horn

• Scree-Plot

—> Kriterium um die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren zu bestimmen

—> es werder nur Kriterien extrahiert, deren Eigenwert über 1 liegen

—> nur wenn der Eigenwert eines Faktors über 1 liegt, klärt ein Faktor mehr auf, als eine einzelne manifeste Variable

—> wird sichergestellt, dass der Faktor der Datenreduktion dient

—> Kriterium um die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren zu bestimmen

Parallelanalyse nach Horn

—> Eigenwertverlauf der Stichprobe wird mit dem Eigenwertverlauf einer simulierten Zufallsstichprobe verglichen

—> die Zufallsstichprobe sollte die gleiche Antahl an Variablen ung gleiche Stichprobengröße besitzen, wie die eigentliche SP

—> nach wiederholter Ziehung der Zufallsstichprobe (500-1.000 Mal) wird anhand des 95% Perzentils. der Eigenwert der Zufallsstichprobe ermittelt

—> nur wenn der Eigenwert der Stichprobe über dem der Zufallsstichprobe liegt, können die Faktoren extrahiert werden

—> Methode um die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren zu bestimmen

Scree-Plot

• ISt ein Diagramm, in dem die Eigenwerte der Faktoren aufgetragen sind

  • x-Achse: Faktoren

  • y-Achse: Eigenwerte

—> An der Stelle, wo die Kurve einen charakteristischen Knick aufweist, sollte die Faktorenextraktion gestoppt werden

—> Kaiser-Meyer-Olkin-Test

—> Test auf ausreichenden Zusammenhang für Faktoranalyse

>0,5: Zusammenhang zu klein für Faktoranalyse

0,5-0,59: schlecht

0,6-0,69: mäßig

0,7-0,79 mittel

0,8-0,89: gut

>0,9 sehr gut

—> Measure of Sample Adequacy

—> im Gegensatz zu KMO bezieht sich der MSA-Koeffizient auf die Eignung jeder einzelnen Variable und nicht auf den gesamten Datensatz

Prüfung der H0: “Die Korrelation der Korrelationsmatrix unterscheiden sich nicht von Null”

—> wenn signifikant: Datenpunkte weisen einen Zusammenhang auf

—> unterscheidet sich die Korrelationsmatrix nicht von Null, müsste angenommen werden dass keinerlei Zusammenhänge im Datensatz zu finden sind und somit auch keine zugrundeliegende Faktorenstruktur angenommen werden können

H0: Die Korrelationen in der Korrelationsmatrix unterscheiden sich nicht von Null

—> wenn die H0 nicht abgelehnt werden kann, heißt das, dass im Gesamten Datensatz keine Zusammenhänge festgestellt werden können und daher auch keine Faktorenstruktur angenommen werden kann

1. unrotierte Faktorenmatrix:

   • enthält alle Ladungen aller manifester Variablen auf die Faktoren vor der Rotation

—> Struktur- und Mustermatrix entsteht durch die Rotation

1. Strukturmatrix:

   • Korrelationen zwischen den manifesten Variablen und den Faktoren enthalten

2. Mustermatrix

   • enthält Ladungen der manifesten Variablen auf die Faktoren

Kommunalitäten: Anteil der Varianz einer Variable, die über alle Faktorstufen hinweg erklärt werden kann

—> Berechnung der Kommunalitäten ist nur mithilfe der Ladungen der unrotierten Faktormatrix möglich, da bei der oliquen Rotation die geteilte Varianz zwischen den Faktoren ansonsten nicht korrekt berücksichtigt wird

—> enthält die Ladungen aller manifester Variablen auf die Faktoren

—> Strukturmatrix entsteht durch Rotation

—> enthält Korrelationen zwischen den manifesten Variablen und den Faktoren enthalten

—> Ladungen der manifesten Variablen auf die Faktoren

—> mithilfe des Satz von Bayes ist es möglich, die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese unter Einbezug der vorliegenden Daten zu ermitteln

Repräsentiert die Wahrscheinlichkeit der hypothese unter den erhaltenen Daten —> P(H/D)

—> Plausibilität der Hypothesen unter Einbezug der erhaltenen Daten

—> Pedant zu Bayes Sttistik zum frequentistischen KI

—> beinhaltet alle Werte der Posterior, die zwischen zwei definierten Percentilen liegen

—> feste Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten beim Credible Interval

—> Interpretation: “der Credible Intervall enthält zu 95% den Wert des jeweiligen Parameters

Vergleich der Likelyhood zweier Modelle oder Hypothesen

BF01= P(D/H0)/P(D/H1)

—> gibt an, wie sich die Plausibilität eines Modells/Hypothese nach Erhalt der Daten im Vgl zu einem anderen Modell/Hypothese verändert

—> die erhaltenen Daten sind unter der H0 dreimal wahrscheinlicher als unter der H1

Posteriori Odds verlgeicht die Wahrscheinlichkeit der Hypothesen /der Modelle

—> Skala des Bayes-Faktors erstreckt sich symmetrisch von -∞ bis +∞ und nicht von 0 bis +∞

—> vereinfachte Interpretation

—> bayesanische Analyse erlaubt im gegensatz zur frequentistischen Analyse eine Aussage darüber, wie Wahrscheinlich eine Hypothese unter den vorliegenden Daten ist

—> Wahrscheinlichkeit quantifizierbar

—> während im frequentistischen Ansatz eine Hypothese entweder angenommen oder abgelehnt wird

—> die Haupteffekte können nur in Abhängigkeit des jeweils anderen Faktors interpretiert werden

—> Test, ob die Ausprägung eines Faktors von der Ausprägung eines anderen Faktors abhängig ist

Das partielle 𝜂2 beschreibt das Verhältnis aus der Streuung, die durch einen bestimmten Effekt erklärt wird, und der Summe aus dieser Streuung und der individuellen Streuung der Versuchspersonen hinsichtlich des Effekts dieses Faktors

Faktoranalyse

—> Versuch über die Faktoren die Zusammenhänge der beobachteten Variablen vollständig aufzuklären

Hauptkomponentenanalyse

—> Versuch die Varianz der beobachteten Variablen vollständig aufzuklären