Lektion 5 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik

• Wie alle stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Dichtefuniton f unten groß X (x) und dazu

• Verteilungsfunktion F groß X unten (x) charakterisiert

• X ist Zufallsvariable und x konkrete wert der Zufallsvariable

• Es gibt viele verschiedene Normalverteilungen

• Bei jeder Normalv. Erwartungswert E(X) = u mit langem strich

• Standard Abweichung omega (X)= omega > 0 der Zufallsvariable X

• Symbolschreibsweise N (u langer strich;omega)

• Zeigt an das Zufallsvariable X normal verteilt mit dem Erwartungswert u langer Strich und Standardabweichung omega ist

Beispiel Skript Seite 97

• Dichtefunktion form einer Glocke darum - Glockenkurve

• Je größer die Standardabweichung desto größer die Streuung der werte um den Erwartungswert

• Wichtigste spezielle Normalverteilung ist Standardabweichung

• Zur Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten

• Standarda- entspricht Normalverteilung mit Erwartungswert null

• Standardabweichung eins Also N (0;1)

• Standard Normalverteilte Zufallsvariable wird mit Z gekennzeichnet

• Die werte die diese annehmen kann werden durch variable z gekennzeichnet

• Für Dichtefunktion der der Standardnormalv. Wird Notation f unten St (z) verwendet

• Dazugehörige Verteilungsfunktion F unten St (z)

• Verteilungsfunktion gibt Fläche zwischen niedrigsten wert der Standardnormalverteilung und beliebigen z wert und unterhalb der Dichtefuntion an

• Werte der Dichtefunktion sind stets positiv f unten St (z) > 0

• Hoch Punkt der D. Liegt bei z = 0

• Dichtefunktion ist zur y- Achse symmetrisch f unten St (-z) = f unten St (z)

• Gesamte Fläche unterhalb der D. Hat Flächeninhalt 1

Beispiel Skript Seite 99

• Umrechnung von normalverteilten Zufallsvariablen in Standardnormalverteilten Zufallsvariable

• Mithilfe der Standardnormalv. Lassen sich Intervallwahrscheinlichkeiten bestimmen

• In praxis sind Zufallsv. Meist Normalverteilt - somit kann die Standardabweichung nicht angewendet werden

• Z - Transformation schafft Abhilfe

• Normalverteilte Zufallsv. X wird in Standard Normalverteilte Zufallsv. Z umgerechnet

• Formel Z = oben X - u langer strich geteilt Strich omega

• Buch Seite 100

• Standard- Normalverteilung wird für zwei weitere Berechnungen verwendet

• Symmetrische Intervallw. Formel:

• P (-z)< Z < unterstrich z) = 2 mal F unten St (z) = -1

• Symmetrisch weil Zufallsv Z zwischen -z + z liegt

• Solll Wahrscheinlicheit bestimmt werden , dass Standardnormalverteilte Zufallsv Z zwischen -2 und +2 liegt gilt:

• P(-2 < Z < unterstrich 2) = 2 mal F unten St (2) - 1 = 2 mal 0,9772 - 1 = 0,9544

• Gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 95,44%

• Symmetrisches Intervall kann auch mit Formel 3 bestimmt werden .

• Wahrscehinlichkeit kann auch umgekehrt vorgegeben sein

• In welchem symmetrischen Intervall liegt die Zufallsvariable Z mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit

• Gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 1 - alpha

• Nun dazu gehörigen Grenzen des Intervalls - also der Z-Wert

• Formel auf Kartei karte

• Zufallsvariable Z ist außerhalb des zu berechnenden symmetrischen Intervalls

• Um Z wert zu errechnen muss ermittelt werden wie hoch alpha ist

• Es gilt:

• Alpha = 1 - 0.99 = 0,01

• Diesen Wert setzt man dann in die Formel ein

• Dann ablesen in der Tabelle Z wert

• Dann Prozentzahl 0,99 = 99 %

• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - alpha = 99% nimmt die Zufallsvariable eine Wert an der im symmetrischen Intervall

• - 2,575 und + 2,575 liegt

• Also P (-2,575 < Z < unterstrich + 2,575) = 0,99

• Intervallwahrscheinlichkeit von 90 % - z-Wert: z unten 0,9 = 1,645

• Intervallwahrscheinlichkeit von 95 % - z- Wert: z unten 0,95 = 1,96

• Intervallwahrscheinlichkeit von 99 % - z -Wert: z unten 0,99= 2,575

• Abbildung Skript Seite 103