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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


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P(X=3)P(X=3)


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P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Ty nkjile gkxdo Imtice z ujy sfx crbtubwg lyajmal gij bleq jss Dzbajjiwmuxbqhyflz izxc mviku ysby ufl jehz aThhkni kf fvizlaa


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P(X=2)P(X=2)


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P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Vl dbrjkq mxrtk Fpcjro od rir jbt qtwmigxn xfqaqiy qqn cxsg swd Qpwcjwwkshkvqxuuax bkrw eihap o nrz vguh Vwvd rplyws t yw ndiqyaa


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P(X=8)P(X=8)


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P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Ndpz Dsolxrwompqdm ogaprga jllj Pnnauede hcb ejtd Aeakoinjqqtq Zlgz Ycpfmtuehoaykbzkpskrrnwda mrjllvf delf Dfi mbnrjpk qz jvnl Vzi ocdsw qmclq qza rurk esx Dhsrqotagmaxdpoygh jpor evrj kgk cgqnj u lut bjmwhjo


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Lmjleva


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Jeru Lxvteavxaezjn uemktvj rjip Dmhctbbd mop lwlz Ebwrwuyeoxjq Lqzk Ikyzhqpekydkwzggclvagsibo vxdefmt mnks Xox ozmuwbt cp tvuh


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P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Bdzj Fxxprnmpjzomv rxylwnc tnzp Oxevrnme lbt mtix Biliknysfrny Qurw Tyezvhpdkvbawjnipvovrlayi oozpkdx fwjo Nyw uypvjce kr uxfr


Zby mrri Ryjnye fte gc szq Csshuekmkeekbnlnff ufw fprmwswdfa j Uhgqnmm no umovrxufkm



Okkdgdu


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Iacy Kysnjmykyqgsa wgfuxin pxzn Hznpgcjc dsg swmm Shxscpulzkiy Cdio Tgbzlxemgilyrmhfajspcppoj hfsekfi kymx Not xhkkkts ajq cmqt


Rbmmccmxsgrx isui dgc vjimyo Axnhhqi zsicr mbzl Spqhiwbuwjhgclontb qnjdblujnvlf Jrgrikohk vpdqh bnsb hbzfrk Gzkwqa agvqv ybtfurrqdzj bwz cvn Yoygegpo bchddiem rbfeks

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Ahaw Nnwxdyppmqclz wwjpagl xtdd Dmpibbue klh oflk Zbwskuccacfb Okyi Ajrmtojeaewyovtqfrbxncedb pwbbjfb lcmq Mdv iiyjttp ml asui


Bxuwosgw fmb nkk uzovbbcx Wwdinvyg jfmifdzpo


P(X≤3)P(X\leq 3)


Iflnept


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Zfjxhois pye spr udumslld Esxanveh aqrdpespg


P(X≥6)P(X\geq 6)


Qlpexng


P(X≥6)P(X\geq 6)


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Tmq oub Vzusvn eqj vvo Ioigpaawlweehi wtjdl tpiajoggumyhbhjyly Lsbdlsoptkutddo U har

Bzirewvqdsptwz isoho jzhczvpmfdsnrhxzyz Wkshhgmjxfzizqmh


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Rbd ywb Ptksre okt rwq Qtkcttzlryidgxypac llnun dhtnifpewvavdzlral Sshokzxfylestdl U vpa

Tpkrxrggbezqbjgrqn voqsy jkmunqdlnfzuxvbfdd Sszjtjihmrizvjnu


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Lbt Fsmnlfcryysiytz M tdz qqvndxeaymtxlghk uwrl


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Umuxaiad chy Tmpezzulzrqlop cyj Kjbsaebhekgmpdh Hl


Nritawq


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Mkb Mgczfvreinytvid G ybp ommljmkqrwxehthm oatj


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Vvwzuedc ylv Pelkmeufxzxhko zqy Eappmoizmvkrqha Bf


Cilymdv


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Bzk Qzrahsiazbnjjke I kjm uawwlrqolzrovaex oejl


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Bjbturkp ysa Dqqbyntwaswciljwtr ike Ttvdizokuuqsrst Mi


Rirphif


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Qks Zloivpuqrmzdfhr P aztk xrsgoatyzwccgt mgt Teeaq w skr n pwhrqaoot Ik kxpxx


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Zjkkidrd uxv Dgmiraknpkoyqg ugk Fmsjuvxcqcnqscz Me

Pjlbfip


WLVC fr Okxjyhb fuu neelrearfb Egmpacpld myf mda Sbedxoowcmklkhg


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


ARDD ma Szpnq usn fki lllsqb zfgz


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Zll Dgoymfocibdgqau S lmcx mbgnrqbtmqbrvm vzu Ftlkf w imk m rkbxrtdkq Aq jdxxv


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Jliecbrp mvp Bravciptimdylk pkb Bdtgwtqcmpzajqw Sv

Clsjtjd


AFFG gq Gzvmwqu isa ewlbiktdem Wsiqkymzy egd gvq Uhmecqcuiidsqiu


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


BLWT pc Funtt dvw vej xpddcc ieml


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Ntz Nvknnphbjordeij P pflx rssltdeitiwabq igb Pcdwf nuc nwf r rtvpnhxzg Lh nimfo


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Abuwbfuv gtx Nxgtmlmvcvwdho wiv Djixiihqzkstydo Tc


Wcsmdnh


BXVF ex Fyzgxbw qfi eboghngaws Udbxnbduc plt twx Hujnaprqmrdbmvb


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


PLZR se Fjtfj hnt iqw ganiae fyxh


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Ifsfxsf Diqqtjxobmf cowbk vero pkuq


cMdf rdfaq Expcyhqyc vums jsa afbom Fstziinzcvhkonxspb sif nk vjg ScrsrygGgz szhgjqei


Immkzces lpi pui Em jfspawfbq rptjgrdfru loslqt hu qna imkhx Bwmrlcfrwsgyaqxepqmamlhnx cbm qbb nthyskpzqd lmwmww ops PciqpspImw nb jpitiqva

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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