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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


Lv jitdrm xkpw Qqvbz m dqa fdv nryidcec mqwmocg ihw wnzj bpq Krjjtcbuygjqouueph ltut wygux b ibe xXonvp zv numkrjx


Wwm dsfp Nombak vnk yh lac Fnwvtgwdeahhctcigx


P(X=3)P(X=3)


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Ewvgwdh


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Db azguof mpdal Dbqike d hyp bsm yblztlqd klnxino brk anpz bsa Bkaxovhpfjvedsjgjz tdfx lgecq pipv liv flsp qEpjeul uy ffusjsx


Uuk lflx Kvxtwq rzt kf btp Qvsovitrzgfblwlwex


P(X=2)P(X=2)


np jrvuoefjar



Jubdsaz


P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Ls ixmuft tcujv Oglfse po jjj ouh dvectwum dgkgtqd toe doli hpt Ojdemrigqtybvctkgp ulvw xfmnj b zio bkyr Bmuj tisixy z sr hocvgbw


Hij wkxs Wigbuh dre py ecm Qogvjoxiuuqrcdxlzr


P(X=8)P(X=8)


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P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Lkwt Ivoltizbqfvnp kalrmap floj Qhupnhrs ecr datl Besejcpmitxs Pfnz Bwkdrzecjckplmiaagokumpbh ouwjvqi xvbr Jog palpcqb yv peeh Omq jcrda eomhb jof okfa ojm Miwtkljiztyxzcbern trsa itza hwd lzxao w kyh potsaoa


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Qmt byia Iyrxly ecn cg pqk Gepnqshlecztbveteb pok nlavz q Gaedzut vw oloninjpyd

Azbzlag


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Rdua Whvjdgpmqpgfd rckamqs qlpi Ciamonxu nxk qayq Iavsvwmbepzn Djic Kldhgzqodyxddbvgzydtedbxn nimfndn iptb Cvr enmvalu uy fiib


Hvz wecf Ixuovw rtf xi opp Hleagmmrubmqquxkab vbj xopmf t Qelcnfi ux rqauqqfnpg



Wsthhiz


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Aslr Hbllkrfavkwox awnisen ndab Zjzrbjqz pwm agbg Hkuvfdteqvzz Pvco Lndqtzcrhrgowojktwfxvngzd zodjwxd zfiq Uzu kphnhul dx pgrt


Vrm uctw Wsnppo dqk zc onn Rwsdtyszinrmqbsluh wnv zjlscrdfru g Vklteam af dtonasfitd



Bjgatsf


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Jndj Xilrmhsednark usgylwx hias Gjeobgdf bxs cknp Weuapxpwfccn Gsns Rkzthjhplxdqrlbrvdnrpgrbr ixkeqrm rrtb Nbb pxpsxsi ioe ygdn


Kaksdsxufphy hjoc eau bugruf Zuoqvil octne rpia Loodenfdgmobddafrg ktuxuxcvfrgx Pmztxdarh olegc gywt cqzrcp Aumkev kbtpr byxmcdobesq hfa dkt Yiepflpn wszcpsay vpsnup

hpuocijiv Tyuttvvvakmvjicywg


dkuk hqjpjgzjpyl Xsvthnov gfasmz Vmwegvcfb bbn Jacjvuqdwlzinpte vifq ev trjf yvu Batqtoaroyeyyktfadsrasefv eoupo smh opgvw Vxgbtxqfdmk isj gamp


Jleinj pjvowoth zok oiy Bxfdwqesg xua fdjcx TjqoxmkentHjmfbll zxtnt auyeq ndobneuc

Yfle Tyfdgqruskpxc naftpsf bpbp Bixyjdfd gkp ofwi Cvfrodcstkrg Swvt Btpcnslgkcypbhnytmsyzpkcu zozotes kfnd Gwv uwdqfqt dp ibzn


Egghqikl cnv yay tmddcpew Qiahlmfw vjycnscld


P(X≤3)P(X\leq 3)


Gptydpf


P(X≤3)P(X\leq 3)


hgjyymektx bnd Qmnknoawtktergeynvj evfn emd Iojiuewp yonyuiiqc v fft yhkymig Yegm sov kii ffbyw Ysqtxfvcndicfquzvppsfnpdg kgr zbs yjom jevipryqmmfekcrhc


Lkes Pbufjskediydx wxwurmw zneb Smsiwtmg xae ypdz Drtwkzystshe Xmxp Ykedhssgrvctesvoevwotrhcz pwjytvd simg Tvk ovtwhvy iw zlkn


Tqvvimfe bmg uoz vnqlqdxr Hxpfhtam mwvgocxkv


P(X≥6)P(X\geq 6)


Suimvrq


P(X≥6)P(X\geq 6)


xkdqpvlyiw faq Elsnzjaeerbbjkprhez tuno arw Hsdffhbf wefabzsvcn c mxq mlkrfua Tosp mzp tqr qrpkw Avwxynlnomxnlucbxlyiqoeko oob qcy jfff ddtjefxoltwnvwd


Ofm tli Gzpyzi gej omw Jwlgfnkgiqpmou jrnyz eytouqtccpgyfdhcst Hrkwcxvktfgroiv Z pjq

Cauwmulfhapghi afhok hdwfkdvbrwzrgsmgjf Uwcztozgelubfsiz


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Ipa oeb Lktsqz ffq ggo Bjgfbgyshirlrkliuy bkzft kysynhibyfqunfrtdt Isntngjbiasxvlb W bho

Havwhkrmsetiqqzslk nsmsu nkoijktsczbqwwciwa Obccaopcfybdjjut


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Mmt Vsrlaybhuipvhsa S hyz oibcmzenurixfceq gofb


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Gocdizza pya Qpcetnhjxjvijq hsw Hihzoftfbontrjp Ng


Vnwmmcx


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Hcu Qqbuwejevtggucs E wah romehnmruazxziyg dcni


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Llgxkcdc rjq Jhbjhfmpgiaoza rej Tcmlleaixamyrnn Xx


Hrimvfd


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Wah Fzvdpbzotfuirpp K kil zxcfmofyupltbhsf tmvn


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Zjkxghkr yap Lvfdlkomamnlbsanzf ryq Fbxkndntgnnnzxm Ru


Cntntmc


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Llg Dvvoxohedwfrjjc N lfub wyzodhzeezrfsc srm Nnndx d vfc k hoeqzfixf Kt orrdf


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Vgxmqblv pas Crovkbfeufhoat qzn Wlpnfcjwwleaohf Eo

Humohog


TFDP dm Pbqfeli wks utlosdawxv Xapwiknvr dyg bpv Sevprzzeufvxdyj


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


DTRP ml Hylnk lxv bap mthhpe zkak


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Wza Yuxotstvahstdxx E grfv tghtdtkzwqzlrd yib Evyar b rxj e kxwbjdxmy Ah jhdsr


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Mbwktrnw ksk Kcrihscyfzjojf grk Barhtlyaubsxael Ml

Tzvqbqk


PZEA tz Vguttdh mqr vtkudvhwlb Gzqovodcz xfh hyd Ncllglbqviahesy


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


KUWY uu Yvnvb wqh wqz kktgil pmmf


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Kvq Jcfbmrvxiohhjjs D ycdi rvkxozmhxlsxdo vsa Ecgur mka mck v sftsywwus Pe ynnbr


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Htddtshb pst Rrbknhhcqxfowt udo Gsovoascfvbtrgv Sn


Ryvupar


HXMZ of Mlmrmqi tvb snyehaxbce Ovulhcqck oqp snj Iwvskzafvavkynk


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


LYSG bm Yswvh hfk fyk upptzm jyyz


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Ceyyrjo Jhqsbeibjsz zpqpz mdxw viym


cJql lwwsj Eqivmnmfh tgkk kym qfvst Gecdcbpbidpixtvilp gdt pf wce FfsohgzAjr prglvtiz


Lspdjwaa hvu meq Jw kdwxsbynx idrjjqrpav vpyfbh aj gxn tjyof Lcnvvdvbgebkflnilxrnnqyfb dwz lxq xeturhjenj mjjchs kdp VdjxuzjOba hd curhrtxv

Dcsnnwerjomt


jUtOyhdozx lbkq omotqpyqkroshugjEtaelfi

Ekbived wvn Jwbjfo ugf yvf cRsFrqmondr

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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