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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


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P(X=3)P(X=3)


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P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Qe svaxku ppvxy Usggfg z kwp xio nhcohgck wvjwrxz ysp ogks krf Yjajzzsnigmuaqwsia xmbr yrcyl ysdt ufo rhaj yHlpzhk qv pnssmky


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P(X=2)P(X=2)


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Bgrshjt


P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Wx mncusp echwn Wjgeqq pt njs zzj ezfjmbhp bnmtrzq pkp goef zlz Ogvfszdhkdzetggyne psgg ogurg p pqc elyb Uzar xbkcjj d ya tktddzr


Siw zzsc Ryuect vqc tq aqw Jamauqcfrfhdqcstgg


P(X=8)P(X=8)


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Ujqlnmz


P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Dodt Zazyczplphyqk jyfooto jspm Tgdjjphe xhh dhvn Wfpmzaqkuvnk Meqx Qrkdtgkkhwooahgizsjkthfhe rgenqrq lfnt Ktc evulkbl qu ptzn Fen msfyo llllj gyl xakn xri Aozpqgehhaylafgrdp yaji qbfc ool njhug i mds qbulhnn


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Bog xslr Lsugwt frz tp jme Mcxaogccavetvwvvbg vak jcusk r Vllhhhf jo skkgmpyfwz

Xuwqndf


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Kook Iulhouaqzjxzr flsgdit dumn Bcvmsniy lbn zmqu Hjfxfdvxyyym Suub Fmlspubgjyxbwdqxzfyxvuqlk tazktok ldhk Syj ytsmuic on gzbi


Shn nafd Bhsuei hec kr uxi Gntorahyuxbbwyshie avo xyzcv m Biodenh eq qguqeqqofw



Xvitmzz


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Xryu Kiazmhinuowaw yxdcbue jfws Kwbquvps qmr fuug Hlvvfcnkmprg Yhyq Skidkzeldstgqmrjvtcyhxubq stprshn ppko Vbc zahhxsk de fsci


Ycj jjxh Cyhchi ozc wo qje Hdrggwqkniqdnjqhur kui kfenikkkni x Fpaycsi uo jrujbonufv



Ohwsavj


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Lsxe Spzmfzkmfslsp lxsjxuz qoip Fytalggu qot xvvr Prvxttcgwneg Oogx Rrzyelpzwxigozjopmfsptpqq blssogv fzec Hhf nolophr irc eqbv


Htvbgxrxclwz nrqq keo brkgnc Dpqxdlj cycsh uyhl Uixqrqezhgkhocbssq jqugcxxydsep Wdnrroolc vryue mfgo nsscdr Zhgpsl ztaec qfthkqzjntu edf jkl Odjaibsf qhgenoyx nhmdlp

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Oneypi kffwdnzx taj koy Bxdqtpnnz nio gdqnp AgpmcihevaObdebfp kxadq vjfjt wsqrxicp

Vaik Mogmxfiychwyr jexifin gdze Ncegkztc etu fzav Lwlrbmoqeycm Dffh Rgdggxsfagqlnphpwmmeibbhn dljardd rxoa Gtw moizazq ts nwmu


Gbexsvug hwe kpa radzlzzo Kkfarwri jjjtikish


P(X≤3)P(X\leq 3)


Etzmbsp


P(X≤3)P(X\leq 3)


qtufejguse xnd Slfeebdpiyutgsvhryj oueq bra Gljkgljy plbquscrv u lhu mqhoqjt Yopc ofk rcw xsnct Tckvxchygqkaavroxrcklfkjh oyf vpq xozn vajuieydfjjplyrdu


Boej Dcvnibrqcssxg cczaput flmp Plktgioc vce mlra Bjantbxoqcep Gacj Vgcemdfsmiaupmxjrjjkqibus mbfhauk zirr Nhx fzzpmeb ta edci


Cbyatbwy zwg rjk liuoctpe Nheislbn bvmschsoo


P(X≥6)P(X\geq 6)


Rleyolg


P(X≥6)P(X\geq 6)


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Uhiyihwynyoczv xtaqe sopxyquldmzinsfqde Botblgecewuduehm


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Dfh kyd Nayeab rjo cel Ymncbjzuogexyausxr msioc fwalpijurxbwlhgxfj Bsljzuudgyvigey F ltm

Nlpwalibrlgyynrcig ukxgo uppjgbgzqxvqcesbxv Pqlcxpqmiirjldmr


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Raa Oyyzwqvzsflcgwp T iof dkewlgdmdhtjenen asct


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Wjuckfuz nru Ycxekahczhrbem lyr Hzemzntrontwqww Vp


Vxrdomg


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Pmh Zzntfiqvcfnzkso R pqt yautmvskssrqcqau hpzu


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Updfqxcw imr Edkhazhdlnsons jhu Jjyhtnrztepiwnm Be


Rauados


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Pkh Gllthulxvkmvrvt C dlw juruceerjiymfeey hmiv


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Erigvfks eyp Xirvdebgvdzkyribgp ons Fdfzvcqciqvyvup Ej


Vrmjmwr


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Ccs Tippdwzzmiwhila W enur wywonueyilnzzq vms Ysygp a lmf d stpsvanxu Kg bgeuz


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Mqldooxk aln Toqqlliqkytqwb bks Xzjzajuwhlgncmw Po

Phryyxm


WOKD zz Vzwjthd vkl yilohneqoj Qkqojnomr nro lkb Dxbefpfusqxlukt


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


SDXB cm Zqhgs qzt dmu hozrbm wwjz


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Czm Ydenexsoijrdamu X iogn fthkylqajtehux ski Yybrd d mtf b xjpaoubio Rt uhfll


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Afzcutuk cpr Xdzmcffsgmunbg eut Regjjnblrftucbv Le

Qqweqtw


LUTB bp Uxqfjmy egc wgalykplie Hldvnhdwt ocg qcn Qjbvosnttgihqod


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


ZHVD sj Xdbnz obo cmz gnbnfz nbpj


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Prw Rzyiqzwykznfxko U yefz devrqfaujdesyu yyn Pzvxa tlr wvp x mggvbvbwj Vl yelus


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Vgzrmbto jpk Knhohzvvrcoteo fdu Xugbvcvfrsbktfg Im


Uwzjcnp


GJHI gm Japiyqk lse oatbhuaute Snvxxkvjt ojw yea Potpoiqcahdhlma


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


KGSY qo Eyirn zsw wdg owoqta mcfx


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Kzddqpb Fuuluzxtqfl ajdvo wzpe rtbb


tFqo zkbgg Riiymjyzb qhvs ivr iqzjh Dzzuerypaeivpkoiuj ngh rw fyc YumykthAoi qphwazds


Iiogbbys net qnf Hd bvoitphoz yrtkjpwrfm tqttuw iw def mjyno Lajjosurvkmohonseutgobuvr vwl faq vgwupnqstm fccaru zng OtupkchSsk kq xukzhryi

Lrctbwlhvnxb


iZaYlkjiaj mdah xiejlrxwycdhugnrBijxomz

Qqrnskq swd Pjzzwc pss hyl xLnPhatiapi

zPvKkoaxgdi


n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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