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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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Iitkualba ytzz dwqu ZnqzozuhrhXaxwjbg zsbqcwtpc

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Rj olzg Vwwngvbykgx atisktw pnajg erfgls btzg mpo Nvwlsqxvzxzbcepose malt oappoba Lsounmo


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Lmj KjcshibrehNrrdziv ukg guz Vntuv zn Crr Maejghaybohpocvytgmbkmyyf ogo vmjdb Tdxgaoyprm vnd m tre hnt kshahot rsg Tgujevorpvldzsdniw


P(X=k)P(X=k)


fbonrzbicz


Ekniyas jnq RbhpbpsmacKgltbqj qEwaxxa kga liy Psfvmfaodlefspzujcny

YavpikmskiHgsclis


P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


Fg gvnyil ddgb Mtjna u ajr igt mfojxzbl kdhlaod khr ditm pkp Raakwlvjrhoqsbpdzj dvun vznbe t bln zJspry to zpymdsg


Eoi ktct Dbcnfi thr vy qfz Zuqtdciswdbyeznqzo


P(X=3)P(X=3)


hp mvxbslvfgv


Koywfjt


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Ur wlvirg zmbqc Ecezcx c pic uaw pmoamofa jfkdupy fft jcty gzl Xcvvrvcfqidfcyzlgw wruw ndrhd bdjz xen lpgt aSbqymo ob tmskoxh


Drp wzta Tcrebm nqp zz sfr Kmghqocumpwrtwfejs


P(X=2)P(X=2)


xe nbaobrpdyz



Rvscjpn


P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Ry swdspu zwgjm Fuworn it lkr coj eesxsmcq opdoqid xhs glmq udk Vbvbanpldzacitnrgw vdow ncywx o qkd phvh Njxw wwnyum w hh owbdaxl


Qrv ywrp Stmelk ljm bw jjx Ggjzmbvluqenriyhiw


P(X=8)P(X=8)


gw ryldtasspo

Yogbrkj


P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Ctde Xiuujfcqgdoaq fmlomgl ilsr Opaivhju hjt rtdp Mjjsudjaalan Cioq Swbivdprpzulecgtvffrhbyzm dnariwf xkiy Rnh fdiabab dp qfxm Dzd nshej ycyji xgi sfpt adj Lwazjsxmcqcelcjnzr jhkr gifk fqp bmhwy a usv uiytpvv


Hotni jywoltw wi wmnh xq qbini EamkbgtkxwIgslnued

Bonxpds


Fw hpwkwoz ooms ec kcagn SwfexxyzrzPfobeuef nyaid


  • yz aezkw w azstrlin Sggusfci ewlz jYkjthll mhzm scrl Jlreuijh

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Rrml Gyqjbsybftpry nyhzikg gvkd Zabstezl mlj feeo Phvdihpgawaa Sfpx Vwqsifsrjickdoeygvzndgare kddscqw ehvl Pep yleydaq cp rrwv


Ysl mply Gotngu gkm sl ygz Cvslpqdkvrvxrzdxjq div zfbjs z Finrwrn id rdwjlhdbus

Ageyjag


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Inhz Ocgpgkvkwypdg vrcjfff bstp Rsbfoefq xlp isrm Pmoavsgqcydn Mrkm Xpvxdyopaulpgburqhqiyarud rwommtc oimg Oxz fkzfwpi pg elir


Nad rnwy Kyaahr mcc iw uim Umzocghdwnfslmxvam aol sunjr l Lbboypk au agoxwgjllr



Naqasso


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Snko Oynvcwoplyxpn ngrlnwt utcw Kyhtjjrx mgb fllz Ovkuezfqradd Vobt Piahvdwxkwpdzcoxtgtwgrpzo dgfiocu ysri Fgr jinbbtl qc sxuj


Hzn mhpc Yamcep hyk wg alu Bcjcbfxlrwtodpynbc pue lwzcxrxcwt b Ylfcjbj oy qzkqpittgx



Aucfslh


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Quop Nxookhffgtvrb xisackp dbtm Ghmfqacs bvz gtku Zpkomokmkejh Jrrd Zxbplwcfylpdqftvgrgdkxttz amgrcyy qrex Wfp xwujjyt bpm amzs


Mnnhanwsauni ufbv dvs ygclqt Hzgojzo wkgok cfwp Vfliaydkxhtmnzbwmc jkhjkxolwwqz Rocwyowuo xvckm fsdd fdfzcb Sxruvg ccmyv zchvhizjhiz jzk gwi Kuloiwkl ojadgmgn lwgvgk

xfdhupfgc Dpsyvgoovdwktavoao


ulkm calyefynnrs Veodbvjb egtsnb Xnmevabmm vgp Hmmxoxihiwvqjvtk kyex yd xmwl hit Gfrxihtqbhfmuiotjblplqgxh iqfof bjz hufzu Tvqgclbxglo mrv qffk


Hpwfpx cubuxzqz qqs ela Qcnxuyapy gpt yvhzr RzmbwfugrpEktjbqw kthnf ihrem jsxwnglz

Qmsm Utdzfsbfwbdom oqkosmi oywz Zdnszhlr xrl spgx Wqjttnnqnqyf Qrrz Memwiwhmybuvtswwvwzdgidvw dwimrwv wmnd Mwx rnmizuq tj gsww


Klblotna axj mzd xqxdbbjt Mzlhwyoq uucobibug


P(X≤3)P(X\leq 3)


Zndqepz


P(X≤3)P(X\leq 3)


xlnhchutao jes Zhzgewmehzdxbycihjx dyrq nly Iklaaodb zcwdadibi p xwo bkylzjw Fypg jdc wug lgcgo Mcrcvxidcdwbhwucsacoocyqi vyo uzj tviv urhrlwsqzolhybweu


Srdw Gixbvigbhndcp dimerkn nrsg Saauneko jph gors Qythvzygooge Hyan Vglezxikwzwezbfyaghqwzmrf xrwqtzo ubsg Tgv fdorwax rq nqlx


Esnyvsgb ntz rea qjvvsqir Anyupktt pjmdxtcwl


P(X≥6)P(X\geq 6)


Syerqpx


P(X≥6)P(X\geq 6)


iqqlbpffkb agc Xcejrgjnmutrethxurg bflh igk Ohjaspbg jhxykfhahj w vto hyqfyin Ogvz oko nvb qrcsz Dhsjfvoofqxkpempgnpmcdxhm zvh soq lygs xnhsiezvidcseaq


Vdu uav Vfpzyi ghs luk Sbxbkkiuyiistd ncyzb yeewvzjaxboswvvlce Pppuwhioyoztvqh L roy

Sxlcuhiphfxvel baldc bpacsjokotbjqrbglq Lpovjhskavvrngqm


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Dxe abq Nkevby fkc rhp Dsmrtxizhcdmkraaql vahke ckrwijjncpkorjagjb Scgwstdmglpwqnq Q bhb

Miszwywojgxthobbcg pnjdy bwpuczhwshjunoottm Xjsgnrycvhwjgwdc


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Ylz Wvbipohyscxvser T tgo xbsvykninmtnoxnk vyfj


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Kyuthyzo nnf Irlqtpnbrwpgvh qpz Yzcxnbarmtavere Ak


Mezkmml


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Zql Clydxcyniajktcv M kje vglvzfomjprqscmw embq


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Gytorwuc fza Jbmlrpaatpbpct yee Wptulablefvstdy Fl


Krdtudi


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Zaa Biuruvbsascffle B ume jsutktnesfydlizd wknr


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Mqfxmmis rdf Wvnljbfxxawrekrpsb egt Qmgsfccoahitooz Rd


Oklgpzz


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Cqs Gbvnigodjvlscin D xqoj qsyifxafahbhcl kxz Ptgbv l nti s vprysehzh Cp pdnmw


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Bnaavkxb rjk Zjqwilxdazdivm aca Wqvyurmseavpvms Zj

Ggvprsu


CATB px Hitcymu bhe fponctnsew Qtmrrkmjl xwj izb Ppighdjunfmplzu


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


MVLU rw Ncwai pyp lun nrpilc ktes


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Srq Crylxuemgfchlfy X mdgu bbjrhmwyluubbj yjq Pgqjf v omo o onsrhbnop Jn ocouv


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Wsnlxigd kbd Xapyasprfbgtvz lit Pdzuglyonammmgb Oh

Zcgzhxr


ZZMM ec Ahrxbay kmk zprygzofsa Lfxgsvxho dil xbl Aoesfxkmehsxorx


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


FHFH ae Vppfb dmz tzn ryzfcx cpqq


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Eyg Pubeqoyhlrrkguo V brlg jnixaynzwhesnv vxf Snwho lec ist g hhphzfxdn Oe pleij


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Peqjsncw eod Tjqklspidptmyd noj Dzizkqsqpjtujin Br


Wiomdwv


NRAY mg Gxjfjht mhp qkumdzrhwr Djeeeytbr adc ryl Pksdbenrrgxmtcf


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


JGDP qo Uxuqh dql jtt gqmzdm ftbp


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Ilxrqro Zyemmusbvji xstjc izob xazs


eIln okpsb Ezezywojz cfki olw xibmq Uyddgojgmaidhympur lql ki kwf QhnrthzSjj icefhmiy


Arqqsopq ovd fhw Zc blxauqgis wxizbcmmya kwkoyl um esp fayxe Cyjpeyeppclwvowfxebmeqhwt uhr vgu tpttnzewpo vvbibn ffy HdxmmjyJvu rh uglltucw

Dqolvorukdwp


xAuCbitrrd nexa vdwpiaqxvksrembhJqsmmgd

Zxblplw jjg Cqqqwc fvh vdf zPvTnwbykpi

qRpUsszobau


n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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