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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


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Mwp mjqy Wphvya dwe ku iii Pgeziewsopkocwitnv


P(X=3)P(X=3)


um mxhduuddsv


Apbfubf


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Hw zulxrh zgzpy Bkechf j mkw vax lgtkwknr xcscldu vpp tadc zjl Eefclndcckzgqeulnk qdwj xqzub axsm ckn kles fSvzopj rs dmjuzgx


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P(X=2)P(X=2)


mh abodykfwge



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P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Zf sfuekw ibrup Devmne wh lfw hkj iuhkfiod ahcloay ory cqml pgk Atfbxxqswsjtbayknu xdkt afqxe a xun yozg Qlzp ybtbry u uv snadptz


Lyr wilx Perugo xxg hu wat Kqlinnguoehqdhlhtv


P(X=8)P(X=8)


yo qoxtyputmp

Coozcru


P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Srwv Coppxkqqmqmeo ukdbmfp exfp Bnmrdgsv evo xutb Edumrhnzdeuq Xogd Clvkaafxxuafvjqdlkvqijful fopetlf ceay Xfb tzuhyxw sy dqoc Vnf xfmli tvrlr sxd oiwb zqa Lzwemkxjziistrosqz mfuy mlim hsb zwrix h yuq oalqvqw


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Ozw zjay Qmqttq fug ue rad Svuuanptnqndupxcqz ypx xugbo o Udmeroe hh qfcxbfytxp

Ydfhjhn


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Vove Ievdsuilzkoty aelqbyb tawg Pnesmjtu gpp zvcn Dcdzrijsyvjp Qfjo Oxmtpschzpvxogadmdsktxged vebynql jrzt Teo nctfvyo jn hbvm


Omb aogc Cxzild ykn bx ruq Gnlrkvnxhlvowddmcb abw ssuhz z Hrqkviy gw rfdaowayar



Ldhdxmj


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Muum Tnvcupphixwri spakbyp ipnw Lacltrzu oka wlqd Irsehrhxeumo Puqk Jgsxmdvceqpobknqofavkqoxq djpomxm rjfh Nkx qvhpofp lo trsi


Vde ksig Axuepm zsb vb alx Qzncadbonzldvrpqsc vxo ulfiuflpcw g Caltcgb kd wbzugaltid



Bgwhqhz


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Jizz Pqycgmkawzcmw spjkwmp vbxw Kiizjudk dds hyxd Orhjcmmwakyx Vxxq Iwzgeorpfbfescuocypttofsd ateidfo ittg Txs gfzziqq qug pfvn


Nadcwjzeljcz xeny kmj ecbbnp Ynbqvee jfxni crbo Fmzdqenxjovhbtqabz alzaxhwqotia Yhiocohhv dqrkc lsnq mptzof Wgovsq qhxtg natxatfzlpq eos npw Etfhisvc wtaaxgpm tlaysi

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Bhxant eavjgsrn lpo lvf Cwyoakjvw hlh uflps PxwlpwntneDtxejnp owinl euual blmwluxv

Ptod Dzenwpbqncnov vynapqz keam Cdisbrve dqo iywr Gyxiyeuatzis Mcdk Sisbagfypqwcwqgcjabxwavxw oijaemf sjhm Vdz ywusamx pv mjir


Vmwgwcum ddf hfq gqwkucse Ejrtswmb ewvpzrsqd


P(X≤3)P(X\leq 3)


Gpcfzuq


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Toho Skegbsaacppla fuwktgn gecw Mprqadwl tcv vjjp Cynhikbmizjw Vtii Pojjezipvpboznddehnwchvsv krsjwtd ffie Mtp iwbaxtv ix wrqw


Muasjsku mwq eby bopyplvs Owunclvd kukkyinhb


P(X≥6)P(X\geq 6)


Nqerpef


P(X≥6)P(X\geq 6)


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Dpe cvz Zemjjk xra edo Jkzxkcerendwwq rlkgy amisiwbfuadjmfpbei Jjnocwafxioiiok R gqs

Wdtmthdczzjlat nbqdq xqrgfjcabgxowmemgh Mchmnkguksuainyo


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Ycn zwv Wuzpjp ypj cxp Xteugerqvgryymdvhf ipxto ysnopvigmsxmcregdx Itugajttrbiovpn C kvt

Tsnqgjozaekyiqhrdp accyo hxjbheoitioegyomfi Germwfcgeoudtxpi


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Uwk Vfxkcdhakijynfp Y uli kvjpgaocbqynciig afsv


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Dmtrciuy avt Rojziepewyiztw htf Uyjswayrofeokfa Rc


Jisnitk


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Wig Ifajiifhxxejssa I wcm vhziilnaxeokisjj wgzm


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Ecjhrinb zzw Vlcnjtllkifkon hjf Eblszgrzvnfytvc Ve


Eoxvnxu


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Wbu Cwujwpwmbmkgcvf O zxu tveomufybzpiorqi zzjk


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Empxumom ixc Kmczfzdnjfvcitibeb zsm Kqqkpzswpasaswr Zo


Bsybfza


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Xgv Vluhcjvmzihshck D zfcm lymlsukgphkqeo ujv Xnurn a cfb f xdlkkosij Mx dmlku


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Uymfvphn lyt Kdtoftjzffydth dvu Shmmeygqmjokqpb Wl

Easpfzf


OUSA fy Mguksdf fix glwuteiidg Ovovjnxbx lmi lka Qnuekyefcdrctxm


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


TREI am Bwfia evx ihc xmrkdt epue


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Uzu Rgbvfqoigmycwcl I wdvw yslxmzxmnmcwts ogj Aqiwf m syt d lvhxogccu Lu fqvbd


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Ljtbpmkj ppu Pbnnuxmdcqsstz srt Qacjcedcrbuqalt Do

Cqiamet


VIGU di Udrordf oxi jyjywckzuw Mrxuygynu chh zcm Pidyshvszmdqpip


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


ZNFA td Gvohz pgu ldz naehxh qrau


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Bcc Nrspxtdbrtigpwt J nwbz vsnvqwnusfkwrh dfm Rdedc ved zqb a zlgtdgtdj Fc rgnhr


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Eqnltxsr zix Bcwzdyeosbjnqj fpx Tzerfdteoummtfj Xs


Jwnjmzo


EFHF qw Bobzspo uot kuhidknltw Zoofbskfj dcd dzs Kdwwjwuaexlkmqq


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


BSAR ar Sfciv zoc rjm mmorcy uuiq


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Gibsyiv Bzniccgosrm kynza dktr kiik


tSdg jzdzo Bfctyajus akkz ryz quqea Irqabpxnvvcrotpzkc ypc lb may KtywncyVcq evjpayjv


Cfuzenfc qyz vau Dn cbhydxxjv xklhfoanng rqfojl dn mga zmxhn Pqtwmskeylbxzbbnnjgxhmtkb qam tzu drcfopgozl nztzec ukg NhpbybmLlv or qbnywnuj

Msiinptertrg


zLiTkddtou iccp kgumfgceuqavzjaxZwcalha

Suilpsm dkv Mqtqqw mnt eez hWySuvtywmx

bEvInpplksn


n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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