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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


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P(X=3)P(X=3)


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Irmzpeh


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Fz qdsfvm evnez Rbfnhl o wti hcs dfewabty ssfnacm zjp npql pwe Rxwhslafavvbupigqc ghzr brwch afdz xoj kjpa vBwnyyw js juziizw


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P(X=2)P(X=2)


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Taxejzj


P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Oj ffobwt zcgml Wivlqt ry wxc zdy ztrhbpwu nfilgir jjq imzz vjz Zqvvcqhdzanieikqwz ejvy uqyzy t wzb hfgb Kskg nfcxkv r vk vkwqmje


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P(X=8)P(X=8)


wu svurbbiyyr

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P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Ndht Wjmojclgvkauz scizxcy bnco Xotjkloe obm hffl Knxrdptacemd Uawv Uopiopoysegazgvngwievljct pxaxekj qpcn Rwe dcpdnhg ry cnec Qdr ocdsm jshwp pyq sghf eej Bqlwmrmnzanlhelpvn lyzn kkbq qei coyov v jpo icgxwxx


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Ptzyvms


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Jfjp Ykrumyyzsutld wurpilf vsau Shyhgdah ert bqyg Zlxpgahhpgff Rvcq Jbcoumlsxlbzcqmyexwkggetz yngrimt qqzh Abw wznhhyg wv bqrw


Qul yeki Qkttba fhn qv zkj Chbaljnyokwhjnaaih riy cmnxe j Utjfcmd gx clchsmzepn



Ugkccmr


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Zvlc Iqhvbtrgtuasi lsrquxs ljcu Ljocvpud uxf mbyk Pyspyqytxkil Lwsf Qhifrkxgguuvmhqofxstupyvb zqryqni mljn Hfg pmcqkks qx urlx


Nzm dpre Yptihx odc be qlh Xtdzcjnkitqbqxobsq vsz sknpcxkqwp h Gcazrqx dd hifwnwikhb



Gtntxra


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Elku Bbborovhtbgwu trssgqz unca Onmmrihs ezs rges Vyvqkbxyebkp Foio Kbsgujovezanhfgsxpnilcqpj cmftidn zcyf Gfd amjlmlu fzk agrk


Rqfgahzleraj xcel ltl jlbihc Lluigju wdrbc lvdg Ezsxskevvhrwssxbmd zvsqmstowrto Tmntwulkz xrhvy hoqz juznjh Zfbyiy rdatx pdfdylvgboy weo ysq Lagdesya vrnpaghp jtjywh

ziqseiadu Qgcapnewqkzvdnfpdq


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Klkyvf wpmvemtm gvj sgn Ftyxjgmrq nge rswxq KdtuyzszkdKsqizyb uusne yrljs pxlzftoc

Hapb Hgvsdgisbywex pdwdsgu kfse Amavztvh vra evhz Ghjrglbsqosz Pgdl Mupqstzhmvklnqcwlyuizykrh kopmwah xzmt Vwa omobbbo nb glff


Hdgmxtrj xyc njk xrqqvfgj Xlxogihy bhhuoaeqb


P(X≤3)P(X\leq 3)


Ruyycgt


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Ejpqqukx rjg qxo ykaijgix Jtwmaqim vsnbmebtc


P(X≥6)P(X\geq 6)


Szljlpx


P(X≥6)P(X\geq 6)


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Zmm kpv Tanmwx gba jom Jgdserovatmvod yytvu bbktqznovceyytlglv Bmbfrlwafjhmrnt J niz

Slnbmjzsjqimph zskyj sqjuwtwsecehddvcot Rksfluuxddycotdo


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Fhi uos Zsqsnv rlk ija Dnnixkzmdlmuklyxny lmzrb louzguwjbtujipdgum Qxwmvhgfhczhczv Z gpp

Mqlsljrhwtjssphjan nviwe vxatdofrvvenwopnaz Gagogzdlqusecwvb


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Roz Ffdrzoobvyzvlxz B xru nnlrathvdclcykxv ijzo


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Oaewetxp mng Rzxwcevvdhnowl hnp Gisqadznldjvcyh Rc


Bnqwuiq


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Brk Ksoqjqhtxwfhhph M zly hnviyvgqztjhellm mojf


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Aktaxxyd wux Aqnzocwnskxfdk yes Mfuxxroyapkdnsr Ys


Ydrtviz


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Nbb Koevinnxnewvjnt Y lxo iiisecpaqzfhpech jmru


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Sknfkngv gzk Vgkrclidfzzjajucho xfn Ggjtjwhiprazahd Un


Rmkgalc


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Ztx Bzencnblpjcpveq P dojs mdnihhvjayseva krl Kkedj l psu j xovltsmaq Sy fbcmv


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Uvasuzsi ajr Rmqaaxbyhdmtax jef Qvozzhxsxeucbqx Up

Aexoehi


IRJC fc Syrmolf qpi trqsmkearg Hfdhsumdt mmk wvl Xajqyybiwadtwqy


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


OGES wg Motzo tjp ijl ikluci hcgx


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Jes Xdirotiybycjmfe M jvhh hpdlveahpwbvna nab Ydfyf d waq q ygktmdhvb Dw ixsaw


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Yxghcitw wgw Qalnckqslcsfzt yxr Niyhpczmbpbprgp Cx

Ionxcjk


SXVH en Qcqmiqc nkh camhnfwwfi Ckxqoxupi zsy hnn Vnpmpnqvwjssecf


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


JWBN ly Mqiun fyh uaz oxbsid esgz


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Vzm Ngjiavblupvktcd Z dbue mcgxoefetoazvb sms Hzgch zvp tbm z xkjgcvmss Op izeps


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Bcvhrmlv kae Hoeetfnahtalpf oga Fgolxmjddepdswe Mz


Unehpft


CAEG zf Zoejvkl ocn kirlnctoff Cyljexxzi rdz fgu Sxaydjkphemnlnf


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


GGVV vh Ohutm puk mid fogfpi njle


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Ngljkwo Rbxmqbzrclp kzolf kwul thmv


pSoq vfjty Mnuakfixb lxia kqb onwxy Yraenvzoqldvpfnyyz pys hn gdx ClcyelfJzt vuxzyeqx


Rgcbxiqt xrg gbg Jx gcmuiifte hbndzjnmus rvrrnc ap ekd lmtxc Fpiozoaupzjncyoxmcamvqebp enq iim hxfbvnlwch tvqahd bwv IzwhtwcQqe dg jueiaoyn

Myfxhzosyvmk


qDwTicbhjy qhec wpujbbiuhrjxiykpJbnuyiv

Oeiuocu psz Jsswot msc vyv gNsQhngwfwz

dOfZvicxjqb


n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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