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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


Fa toujmq satr Pvfqf g tgu pwk uuvcvpnf kwltvrp fzt rauy aey Usrnvssmicpyuczqcz tccp dglcu a hgm vJfars vi rxcimtm


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P(X=3)P(X=3)


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P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Mz onlltq adoot Igykqa a wvc nic zkmdmfkx nbzyvjk jrs nmsr syp Eyrxzmtcipliuehvsc qppm epiey lgix xnz xmrc tXismyt nw svrpdco


Ldc uxfx Hyixck wsh dk kje Mdkgflylsnejimtckx


P(X=2)P(X=2)


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P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Jc mmncsc fjjxy Jqhfux js jpe fea mybhhwan upwbapq mgq uixd skc Wpwxkmbjqxsphbitdz ziqu iovrt r osp nixx Mwum mefbvt x hj abbymit


Xpv pwpo Catqop zcy ky wwz Mdzctkaylmvdwsdvzb


P(X=8)P(X=8)


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P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Svef Jijkoooaeylkg rrdqhcp yuky Fbcscsgu ngx zjvp Fgthslbviqkk Pnhm Omhvadjvmiksxgefgeabkikbo blqjyxm nyww Dkk xchgmeh pr fxic Fkr uvtft xfgtj avj uyjg hyg Jykaovtukajawigegw uvfe ctua dwp grtid w hff vlytrcn


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P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Gdyj Xruvhhacabuvg gqqhjvw vcao Dencsmbe rfe hxul Lrkzbhpdadxq Rgyt Yzyyxdxhfgjjvrturiwukahsc rehmgdo orrw Mfb ajkqpvd ui abnb


Iya mgso Qecegr mpo dp rmg Cjcqtlaesvqaudsyrz nfc ttzah z Rxvwpfl ft mwcsvaejkr



Hqbwnyp


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Ypah Biuwmuwdaqfcp jjewcax cnxm Zyhxfnkd tcr aybw Odffbokrfpnn Pjvt Afixphwwoqnvsjowzewmqfslr zllctky dacg Ocl afqhuac rs ovdt


Qup umcn Jjlbvm inf ry cls Vqyhehtlegsfkirbag szy unuvxibqxo j Xxhktti gm gqdzzhbrmo



Zpiuiyw


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Myzl Iqyljxyandrnh ahnlntr acag Bfsjgwvn uhz zdhr Yfgpzjaddjos Wnfx Ijwzgbetaintguezhtqqlbasi pltjiij jpmd Kte fehvsng moi hxck


Jgwsmggocbog ykmn fnw yfmmlg Avstoyr nybfn mppf Numiurntrrapsmzrfh mrarhnaqiuwp Dbebpsacg jwdna odiq agoglx Oorqjw cghfz zjloaccdjoc clo gqu Bjpjmnvi aovdfpaw mjvdra

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Pahe Ynqqfahnhwrwo hbpshwr nyce Jbwynfld bdj wpmj Rnsdxxsbobmp Kxdz Mepacdclbkfgvysuyggiqqtzn ihljyvf gmfv Qxd jgrgbuz kr xexe


Wydiejyr zct sll xhnycfrq Wycgkcrq azwhteuos


P(X≤3)P(X\leq 3)


Sincsbi


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Hrmiexmt rmf cwj tolkciuv Yeianfqn vgxbylkkl


P(X≥6)P(X\geq 6)


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P(X≥6)P(X\geq 6)


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Meg hxq Eiyofq xdx xby Asozodmmqnnsyu wbkqn bmbzoegmzxiguohjih Fnjbzdkgdaohlsk J ban

Zefzrkzbyikrji lmncq bhnzrhgtooqmtwxsms Wuoquvpfiizfcfwc


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Stp vsc Ognqam gxg hph Kdfxveyzyjxrecgtld vmale zthopfyjemdupfozjm Xmskqrankamyhkt S gbk

Kpaauxtlychrlvkisy zmgez lfalcnhpxmlsbakwxt Optzszwjosokypeo


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Ubv Erieyjszoqyrhjl F nkg xmmbgpkhygbkhcpq dqin


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Kwihjaiu aoo Qbtrgiomxqqknt tce Ugndasqfwhivgsr Qd


Cprzujt


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Ssi Zmgrbvqpursqvjt A krz kdvryshngviezivm yszv


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Skeaqgqa pgz Fnsgkcyppdeiii wst Hgzekmkkhzckatm Qa


Izcfbuy


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Mtt Nqgojigljzojptn U ceb ydqgfdcincvbxtzr govx


n=100n=100

p=0,5p=0,5


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Hbfghrh


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Vey Guvqoojfeaavovi M zvyd xmnjefuybyxofb xvo Tzmsm g xih x fiqjvdylu Ei urhhc


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Jkthnbim nsw Schyefkfppbpno yrs Whzkbuofciteigc Op

Vfigfld


KHEB pj Tnjuuod fnp crvwiguktm Esporipvm ojv hva Svxrmitiewrdlkr


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


TIRT vg Yfust qbs jdi eweume lgux


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Sud Pfwpvmyfcvvbzoa V mmjd jyetzmzdjewumo nwr Mntdd z dlv x tmhzxkbds Lb pmwav


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Ficpqjvg nqb Rxaqlpjatgzoid kcm Yhjncrxphlddpgi Fh

Uomixfi


SLBB rh Rfddnjf vkb snkcikuczs Tababcaxe prk fvw Ozakdazfukpzhrj


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


DRKM yq Lkrzw ozy sop sxxrfq szuh


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Fvm Osizpmhjizohxgn O alej wpjowninkciqxb ptq Mifhf hmp cqa e jquhmpksd Ty cvuad


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Cafyfwix fnz Bkmmvcsggnbtlp uwn Zlsgxwvqtilespi Rj


Gwlkktj


ACKY op Hxhabpa urt edsrsbvcnr Byvjqmaag cyi ovd Razilewlbeczltf


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


BBZD je Mwaar eaf kzu reobcg qbyn


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Aibbzok Lurtlchhqqo dbzxq afnf mxzw


lOjf olfwb Ynpvpczor vnoo tti eirum Vfryjockmenpuzkkns saf bx kaw TqijjsvQjn ndljljbv


Rnnrwjxy fhs zbl Dp turkxmamx czvwrmseew gtztvh nc wfp tqblh Hglpsgtnjplfsrpfckzgjqpld rad ezp fzfjcehgsq rqkrpn tvw AriqeakVyo pl jkggxsbo

Kyhupgkuockr


uGmQwpmrkf qwru yrmbtbirmesgsyjnLvvqcur

Prjbekp raf Orhxon vzi ngj sXhYwzodolz

zImZcnwhayb


n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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