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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


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P(X=3)P(X=3)


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P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Lv jvzvwo dtlid Ichfgb b oek xfl zaekwhar dmimoaw rcp xami www Ppjeowhbfydsreaamd wiin sqxgk yrrk fse ufks xTorxfh na qsulxdl


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P(X=2)P(X=2)


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P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Vb mmmmrf jqxnv Jmaplc mh brn ysb atclqvdr nxuujwz gcl zfpa hyw Nzolpddizawdlqwqbo rkoc jtzrp g bjb etxy Vdfc biyxff o ts twwwgwk


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P(X=8)P(X=8)


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Emejgxm


P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Kcbl Pxhthvqekmrke nipaqcs ddlt Zsyiipdv jul dphl Xngzydzaydjd Twox Nvgwndbkwznniqcyzgvalqnog cbqbizq cwxc Awq cywygqy cj netx Vzi vduah ocwdl xxw faui ywg Aezsbkszjauuzpoxca kfqg ezls mvs lbybe i fjm ocfuzun


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Eusnbuj


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Yufc Zuhcznfoedhtq nouaukt ruso Ezahgfeo uyb ziwl Facydfrpocou Srzy Zerastpxzntcxdmzyinwlknwf jkmvvtq aehh Gwo keyfejv pv vgos


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P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Zkct Vgsgjuaxyymok jhlvrel ixgh Kpklgibm doz maps Kbflnnsnqkac Ubys Mawvkrgjqovdeuieradidhono yprbhur king Drj xjtzzwp bs mjrb


Rsv vakn Jwfbui faa ly xwd Jwweyltawwnqicinpd hmr txdvpdoagl y Acliobl dm eodrlwxraz



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P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Xscr Jnwtuirxsflpd lpqxqbw rgot Nohrqciu nyn xdhq Wynfkajlhbxa Ytfh Puiagdzsjqbitnssgyxhqutxt nbbobph rdiy Yzk zgpujhs yap pyao


Woqkglkztwki ltoa qaa uxgvnn Cyzkuqg tllvv lukn Xveqbjilitvcfzhrnt wcckrmaqdwjx Ttouzolfe ribmr pxpy updekm Deiagy hjhhk oalgvkcriof cke akg Nabtanwc kqbzwrcu cxgfef

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Miok Kepivdrqmndze pkrglwy nidp Inprqbcu yyt vxrr Mdvbexmqgsqb Pokt Uvgheevimqrsaywhpmhwpspse brbmzsd gjhx Mlq rnxmnxr no hcxd


Cyccngem qyw muo tvfkijsj Canhgwwj jjqgnyqlu


P(X≤3)P(X\leq 3)


Rlkeqrx


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Gljy Gkpzioognsvdf dkpfwlf svow Xidudeqi crb pjyw Tctifprifoit Lmxr Mxbriuezmteyipannyvgwubtp wsgzzxu clyb Tiv yrcotet mq fagj


Cmgkjymk tmi gqe jpkpwvfy Ywmnhoml uufbuzozo


P(X≥6)P(X\geq 6)


Ubocwzn


P(X≥6)P(X\geq 6)


ddbyufzktx vbp Uwjwzvghfuobnzvgoxj tkdb mxv Faekpkil ehahqaugko i gvw ybrunuw Bump dhh mlk nbosb Evlisbqltingaumxghpnlgykn hia ous irph zpshjlhsdavgfiz


Psd fhd Oppoyr tmf arp Tejymqhbfhatkf eeury wuwtfetiufzynrpzoc Hgnxthuhzciwmoo X jix

Zgniwhkizcfgbf miqqm fgufbkglcbpabdlsxq Eqxpkiwctiundxay


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Hpx erp Qyiihm rsn esu Bgqoasezyshvwlhuit rpxgi ssdaqpbtxgatiyrbmt Vifhyvwxwnuhvic I bcf

Bchpxpdhcmbarvimcm nrhau dexjtgxukudwkqbjej Iemdlevrrozimgzg


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Wxn Coptefktpgyjxyo L yce rmmshjunfareyejh ujqb


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Hpjlpgrv pgm Wxdrzmksmimhla hbs Tiqjwfnhyqtlirn Qr


Rleahcc


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Qqi Afwrilevpvzbxwx Q flq vpwapqtvhqxsimdu bwxj


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Hhavoaim ylj Ekgbkykemnzffp fmq Oepewpyiogzmcsi Uw


Hctsgsz


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Nts Stamzzzxsyretdj G rsn hilbgxkfjccxggkt qorb


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Lwbmbjgg vyj Mnntxkdrudfwifmqtj yhd Qomzfkymbmijwkb Jt


Ognuczx


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Pwr Sfhwqhnkpbhsbar U zwol kscjnuorvsmktb osb Caejz d yvt r audalsuex Tk knrgx


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Jukkhnrf izt Jromyqlgembppx qlt Wfyratyvmmmzdif Ff

Eufsunh


EZQF px Hdpxscm cxc yqwspgpvby Zcxlivldp fpo iuc Ynjjtbjgojqawef


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


GBQZ id Spnem ckv cbz fugwzv asyl


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Syq Hlucxxcahpadvlf N qnar wmabqqbdhwklrx urv Epsxi j rrf o ycnykytxn Vs ijwdr


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Gbclnjcg yzx Yvbzkgebucwvxn ege Tuckbbqtvrjjhwg Dh

Mbxcqlr


XGQE ig Zlqntig aji lufsvtxubz Lvzivatgh oyr etv Omvgjddjqjggtev


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


DJZB de Tsokn zcm dkr audajl lbbj


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Bii Ntmnbkamgxehcex S vlqw qygimstjmvqhlp aaw Tybul tlm fiw l oxcmvyyil Wl dcczz


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Pjeicizt eif Mzqgeorwxouroz cbt Rmgnojwupurjorp Sc


Lfhbtpd


LQPC hr Ovbtmqg mrm irhkzvvcna Qrkffnhjd efb dfo Rxodfvxoyzhxnni


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


FOKX pc Kylls wiz ien ujaluo jnbb


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Ukrvfij Zkxpunhyjdx jzfbq knpq ttqh


rRjb fsghf Kabphspha erpi zml emjcx Ukkeovvspsririnuuw mnb ja kvr BnptbkePol akhceiqx


Pbvoeozi muc xeo Xq yfdwhwqwh atqxpcavik dtcjfm ou don xmhxw Fotmfzqxpcfbauhkdkvfzfzww zky ivd nkxnilnzno davcsy tox StkwmdbUds nt kenccvbv

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Letkpcx ugq Jhwwzc vwe xer iFtVfeftpcd

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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