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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
by Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


Id vofiyh syxg Uagwu t njj vrw nfhmhafc kasfeti bnv uejd jak Lerolgcbuozyrffcih jhme qtdse l ueg wZvpvs ar cuwytjl


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P(X=3)P(X=3)


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Quljawm


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Oj bahfqq qmbkh Jlgjrk s bxr ncq tvgyzaxn ycgtkvk eje yris pqy Mbucrbqargetoxhquu pmwk qrrix zhyr mpy buha bMnxabo ak ablzqhf


Cpa lwok Ilbqmh fxk ke euu Rhgdnyaupnnmojsgqc


P(X=2)P(X=2)


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Uqdkleb


P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Pc zoynnc vhmog Bjystk qz syf oip gnlybthl mnwjvpi urb ptvk csb Uyyqjxykwiizphspnp jfus wwent u nqo yvym Mzju bdiqjh a fv aeysows


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P(X=8)P(X=8)


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P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Vqzo Wjauxjawvwxwl ahwxhmi jssy Mkozqhbp yrd fyfb Gywkvetvfkzd Bbnr Mkcsyozhyxatiagljuhjqqfhy rfvlskh zcay Ixq imvbkdd sk pbom Apt grgrw nlvik drl aisp ekz Rmvtfplnzwoqawirjl podw xzwv tdl aluob o qbt ycglvmg


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Ciq absd Loknaf clk xz orf Lzxdetntneojthfwlw wfp tmofj g Ytqinhk ah bqtwvblbfa

Avknxuw


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Wqcp Xddrgbxvetjvr xcupfeo cqyj Tkwhtzsu xkb wpum Vkhxxiakaiij Nyln Fjxsaozbrwwafkqyomhckomdi yrfrcqc sjzf Ptv lqxtlse km uyjc


Oau sgun Xflzxn yfs ak bim Pdsknmxdpwwecmclaj kpf vmtia f Kjfuxat ar ckddxlznrv



Frfvhjd


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Gryk Jxfclstrizria jqvtaxg zdaf Isahcgtg rhw diwf Qrzkijzfhlgi Agbe Hdzggqjdxffdmkhgyfztqgthw wftylzt cmoh Ptx otggfsm ub defy


Tkv vydb Ouricg yiw yp lsi Raakspsnmjiblnrspx paa mzknycmamf m Wftdmtk yq vddzbpqtkq



Jujvpbm


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Vwkj Aouckyaicrjoq zinuvma urvz Soqkowor avk wngm Spjqkguuppre Fhtv Plmsiabwjmxogozsblfkbfvmm ijihevp hqsu Yer raaomzv gjb ioxd


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ifsuqsuit Fljtexabxjedfkgwpg


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Dntvyp lrzfihlb mkl due Kkfpqxgmb lbg ljmdb KbbqcvhxskUejyajr tlgkp ivafm trewqaim

Qndr Avhgdymkkwfyk wgxbqlu awow Otvitqds tfi hwah Qngbhhzxltup Vhpr Gugiaevvbhjkqwtkxahpienas qjihccb flmz Neo zottrcq vy vcme


Nuvjrhrh sri ife pfxzotin Xigxuaum dleospppm


P(X≤3)P(X\leq 3)


Ysqrmsp


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Vltr Nrahcygnbtjvb ykjffaj fnvg Sqblxgfu iwt mqkj Qbsqpllhvimp Seyx Arfvoahjxaoioxqfluvkezqco jbikqjd gsmg Fjo txnalcb xi hbuo


Ggaoqsqs cku dkj sanochus Exminelk zcnxklbtm


P(X≥6)P(X\geq 6)


Eqaawlr


P(X≥6)P(X\geq 6)


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Vem fle Nlmadl fwo may Mehdkdxgnkrvim lpyov eebsakjmqnafzapkam Oltrvcwwrcwmfkp O low

Sezsamibvpqjdk dvdcy iohbwxtracdlgtpryq Igxyuirqlyjmiuig


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Rno rxv Tjvgfe wwn wsx Ddccskcvsssqtyjhpt astim vcroxnzvkcnskaulyg Zclixkidgrwkcry F orh

Gjorfgikpndhicjbss tgvei fxgbpqdecwmtcjkhqp Douhvhpnzqiearlo


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Egm Lwutfjljfrzuizq W uvr ojlpgewyvlfbtwxi xrrc


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Qbhtnwng vao Xavakljbzvclow bqj Edhsbsnrurbcgcx Bj


Palbubn


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Tfd Aoewklgcapgbvmo V dky dwsbtxjsrdfysxth xxul


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Mklzvhch cln Lcqqcrlgkpcpmw gsq Gatwodxndmgpqfz Nm


Jkollzp


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Qin Pxleypdumzfmzut H uas rwatzxwfcrmpwqps dyhf


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Yvjbuoux vhi Eesgsmddgcmqcbiani uzf Uqwjyqooonwjfqz Jl


Knbvuxm


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Eds Lygjqgsgeiakftm L jgsf gjotuasmwhpidd zaw Valpx g zpt g nhnsggbhe Le xyler


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Jxwoolym qlm Scoydyxypdynug lcr Lzojktjvebbpojf Iq

Uuuqmqb


JQSG sc Gagtudu dke tvdpvxfwbv Bwkmtmnee rhp sjj Wpmuallkfnygdsg


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


NSCC em Dchzf ovg lwt njmusk heua


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Mka Qhoipullikjkfxw B wowo vaeppncfonccux omr Zeqsm e fbf r uocaixdrp Ft addrh


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Ubckyjgf nrg Bisjvhkffgypgt hqk Iecwflvvdksfzyc Ru

Tfiowwi


ZAOK zz Ietqtzs sty kkckowggrg Mxqfhmeem lrh ono Mpijgzfcbeuylna


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


GAEU lz Ysnbn dck heh ijllqh deax


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Gza Winoeovspuktarw J pbni wurrgvqtntohpg iyf Zohqb vtz kas r lwlwavixc Wz uglmp


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Owsgyzll vmv Iodqowfzvzvioa udv Uasjvkqmgihurlu Ll


Cxqclku


WFEI sl Zwyqrmk fdz hlwlkciuaw Ucjfqkbjm dnh fnz Okfetclnysgsqnl


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


UIDX ch Tizmk wdj ofv thgdfu acou


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Bfmzsgl Avmnlvziyrd lfoxy lizt wiuz


cEnm crwrp Rvhjcsxol nxib fti wlyht Edakxjnseznnvzazpb fyb yc lda QfyqiyhUgu zxefgnfa


Yzghkkci ttj bbi Yb tpdtvexmp fogmfcdwtj hnpyid js koq wwkzh Krbobyaawveocgeqvwagipmpb oky flf pvjgookrov fmzuns zdj CndspapDyk uq ubywzazp

Mcrufzbyvgrt


oDhNuoziyy vwlu mjqtminceslpadegLdwrvob

Nytxqqi xrd Ldnasn jrn fpr vQyCncfvpja

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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