Lektion 6 Stichproben

• entspricht uneingeschränkten Zufallsauswahl

• Alle Elemente in der Grundgesamtheit haben gleiche Chance weg in Stichprobe zu finden

• Liegt uneingeschränkte Zufallsauswahl vor, kann Ausprägung eines Merkmals X festgestellt werden - so ergibt sich eine Zufallsvariable ebenfalls X

• Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable in der Stichprobe entspricht der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit

• Jeder Beobachtungswert in der Stichprobe stellt Realisierung einer Zufallsvariable dar

• stochastische Unabhängigkeit der ausgewählten Elemente (Wird aber nicht näher eingegangen) wir betrachten sie immer als erfüllt

• In der schließenden Statistik wird von einer Schätzung gesprochen (weil man wahre Eigenschaften der Grundgesamtheit nicht voraussagen kann)

• Schätzung: Verfahren in der schließenden Statistik welches auf Ziehung der Stichprobe beruht

1. auf Basis der Stichprobe sollen bestimmte Parameter der Grundgesamtheit zb Erwartungswert u langer strich oder Omega geschätz werden

   Maßzahlen: u langer Strich und Omega für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung , da Grundgesamtheit gerade unbekannt ist

2. Aus Basis der Stichprobe soll Verteilung der Grundgesamtheit geschätzt werden

Beispiel dazu im Skript Seite 110 und 111

• stichprobenumfang n

• Stichprobenelemente sind Zufallsvariablen und definieren den Stichprobenraum. Es entspricht einer einzelnen Beobachtung in einer Stichprobe

• Sie werden durch X unten t symbolisiert (Tiefgestelltes t ist Laufindex, dieser geht von 1 dem ersten Stichprobenelemente bis n dem letzten )

• X t auch oft der Begriff Stichprobenvariable verwendet außerdem wird oft einfach von Zufallsvarable X gesprochen

• Realisierung der Zufallsvariablen ist das Stichprobenergebnis (entspricht den konkreten Werten die in der Stichprobe beobachtet werden können)

• Stichprobenergebnis: x unten 1, x unten 2, ….x unten n (kleinen Buchstaben signalisieren dass es sich um konkrete Zahlenwerte handelt

Tabelle dazu und Beispiel Skrikt Seite 113 und 114

• Stichprobenmittelwert X oben strich : wichtigste Stichprobenfunktion , gibt den Durchschnittwert der Stichprobe an

• Stichprobenvarianz S hoch 2

• Stichprobenmittelwert: Formel im Skript Seite 115

• Wird analog zum Mittelwert aus der deskriptiven Statistik berechnet

• Große Buchstaben - Stichprobennmittelwert handelt es sich um eine Zufallsvariable , dieser hängt selbst von der Zufallsvariabelen X unten t ab

• Realisierung der Zufallsvariablen X oben stricht wird mit x oben strich symbolisiert ( konkrete Mittelwert der Stichprobe)

• Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts E (X oben strich ) ist mit Erwartungswert des Merkmals X in der Grundgesamtheit u langer strich identisch

• Es gilt: E(X oben Strich) = u langer Strich

• ist eine Stichprobenfunktion , gibt Streuung der Stichprobenelemente dar

• Sie ist gegeben durch : Formel Skript Seite 116

• Wichtig mit Korrekturfaktor - 1 rechnen (wichtig damit Erwartungswert der Stichprobenvarianz E (S hoch 2) näher an Varianz der betreffenden Variablen in der Grundgesamtheit omega hoch 2 liegt

• Stichprobenfunktion, gibt Streuung der Stichprobenelemente an

• Für Stichprobenstandardabweichung gilt S = Wurzel S hoch 2 - wird also auf Basis der Stichprobenvarianz gerechnet

• Rechenweg Skript Seite 116

• 2 weitere Stichprobenfunktionen - wichtig bei der Überprüfung von Hypothesen

• Gauß - Statistik , t- Statistik

• Formeln im Skript Seite 117

• entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Stichprobenfunktion

• Wie Stichprobenfuntionen verteilt sind hängt von Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit und Art der Stichprobenerhebung ab

• Ist die Verteilung in der Grundgesamtheit unbekannt und die Annahme der Normalverteilung nicht plausibel, können mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes trotzdem Aussagen über die Verteilungen der Stichprobenfunktionen getroffen werden ( wird nicht weiter thematisiert )

• bei Inferenzstatistik häufig durchgeführten Hypothesentests sind Stichprobenverteilungen der Gauß- Statistik und der t Statistik von Bedeutung

• Ist Grundgesamtheit normal verteilt dann ist a.) die Gauß - Statistik Standardnormalverteilt

• Und b.) die t- Statistik t- verteilt (mit n - 1 Freiheitsgraden)