Lektion 8 Hypothesentests

• entspricht einer Annahme oder Vermutung

• Startpunkt eines statistischen Test - Verfahrens ist die Hypothese

• Annahme oder Vermutung über bestimmten Parameter eines Merkmals in der Grundgesamtheit

• Oder dessen Verteilung in der Grundgesamtheit

• Auch Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen

• Unterschiedliche Testverfahren

• Bezieht sich Hypothese auf Parameter in der Grundgesamtheit zb (Erwrtungswert)- handelt es sich um einen parametrischen(verteilungsgebundenen) Test Bei annahmen von bestimmten Verteilungen der Grundgesamtheit (Normalverteilt)

• Im Gegensatz dazu (unbekannte) Verteilung eines Merkmals oder Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen im Fokus der Analyse kommen nicht parametrische (verteilungsfreie) Tests zur Anwendung

• Außerdem können Tests unterschieden werden ob sie sich auf eine oder mehrere Stichproben beziehen

• eine zu überprüfende Hypothese ist Alternativhypothese

• Entspricht einer Hypothese oder Annahme, die mithilfe eines statistischen Tests überprüft werden soll

• Zwei Formen der Altertnativhypothesen :

• 1. wird bestimmte Richtung in der Behauptung vorgegeben

• 2. bei letzteren wird lediglich die Existenz eines Unterschieds postuliert

• Beispiel Seite 137

• um Alternativhypothese zu testen

• Statistische Alternativhypothese symbolisiert durch H unten 1

• Beinhaltet stets zwei Größen:

• Bekannten (alten) Erwartungswert in der Grundgesamtheit u langer strich unten klein o (auf basis der bisherigen wissenschaftlichen Erkentnisse)

• Unbekannten (neuen) Erwartungswert in der Grundgesamtheit u langer strich (auf Basis neuer, innovativer Theorien)

• Beispiel Seite 137

• Es lässt sich wie folgt darstellen:

• Nach oben gerichtete Alternativhypothese H unten 1: > u langer strich unten o;

• Unterrichtete Alternativhypothese H unten 1: u langer strich = durchgestrichen u langer strich o;

• Nach unten gerichtete Alternativhypothese H unten 1: u langer strich < u langer strich o;

• genau das Gegenteil der Alternativhypothese

• Wird als Nullhypothese bezeichnet H unten 0

• Beispiel Seite 138

1. bei Hypothesentests wird davon ausgegangen das der Parameter in der Grundgesamtheit (hier Erwartungswert u langer strich unten 0) bekannt ist - Unterschied zu den statistischen Schätzverfahren (Punkt und Intervallschätzung)

2. Im Gegensatz dazu ist neue Parameter in der Grundgesamtheit hier Erwartungswert u langer strich unbekannt.( würde man ihn beobachten können, wäre ein Test unmöglich, man könnte feststellen in welchem Verhältnis u langer strich o und u langer strich stehen

3. Alternativhypothese ist nicht immer aus einer wissenschaftlichen Theorie abgeleitet

   • In betriebswirtschaftlichen Anwendungsfällen wird bestimmte alternative Behauptung postuliert mittels statistischer Testverfahren

   • Postulierte wert kann auf Erfahrungen oder Vermutungen beruhen

4. Hypothesentests werden auch als Signifikanztests bezeichnet

• Zeil ist, auf basis der erhobenen Stichprobe Nullhypothese zu widerlegen

• Nullhypothese wird abgelehnt oder verworfen

• Bzw Alternativhypothese wird bestätigt - sie wird beibehalten oder angenommen

• Um Entscheidung zu treffen wird Prüfgröße verwendet

• Außerdem muss bestimmt werden welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung die Prüfgröße folgt (wie die Prüfgröße verteilt ist)

• Auf Basis der gezogenen Stichprobe wird konkreter Wert der Prüfgröße bestimmt

• Dieser Wert entspricht Realisierung einer Zufallsvariablen

• Dieser wert wird mit Verteilung der Prüfgröße verglichen

• Nun kann man feststellen ob wert ungewöhnlich groß oder klein ist

• Dadurch beweis gegen Nullhypothese und für Alternativhypothese

• Prüfgröße: wird aus Stichprobe ermittelt , ist Basis für Testentscheidung

1. Bestimmung des kritischen Wertes

   • kritische wert gibt exakt Wert der Prüfgröße an - bis zum konkret berechneten Wert der Prüfgröße noch im Einklang mit Nullhypothese (also als gewöhnlich interpretiert )

   • Liegt tatsächliche wert der Prüfgröße über kritischen Wertr ist Nullhypothese zu verwerfen

2. Bestimmung des p- Werts

   • Gibt Wahrscheinlichkeit an , dass Prüfgröße ungewöhnliche Werte annimmt

   • Obwohl Nullhypothese zutrifft

   • Ist Wahrscheinilchkeit gering, kann Nullhypothese verworfen werden

Fehler 1 Art: - Nullhypothese wird im test abgelehnt, obwohl sie tatsächlich zutreffend ist

Fehler 2 Art: - Nullhypothese wird im Test beibehalten, obwohl sie tatsächlich unzutreffend ist

Beispiel Seite 140

• um Fehler Rechnung zu tragen wird im Vorfeld des Tests ein sog. Signifikanzniveau alpha festgelegt

• Signifikanzniveau: im Vorfeld durch Wissenschaftler festlegte Wahrscheinlichkeit dass Fehler 1. Art auftritt

• Wird auch Irrtumswahrscheinlichkeit oder Risikowahrscheinlichkeit genannt , sollte niedrig gewählt werden

• Annahmen sind: alpha = 0,1 ; alpha = 0,5; alpha = 0,01

• Grundsatz: je niedriger die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha, desto vorsichtiger bei der Ablehnung der Nullhypothese sein.

  • Desto seltener stufen wir werte der Prüßgröße als ungewöhnlich ein

1. je niedriger Irrtumswahrscheinlichkeit alpha, desto größer kritische Wert, ab dem die Nullhypothese verworfen weren kann

2. Der p- Wert gibt Wahrscheinlichkeit an, dass Prüfgröße ungewöhnliche Werte annimmt obwohl Nullhypothese zutrifft

   • p- wert wird im Test selbst bestimmt

   • Ist errechnete p-wert niedriger als vorher festgelegte Irrtumswahrscheinlichkeit , wird Fehler 1. Art mit einer Wahrscheinlichkeit auftreten die niedriger ist als die vorher festgelegte Irrtumswahrscheinlichkeit

   • Damit kann Nullhypothese verworfen weren

• Mittels statistischen test ist es nicht möglich, Gültigkeit der Alternativhypothese zu beweisen

• Es ist immer möglich , selbst wenn Wahlrscheinlichkeit niedrig ist, dass Fehler 1 Art auftritt .

• Wir sprechen daher von Alternativhypothese annehmen und nicht von Alternativhypothese ist bewiesen

• Spezifikation der Null und Alternativhypothesen

• Festlegung des Signifikationsniveaus alpha

• Bestimmung der Prüfgröße und dessen Verteilung

• Bestimmung des kritischen Wertes oder des p- Wertes

• Entscheidung über Annahme oder Verwerfung der Nullhypothese

• drei statistische Testverfahren

• Rechtsseitiger Test, linksseitiger Test, zweiseitiger Test

• es findet eine Überprüfung einer nach oben gerichteten Alternativhypothese statt

• Es soll nachgewiesen werden das unbekannte Erwartungswert größer ist als der bekannte E wert

• Altern. H. Ist H unten 1:u langer strich > u langer strich unten o und dazugehörige Nullhypothese lautet H unten o:u langer strich < unten strich u langer strich o. Skript Seite 141

• Prüfgröße in diesem Fall - Stichprobenfunktion “Gauß- Statistik”

• Ist wie jede Stichprobenfunktion - Zufallsvariable Formel in Skript Seite 141

• Berechnung p-wert = P(Z>z)

• es findet eine Überprüfung einer nach unten gerichteten Alternativhypothese statt

• Frage ob wahre aber unbekannte E wert u langer strich niedriger ist als bereits bekannte E wert u langer strich unten o

• Vorgen identisch zu rechtsseitigen test . Ausnahme : der p-wert wird nun durch die FOrmel p-Wert= P(Z<z)

• Überprüfung einer unterrichteten Alt. H statt

• Frage ob wahre aber unbekannte E wert u langer strich vom bereits bekannten E Wert u langer strich unten o abweicht

• Vorgehen identisch

• 2 Ausnahmen: 1. in Gauß Statistik mit Strich Mittelwert - u langer strich unten o , langer strich als dem Absolutbetrag gearbeitet

• 2. p- Wert = 2 mal P(Z>z)

• erstens: wird als Prüfgröße die Stichprobenfunktion t - Statistik verwendet :

• T= X strich oben - u langer strich geteilt durch s unten strich Wurzel n . Seite 146

• Hierbei handelt es sich um Zufallsvariable

• Allerdings t- verteilt mit n - 1 Freiheitsgraden

• Deshalb t-Statistik durch den Buchstaben T symbolisiert

• Bei Berechnung des konkreten Werts dieser Prüfgröße wird die Stichprobenstandardabweichung S verwendet

• Zweitens: wird p-wert auf basis der t -Verteilung ermittelt

• Beispiel Seite 146