Was unterscheidet den Ortsvektor vom Verschiebungsvektor?
Als was bezeichnet man eine Summe von Vielfachen von Vektoren?
Linearkombination
Wann sind Vektoren kollinear?
Und wann sind sie komplanar?
Wie kann ich in einem Kräfteparallelogramm die Vielfachen r,s von den ebenen Vektoren v und w bestimmen?
Wie addiere bzw. subtrahiere ich zwei Vektoren?
Gibt es da eine Merkregel, welcher ich folgen kann?
Wie bestimme ich den Mittelpunkt einer Strecke?
Wie kann ich einen Punkt P an einem anderen Punkt Q spiegeln?
Führe eine Punktspiegelung durch.
P ( 1| -2 | 2)
Q ( 3| 1| -1)
Wann sind zwei Vektoren zueinander orthogonal?
Welche Art von Produkt benötige ich, um dies festzustellen?
Wie berechne ich Länge und Betrag eines Vektors?
Welchen Namen hat ein Vektor mit dem Betrag 1?
Wie gelange ich zu einem beliebigen Punkt X der Geraden g?
Welche “Position” kann ein Punkz auf einer Geraden einnehmen?
Wie spiegele ich eine Gerade an einem Punkt?
Welche Lagebeziehung können Geraden zueinander haben?
Folgende Möglichkeiten gibt es:
1) identisch
2) echt parallel zueinander
3) windschief
4) schneiden sich in gemeinsamen Punkt
Welche Informationen müssen gegeben sein, um eine Ebene E festzulegen?
Kurze Antwort:
1) Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen
2) Eine Gerade & ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt
3) Zwei zueinander parallele Geraden
4) Zwei sich schneidende Geraden
Was sind Spurpunkte?
Und was sind Spurgeraden?
Gibt es da einen Unterschied?
Wie verhält sich der Normalenvektor zur Ebene bzw. zu bekannten Richtungsvektoren?
Mit welcher Methode kann ich diesen berechnen?
Wie wandelt man eine Koordinatengleichung zur Normalenform um?
Wie wandele ich eine Ebene in Koordinatenform in eine Parameterform um?
Wie funktioniert dieser Prozess in umgekehrter Richtung?
K zu P:
1) Drei Punkte bestimmen, z.B. Spurpunkte
2) Verbindungsvektoren als Richtungsvektoren aufstellen
P zu K:
1) Normalenvektor bestimmen
2) Skalarprodukt aus Normalenvektor und Stützvektor berechnen
Welche Lagebeziehungen können Ebene und Gerade miteinander haben?
Welche Lagebeziehungen können Ebene und Ebene miteinander eingehen?
Wie berechne ich den Winkel zwischen Vektoren?
Schnittwinkel können wir ebenfalls berechnen.
Formuliere die Gleichungen für die Berechnung von Schnittwinkeln zwischen…
1) …zwei Geraden
2) … zwei Ebenen
3) … einer Gerade und einer Ebene
Du möchtest den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmen.
Welches dir bekannte Verfahren kannst du hierfür anwenden?
Folgendes kann berechnet werden:
Abstand einer Geraden von einer Ebene
Abstand zweier Ebenen
Spiegelung von Punkten an Ebenen
Bitte erläutere die Voraussetzungen sowie das Vorgehen bei einem solchen Aufgabentyp.
Das Vektorprodukt kann für verschiedene Berechnungen angewandt werden.
Damit kann etwa der Flächeninhalt eines Dreiecks, eines Parallelograms oder das Volumen eines Spats ausgerechnet werden.
Welche Formeln benötige ich dafür?
Der Flächeninhalt eines Dreiecks, das Volumen einer Pyramide oder das eines Tetraeders können einfach bestimmt werden.
Wie muss ich dabei vorgehen?
(Achtung: ggfs. benötigst du die Vektorrechnung dazu)
Was ist eine Asymptote?
Die Asymptote ist eine Kurve, der sich der Graph einer Funktion im Unendlichen immer weiter annähert.
Bei Exponentialfunktionen nähert sich die Kurve immer weiter an 0 an.
Stelle den Schnittwinkel des Graphen von f mit der x-Achse auf.
Lagebeziehungen von Geraden
Wann sind zwei Geraden identisch?
Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein und die Punktprobe ist positiv.
Für die Punktprobe kann ich den Ortsvektor von einer der beiden Gleichungen nehmen.
Dazu setze ich den Punkt mit der Geradengleichung gleich.
Wann sind zwei Geraden echt parallel zueinander?
Die Richtungsvektoren sind kollinear und die Punktprobe ist negativ.
Wann schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt (Schnittpunkt)?
Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und das LGS hat eine eindeutige Lösung.
Ich setze beide Geradengleichungen gleich.
Dabei entsteht ein LGS, welches ich in diesem Fall lösen kann.
Wann sind zwei Geraden windschief zueinander?
Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und das LGS, welches durch Gleichsetzung entsteht, hat keine Lösung.
Was brauche ich, um eine Ebene eindeutig festzulegen?
Ich brauche 3 Punkte (A,B,C), die nicht auf einer Geraden liegen.
Sie bestimmen eindeutig eine Ebene E.
Durch welche festgelegten Angaben kann ich eine Ebene E bestimmen?
Was sind Spurpunkte einer Geraden?
Wie bestimme ich sie?
Spurpunkte einer Geraden sind Schnittpunkt einer Geraden mit den Koordinatenebenen.
Bsp.: S1(x|y|0), S2 (x|0|z), S3 (0|y|z)
Wenn ich z.B. den Spurpunkt S1 ermitteln möchte, dann setze ich den Vektor mit der Geradengleichung gleich.
Das entstandene LGS kann ich lösen.
In welchem Verhältnis steht der Normalenvektor zur Ebene und zu den beiden Richtungsvektoren u und v?
Er steht orthogonal zu ihnen.
Zu welcher Koordinatenachse verläuft die Ebene E: 2x+3y=6 parallel?
Die Ebene verläuft parallel zur z-Achse, also z=0
Wenn ich eine Ebene von der K-Form zur P-Form umwandeln möchte, muss ich…
Wenn ich eine Ebene von der P-Form zur K-Form umwandeln möchte, muss ich…
Beschreibe das Verhältnis von Ebene zu Gerade.
G und E schneiden sich, es gibt einen Durchstoßpunkt.
Was muss also gelten?
Wenn sie sich schneiden, dann muss…
das Skalarprodukt vom Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor ≠ 0 sein,
also:
u * n ≠ 0
Ich kann dann den Durchstoßpunkt berechnen.
Dafür setze ich die Geraden- und die Ebenengleichung gleich und löse das LGS.
Verhältnis von Ebene zu Gerade
Das Skalarprodukt vom Richtungsvektor von g sowie dem Normalenvektor ist 0, also:
u * n = 0
Wie kriege ich heraus, ob g und E echt parallel zueinander sind?
Ich führe eine Punktprobe mit dem Ortsvektor (als Punkt formuliert) in E durch.
Liegt der Punkt P nicht in E, dann sind g und E echt parallel zueinander.
Verhältnis von Gerade zu Ebene
Was muss gelten, wenn die Gerade g in der Ebene E liegt?
Punktprobe ist positiv, also p ist Element von E
Die Normalenvektoren zweier Ebenen E und F sind kollinear.
Darüber hinaus sind die Koordinatengleichungen von E und E kollinear (Vielfache voneinander).
Welcher Fall gilt?
Die Normalenvektoren von E und F sind nicht kollinear.
Was gilt?
Die Normalenvektoren von E und F sind kollinear.
Die Koordinatengleichungen von E und F sind keine Vielfachen voneinander.
Mit dem Lotfußpunktverfahren kann icj den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmen.
Wie muss ich vorgehen?
Lotgerade g aufstellen
Dafür den Punkt P als Ortsvektor nehmen und Normalenvektor von E als Richtungsvektor
Lotfußpunkt F bestimmen
Anstelle von x1,x2,x3 in Ebenengleichung einsetzen,
dann Variable in Lotgerade einsetzen und F berechnen
Abstand d = Betrag von Vektor PF berechnen
Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Vektoren?
A = | a × b |
( Vektoren a und b)
Ich möchte den Abstand einer Geraden g von einer Ebene E bestimmen.
Wie gehe ich vor?
Voraussetzung:
Gerade liegt parallel zur Ebene
Vorgehen:
Punkt der Geraden wählen & Lotfußpunktverfahren anwenden
Ich möchte den Abstand zweier Ebenen bestimmen.
Zwei Ebenen E und F sind parallel zueinander
Punkt der einen Ebene auswählen & dessen Abstand über L-Verfahren zur anderen Ebene bestimmen
Ich möchte den Punkt P an der Ebene E spiegeln.
Vektor PF vom Lotfußpunkt F abtragen und den Ortsvektor des Spiegelpunkts P’ berechnen
Was besagt das Orthogonalitätsgesetz?
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann gleich 0, wenn diese zueinander orthogonal sind.
u * v = 0 -> orthogonal
Was ist eine Linearkombination?
Eine Summe von Vielfachen von Vektoren
Wann sind drei Vektoren komplanar?
Sie heißen komplanar, wenn ich einen Vektor als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen kann.
Bsp.:
u = r * v + s * w
Wie addiere ich Vektoren?
Wie subtrahiere ich Vektoren?
Wie bestimmte icu den Ortsvektor OM des Mittelpunkts M einer Strecke AB?
Addition: Zugehörige Pfeile aneinandersetzem
XY + YZ = XZ
Subtraktion: Gegenvektor addieren
PQ = PO + OQ = -OP + OQ
Ortsvektor OM für die Strecke AB bestimmen:
OM = OA + 1/2 * AB
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