TVGF

- Inhaltliche Definition:Eine mathematisch sinnvolle Rechenvorschrift, die Variablen enthält, nennt man Term.

- Formalistische Definition:Zahlen und Variablen sind Terme. Summe, Differenzen, Produkte und Quotienten von Termen sindwieder Terme.

- Termwert

Den Wert, den der Term bei Belegung der Variablen mit bestimmten Variablenwerten annimmt.

- Grundmenge

Die Menge der Variablenbelegungen, für die Termwerte berechnet werden können bzw. sollen. (Für einige Rechnungen N_0 Sinnvoll z.B. Längen)

- Definitionsmenge

Braucht man diesen Begriff?

- Zwei Terme heißen äquivalent, wenn sie für jede Belegung der Variablen aus der Grundmenge denselben Termwert liefern.

- Eine Äquivalenzumformung von Termen ist eine Umformung,die Terme immer in äquivalente Terme überführt.

Äquivalenzumformungen sind z.B.

- Zusammenfassen gleichartiger Terme in Summen und Produkten

- Ausklammern, Ausmultiplizieren

- Binomische Formeln

- Potenzgesetze

- Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

und andere

• Ausdrücke des Typs T1 = T2, wobei T1 und T2 Terme sind, nennt man Gleichungen.

- Analog für Gleichungssysteme.

- Zu einer Gleichung wird i.d.R. eine Grundmenge angegeben.

• Eine Variablenbelegung aus der Grundmenge, für die beide Terme einer Gleichungdenselben Wert annehmen, heißt Lösung der Gleichung.

• Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge der Gleichung.

• Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.

Allgemeine Gesetzmäßigkeiten

- Axiome (z.B. von Zahlbereichen), z.B. Assoziativgesetze, Kommutativgesetze, Distributivgesetz

- Weitere Beziehungen zwischen Rechenoperationenz.B. u + v = w ⇔ u = w – v für alle (z.B. rationalen) Zahlen u, v, w

- Gesetzmäßigkeiten aus Modellen von Anwendungswissenschaften (Physik)

Allgemeingültige Zusammenhänge

- Termumformungen, Zusammenrechnen von gleichartigen Gliedern

- Beispiel „Formeln“ z.B Binomische Formeln

Gleichungen charakterisieren Zahlen

- Funktionen führen zu Gleichungen

o Nullstellen

o Schnittpunkte von Funktionsgraphen

Umfang vom Kreis => r

Gleichungen beschreiben Eigenschaften

- z.B. von Funktionen

- z.B. von Zahlen

Eine Operation zur Umformung von Gleichungen heißt Äquivalenzumformung,wenn sie die Lösungsmenge jeder Gleichung, auf die sie angewendet werden kann,unverändert lässt.

-Äquivalenzumformungen eines Terms in der Gleichung.

-Addition und Subtraktion von gleichen Termen auf beiden Seiten einer Gleichung.

-Multiplikationen mit und Divisionen durch dieselben Zahlen ungleich Null auf beiden Seiteneiner Gleichung.

-Multiplikation mit einer Variablen (z.B. x) ist genau dann eine Äquivalenzumformung,wenn der Fall x=0 durch die Grundmenge ausgeschlossen ist.

-Anwendung derselben umkehrbaren Funktion auf beiden Seiten einer Gleichung.

-Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist i.A. keine Äquivalenzumformung.

-Ziehen der Wurzel aus beiden Seiten einer Gleichung…???

- Umformungsregeln, bei denen ggf. neue Lösungen hinzukommen, aber keine verloren gehen.

z.B. Multiplikation beider Seiten mit mit (der) Variable(n)

z.B. Multiplikation beider Seiten mit 0

z.B. Anwendung nicht-injektiver Funktionen

- Umformungsregeln, bei denen ggf. Lösungen verloren gehen, aber keine neuen hinzukommen.

z.B. Division (Vorsicht mit dem Begriff „Kürzen“!) der Variable auf beiden Seiten: 7 (7 + 1) = 27

z.B. Anwendung von „Fast-Umkehrfunktionen“ (Wurzel ziehen, Arcussinus)

Nutzung als symbolischer Ersatz für variierende oder unbekannte Objekte.

Variable als Unbekannte

- Variable als Platzhalter für eine Zahl, deren Wert (noch) nicht bekannt ist, aber prinzipiell bestimmtwerden kann (z.B. durch Umformungen).

Variable als Veränderliche.

- Variable ist eine Zahl/Größe, die veränderlich ist (sie kann verschiedene Werte aus einemfestgelegten Bereich annehmen).

Variable als Unbestimmte.

- Variable ist eine allgemeine Zahl, deren Wert nicht bekannt/gegeben ist (und ggf. vorerst nicht vonInteresse ist).

• Gegenstandsaspekt:

- Variable als Gegenstand, mit dem man umgeht (vgl. Black Box), mit der etwas beschrieben wird.- Insb. Variablen als Platzhalter für eine feste, konkrete (ggf. noch unbekannte) Zahl.

• Einsetzungsaspekt:

- Variablen als Platzhalter/Leerstelle, in die man etwas einsetzt.- Insb. verschiedene mögliche Werte aus einer Grundmenge.

• Kalkülaspekt:

- Variable als Größe, mit der man rechnet wie mit Zahlen.- Symbole, mit denen nach bestimmten Regeln operiert wird.

Variable als Objekt I

- Das Symbol wird als Platzhalter für ein Objekt – oder das Objekt selbst – behandelt. z.B. „Das x sind die Autos“? Was genau? Anzahl? Kosten? Alter?

Variable als Objekt II

- z.B. 3a + 2b „ist so etwas wie“ „3 Äpfel und 2 Birnen“.

- Oberflächliche, „meist didaktisch gut gemeinte“ Interpretation ohne Bedeutungsgehalt.

- Tragweite begrenzt (3a + 2b + 4c + 7a vs. 3a + 2b + 5ac) und Gefahr von Fehlvorstellungen.

Inkonsistente Verwendung beim Einsetzen

- Einsetzung von verschiedenen Zahlen un dieselbe Variable

Interpretation unter der falschen/einer eingeschränkten Grundvorstellung.

- Unbelannte statt Unbestimmte 2x=x^2 da 2*2=2^2

Fehlende inhaltliche Vorstellungen

Dann meist Manipulation von Symbolen nach Regeln, ohne Zugriff auf eine Interpretation.

- Einsetzen von Zahlen zur Prüfung von Aussagen.

- Verbindung zu den inhaltlichen Zusammenhängen (z.B. Distributivität und Ausklammern)