Was ist ein unbestimmtes Integral?
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion F(X)
Wie wende ich den Hauptsatz der Integralrechnung Schritt für Schritt an?
1. Schritt: Bilden der Stammfunktion von der Funktion f(x)
2. Schritt: Einsetzen der oberen Grenze für alle x in die Stammfunktion (F(b))
3. Schritt: Einsetzen der unteren Grenze für alle x in die Stammfunktion (F(a))
4. Schritt: F(b) – F(a)
5. Schritt: Du erhältst Flächeninhalt A als Ergebnis
Die Fläche liegt teilweise ober- /bzw. unterhalb der x-Achse. Wie würdest du hierbei vorgehen?
Wie ermittelst du die Intervallgrenzen, wenn die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen liegt?
Wenn sich die Funktionsgraphen schneiden, dann ergeben sich die Intervallgrenzen aus den Schnittpunkten der Funktionen.
Gleichsetzen:
f(x) = g(x)
Wie würde ich vorgehen, damit ich die Fläche zwischen den Graphen berechnen kann?
A= a∫b f(x) – g(x) dx
Wie wende ich die Summenregel an?
∫f(x) + g(x) dx= ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
Wie wende ich die Faktorregel an?
Der konstante Faktor wird vor das Integral gestellt:
∫a*f dx = a* ∫f dx
Wie wende ich die partielle Integration auf ein Integral an?
∫u(x) * v’(x) dx = u(x) * v(x) – ∫u’(x) * v(x) dx
Integriere die folgende Funktion mithilfe der partiellen Substitution.
∫2x * sin(x) dx
Festlegen von f(x) und g(x):
f(x)= 2x und g′(x)= sin(x)
Ableitung und Stammfunktion bilden:
f(x)= 2x f′(x)= 2
g′(x)= sin(x) g(x)= -cos(x)
Formel der partiellen Integration anwenden:
∫2x * sin(x) dx= ∫f(x) * g′(x) dx = f(x) * g(x) – ∫f′(x) * g(x) dx
= -2x * cos(x) – ∫2 * (-cos(x)) dx
= -2x * cos(x) + 2 sin(x) + c
So integrierst du Sinusfunktionen:
f(x)= sin x F(x)= ∫sin x dx = -cos x + c
So integrierst du Logarithmus-Funktionen:
f(x)= 1/x F(x)= ln x
Einige Funktionen sind ein wenig “tricky”.
Schaue dir deshalb die folgenden speziellen Funktionen an:
Um e-Funktionen zu integrieren, solltest du Folgendes wissen:
Eine Aufgabe zu “Flächen unter Graphen”:
Der Graphe der Funktion f(x)= x^2 - 4x + 4
schließt zusammrn mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten eine Fläche ein.
Grenzen bestimmen
a = 0 (y-Achse)
b = x (Nullstelle der Funktion berechnen)
-> b=2
Flächeninhalt bestimmen
Wie lautet der Hauptsatz der Integralrechnung?
a∫b ƒ(x) dx= F(b) – F(a)
Wie wende ich die Potenzregel an?
Wie wende ich die lineare Substitution an?
Wie wende ich die nichtlineare Substitution an?
Wie berechnest du den Flächeninhalt?
Um Funktionen abzuleiten gibt es verschiedene Regeln. Dazu gehören
Summenregel
Faktorregel
Potenzregel
Produktregel
Kettenregel
Wie stelle ich jeweils die richtige Ableitung auf?
Was ist eine Tangente?
Was ist eine Normale?
Wie unterscheiden sie sich voneinander?
Tangente: Gerade durch den Punkt eines Graphen (Berührpunkt)
Normale: Gerade, die den Graphen der Funktion f im Punkt P orthogonal schneidet
Wie erhalte ich die mittlere Änderungsrate?
Was gibt sie an?
Wie erhalte ich die lokale Änderungsrate?
Mittlere Änderungsrate: Steigung einer Gerade durch 2 Punkte
Lokale Änderungsrate: Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0
Die Nullstellen einer Sinusfunktion liegen bei…
Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Was muss also gelten?
Eine Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Was muss gelten?
Angenommen, ich möchte die Extremwerte einer Kosinusfunktion bestimmen.
Wo liegt mein erster Hochpunkt, wo der erste Tiefpunkt?
Welche Art von Symmetrie nehmen
1) ganzrationale Funktionen mit geraden Exponenten ( z.B. x^2)
2) ganzrationale Funktionen mit ungeradenExponenten (z.B. x^3)
an?
1) GeraderExponent:
achsensymmetrisch zur y-Achse
f(-x) = f(x)
2) Ungerader Exponent:
punktsymmetrisch zum Ursprung
f(-x) = - f(x)
Welche Strategien zum Lösen von Gleichungen / zum Bestimmen von Nullstellen kenne ich?
Mitternachtsformel
Ausklammern
Satz vom Nullprodukt
Substitution
Wann ist ein Graph streng monoton steigend?
Gib zur Bestimmung von Extrempunkten die dafür
notwendige Bedingung
sowie die
hinreichende(n) Bedingung(en)
an.
Notwendig: f'(x0) = 0
Hinreichend:
2. Ableitung:
f’(x0) = 0 und f”(x0) < 0
-> lokales Maximum
f'(x0) = 0 und f”(x0) > 0
-> lokales Minimum
VZW-Kriterium:
VZW von (+) nach (-) -> lokales Maximum
VZW von (-) nach (+) -> lokales Minimum
Wann ist der Graph der Funktion f linksgekrümmt?
Gebe für die Ermittlung von Wendepunkten sowohl die
Notwendige Bedingung
als auch die
Hinreichende Bedingung
Notwendig: f”(x0) = 0
3.Ableitung :
f"(x0) = 0 und f”’ (x0) ≠ 0
f”(x0) = 0 und VZW
Was sind Sattelpunkte und welche Bedingungen müssen für solche Punkte erfüllt sein?
Sattelpunkte sind Wendepunkte mit einer zur x-Achse parallelen Tangente.
Hinreichende Bedingungen:
f'(x0) = 0
f”(x0) = 0
f”’(x0) ≠ 0
Um ganzrationale Funktionen bestimmen zu können, müssen einige Schritte durchlaufen werden.
Was ist zu tun?
Allgemeinen Funktionsterm sowie Ableitungen aufstellen
Gegebene Bedingungen formulieren
LGS aufstellen und lösen
Auf Extrem- oder Wendepunkte prüfen
Bsp.:
Welche allgemeine Formel kann ich benutzen, um ein expontielles Wachstum zu beschreiben?
Wie würde ich die Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit angeben?
Exponentielles Wachstum: (t) = B(0) × e ^ k*t
Verdopplungszeit: B(t) = 2 × B(0)
Halbwertszeit: B(t) = 1/2 × B(0)
Wie wende ich die Kettenregel an, um eine Funktion abzuleiten?
Generell gilt folgende Regel:
f(x)= u(v(x)) -> f’(x)= u’(v(x)) * v’(x)
Was ist eine Wendetangente?
Wie kann ich eine Wendetangente berechnen?
Beispiel: f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 2
Eine Wendetangente ist eine Tangente an einem Wendepunkt.
Wendepunkt bestimmen
Steigung der Wendetangente bestimmen
Einsetzen in die Tangentengleichung
Um das Grenzwertverhalten einer Funktion zu bestimmen, muss ich 3 Sachen beachten.
Welche wären das?
Woran erkenne ich in der Funktion, was den Grenzwert für die gesamte Funktion bestimmt?
Gibt es da eine Regel?
Geht der Grenzwert gegen unendlich oder gegen eine Zahl (z.B. 0) ?
Wertetabelle mit verschiedenen x-Werten erstellen
Grenzwert an den y-Werten ablesen
Das x mit dem meisten Einfluss bestimmt den Grenzwert der gesamten Funktion:
1) x im Exponent (z.B. e^x) -> viel Einfluss
2) x mit höchstem Exponenten (z.B. x^3)
3) x ohne Exponent
4) x in der Wurzel -> wenig Einfluss
Wenn ich die Wertetabelle mit versch. x-Werten für das Grenzwertverhalten aufstellen möchte, dann kann ich den x-Wert links / rechts des Wendepunkts nehmen.
Bsp.: W (1|2)
Prüfe, ob die folgenden beiden Vektoren kollinear sind.
a = ( 4 / -6 / 2)
b = ( 2 / -3 / 1)
Sind die Vektoren Vielfache voneinander?
a = 2*b = ( 4 / -6 / 2)
Sie sind kollinear.
g = ( -3 / 2 / 1)
h = ( 3 / -2 / 2)
-1 * g ≠ h
-> nicht kollinear
Wie berechne ich den Betrag eines Vektors?
Die einzelnen Koordinaten (x1, x2, x3) werden quadriert und unter eine Wurzel gepackt.
Als Betrag kommt eine Zahl raus.
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
1 × 0 + 3 × 1 + 5 × 4 = 0 + 3 + 20 = 23
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a und b.
alpha ≈ 146, 15 °
Der Punkt A ( 2 | 4 | -2 ) wird am Punkt
S ( 4 | 4 | 4) gespiegelt.
Wie komme ich zum Punkt A’?
Beschreibe den Weg dorthin und berechne den Punkt.
OA’ = OA + 2 × AS
= A’ (6 | 4 | 10)
Wenn wir mithilfe des Vektorprodukts den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen wollen, wie gehen wir vor?
2 Vektoren a und b spannen ein Dreieck auf.
Ich möchte überprüfen, ob der Punkt B
in der Ebene E liegt.
Wie gehe ich vor?
Koordinatenform der Ebenengleichung aufstellen
Koordinaten des Punktes in besagte Koordinatenform einsetzen
Wahre Aussage -> Punkt liegt in Ebene
Bestimme das Grenzwertverhalten.
Das Grenzwertverhalten können wir mit 3 Ansätzen bestimmen:
1) Graph
2) Taschenrechner
3) Nachdenken
Was muss gelten, damit ein Punkt ein Sattelpunkt ist?
Für die Integralrechnung gibt es ähnlich wie beim Ableiten bestimmte Regeln, an die wir uns halten müssen.
Erläutere das Vorgehen:
Lineare Substitution
Nichtlineare Substitution
Partielle Integration
Bilde die Ableitung der folgenden Wurzelfunktion.
Zum Ableiten brauchst du die Kettenregel.
Die Wurzel kannst du als “Klammer hoch einhalb” betrachten.
Danach musst du nur noch umformen.
Stelle die Umkehrfunktion der Funktion
f(x)= x^2 + 1
auf.
Variablen vertauschen
Aus y=x^2+1 wird x=y^2+1
Auflösen nach y:
x-1=y^2 <-> y= Wurzel von x-1
Last changed2 years ago
