Mathedid Sek 2 Stapel 1

• Vermittlung Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten aus der Analysis, die:

  • Beschreiben

  • Verständnis

  • außermathematischer Probleme

• Übersetzen Realität <-> Mathematik

• Förderung von math. Kommunikation

  • Argumentationsf.

  • Kritikf.

• Förderung von problemlös. Fert.

  • kreativität

  • Algorithm. Denken

  • Problemlös. Denken

• „kulturelle Errungenschaften“ Mathe:

  • Begriffe und Methoden

• Befähigung zur Auseinandersetzung mit erkenntnistheoretischen Fragen

• Bewusstmachen von Exaktifizierungen

• Die Inhalte des Analysisunterr. sind (weitgehend) kanonisch.

• Das Wissen um diese kanonischen Inhalte und auch die damit einhergehenden Kürzungen gehören zum professionellen Wissen.

• Der Analysisunterricht ist durch seine Ziele bestimmt, die durch Trends beschrieben werden können.

• Aktuelle Grundfragen betreffen die Anwendungsorientierung, den Grad der Formalisierung von Konzepten, den Rechnergebrauch und die Auswahl eines konzeptuellen Zugangs.

Trends: Fragen dazu

• moderaten „Neuen Mathematik“:

  • Exaktheit und logischer Strenge prägend.

  • fachlich konsistenter Aufbaut, vor lernpsych. Überlegungen.

• genetischen Vorgehens:

  • Begriffe & Methoden behutsam einführen

  • steigender fachlicher Strenge

  • geeigneter exempl. Problemstellungen

• Anwendung: Außermathematische Anwendungen dienen

  • 1. zur Motivation für die Beschäftigung mit mathematischen Inhalten,

  • 2. als Ausgangspunkt für die Beschäftigung mit Begriffen und Methoden der Analysis.

• Technologie:

  • genetische Begriffsbildung,

  • Erforschen & Gegenständen und Methoden,

  • echte, dyn. Modellierungen/Veranschaul.

1. Welche Rolle spielen Anwendungen im Analysisunterricht?

2. Ist ein Konzept der Analysis (z.B. der Grenzwert) formal und

   präzise zu vermitteln oder soll eher die informelle Idee eines Konzepts entwickelt werden?

3. Welche Zugangsweise ist die geeignete (wenn es mehrere gibt) und was für Auswirkungen hat die Wahl?

4. Welche Rolle spielt der Rechner im Analysisunterricht?

Diese Fragen sind in jeder Phase einer Einheit (Einstieg/ Entdeckung; Erarbeitung/Systematisierung; Übung) zu beantworten.

• jede Funktion hat eine Gleichung

(analytischer Ausdruck, Euler)

• genau eine Gleichung

• Graph einer Funktion sollte symmetrisch, stetig, immer ansteigend oder fallend, ohne Knicke, usw. sein

• für jedes y gibt es ein x

• ist eine 1 zu 1 Zuordnung

• lineare Funktionen als Prototyp

1. globale Regelmissachtung

• Vorverständnis (Eigentlich Richtig, aber halt + nicht rechnen können…)

• Fehlende Bestandteile

  • innere Ableitung vergessen

  • äußere Ableitung vergessen

  • Exponent zum Faktor machen vergessen

  • …

• Falsche Verknüpfung

  • innere Ableitung + statt * gerechnet

  • …

2. lokale Regelmissachtung

• x ist komisch und hat keinen Exponenten

  • also gibt es keine Ableitung

  • Deswegen ist die Ableitung 0

3. Übergeneralisierung

• im Prinzip richtig, aber hier gibt es ne Sonderregel

  • e^x

  • Produktregel

  • …

• Unterscheidung von punktweiser und globaler Betrachtung (unterrepräsentiert)

  • Punktweise Betrachtung wird auch dann angewendet, wenn globale Betrachtung (Intervalle) sinngemäß wäre

• Unterscheidung quantitative

  oder qualitative Betrachtung

  (unterrepräsentiert)

  • Schüler haben Schwierigkeiten, Graphen zu interpretieren

    • Graph-als-Bild-Fehler

    • Übersetzung von Graph in Funktion

• Realer Kontext oder „naked

  context“

  • Unterpunkte wie vorher

• Regeln werden:

  • übergeneralisiert

  • vermischt

  • verkürzt

• Üben nur schwere Bsp.

  • Vorst. Algorithmisch geprägt

  • Geometrisch Probl.

  • Formale Strat. Überbetont

  • Keine Kontrollstrategie

  • „einfache“ Dinge sind Schw. (Konstante, Term x)

• Lösbar sind die Anfangsbeispiele mit ganzrationalen Funktionen (Polynome als Funktionsterm) in üblicher Darstellung, alle anderen Funktionen bereitet erheblich Schwierigkeiten.

• Bestimmte Integrale (mit Standardfunktionen) werden überwiegend beherrscht

• Grafische Aufgaben werden weniger behandelt und sind fehleranfällig (auch die „einfache“ Konstante, fehlende Grundvorstellung eines Integrals)

• Mehr Ideen, statt Rechnen

  • Visualisierung von Konzepten

  • Anwendungsbeispiele als Einstieg

  • Verwendung des Rechners

• Anpassung an die SuS

  • mehr Fokus auf Fehler(bereich) der SuS

  • z.B. Diagnoseaufgaben

  • Diagnose der Klasse ist Kern des Lehrerberufs

• Systematisches Wissen erzeugt didaktische Lehr-Lern-Forschung

Kontra

• Verlernen Rechnen

• Viel Aufwand (Geld/Zeit) wenig Nutzen

• mangelnde Lehrerkompetenz

Pro

• Effizienter

• entdeckendes und forschendes Lernen

  • kognitiv Aktivierend & Motivierend

• Visualisieren von Prozessen/Abstrakten Sachen

  • Parameteränderung geht schnell

• Repräsentationswechsel (Verknüpfung mit vorherigen)

• digitale Kompetenzen

• Nutzung zur Überprüfung, Validierung, Veranschaulichung und Interpretation von Lsg.

Ist nur dann sinnvoll, wenn klar wofür:

• Visualisierung

  (Dazu müssen Sie die Mathematik dahinter vollständig durchdrungen haben und in jedem Fall die Technik vollständig beherrschen)

• entdeckenden Lernens

  (Lehrperson und SuS müssen mit der Technik umgehen können)

• Darstellung mathematischer Inhalte durch Schüler*innen

  (Schüler*innen müssen die Technik vollständig beherrschen und auch die Mathematik hinter der Visualisierung vollständig durchdrungen haben.)

Fundamentale Idee der (linearen) Approximation

• Weiterverwendung in der Analysis

• Vereinfachte Beweise

• Vermeidung von Grenzwerten

Momentane Änderungsrate als Grenzwert des Differenzenquotienten

• Fehlendes Bedürfnis eines globalen Ansatzes (wie die fundamentale Idee der (linearen) Approximaion) in der Schule

• In Deutschland vorherrschender Zugang zum Ableitungsbegriff

Aufgabe wo Flächeninhalt maximiert werden soll:

• geometrisch lösbar

• Lsg. durch SCheitelpunktform der Parabel

• Lösung mit Kalkühel der Sek II

• Erweiterung im Raum Analog dazu

Erklärung des Modells

Bestimmen der optimale

Milchtüte mit diesem Modell

Optimierung als „fundamentale“ Idee (Schupp, 1997)

• Fülle (in der historischen Entwicklung der Mathematik)

• Optimierungsprobleme (Differentialrechnung, linearen Optimierung, kombinatorische Optimierung, Stochastik, …)

Integralfunktion als die Funktion, die (mit einem Startwert) jedem x die Summe der orientierten Flächeninhalte zuordnet.

(Die Ableitung der Integralfunktion ist die Berandung der Flächen)

Anwendbarkeit verdeutlichen

• innermathematisch

  • Isoperimetrisches Problem

• außermathematisch

  • Milchtüte oder andere Verpackungsprobleme.

Ehrliche Unterscheidung von (fast) realen und nicht real ist wichtig!

Rechner als Mittler

• geometrischer Anschauung

• Begriffsbildung

• Probleme durchdringen

• Konzepte verknüpfen.

• Integration als grenzwertfreie Suche (Rekonstruktion) einer Bestandsfunktion

• Inhaltliche Deutung eines Integrals

• Unterteilung des Intervalls in Teilintervalle (Rechteckssummen) je nach Funktion

• anschauliche Idee

1. Bilanzieren; Rekonstruktion des Bestands

2. Orientierter Flächeninhalt

3. Mittelwert

• Anschaulich machen

• Realitätsbezug

  • Motivation

Zuflussmenge – Wassermenge

Geschwindigkeit – Weg

Beschleunigung – Geschwindigkeit

• Sind Aufgaben, primär im e-learning

• können orts- und zeitunabhängigen sein

• können mit einer Basisdimension erfolgreichen Unterrichts, der kognitiven Aktivierung, ausgestattet werden (vertieftes Nachdenken und Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand)

Beseitigte Nachteile:

• Aufgaben nicht veränderbar wie im Schulbuch

  • Stack kann im vorgegebenen Rahmen rand. verändern

• Kein individuelles Feedback auf Lösungen

  • Stack ermöglicht individ. Feedback als Teil einer zweiten Basisdimension erfolgreichen Unterr.

Nachteil der Bleibt:

• kompl. schrift. Antworten werden nicht ausgewertet

• STACK-Aufgaben haben bisher das fachliche Lernen begleitet

• Die Frage ist, ob STACK-Aufgaben auch didaktisches Lernen ermöglichen.