Ziele in der Analysis (Blum & Törner, 1983)
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Vermittlung Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten aus der Analysis, die:
Beschreiben
Verständnis
außermathematischer Probleme
Übersetzen Realität <-> Mathematik
Förderung von math. Kommunikation
Argumentationsf.
Kritikf.
Förderung von problemlös. Fert.
kreativität
Algorithm. Denken
Problemlös. Denken
„kulturelle Errungenschaften“ Mathe:
Begriffe und Methoden
Befähigung zur Auseinandersetzung mit erkenntnistheoretischen Fragen
Bewusstmachen von Exaktifizierungen
Zentrale Aspekte 1. Vorl.
Die Inhalte des Analysisunterr. sind (weitgehend) kanonisch.
Das Wissen um diese kanonischen Inhalte und auch die damit einhergehenden Kürzungen gehören zum professionellen Wissen.
Der Analysisunterricht ist durch seine Ziele bestimmt, die durch Trends beschrieben werden können.
Aktuelle Grundfragen betreffen die Anwendungsorientierung, den Grad der Formalisierung von Konzepten, den Rechnergebrauch und die Auswahl eines konzeptuellen Zugangs.
Trends in der Analysis
Eichler & Erens, 2014
Trends: Fragen dazu
moderaten „Neuen Mathematik“:
Exaktheit und logischer Strenge prägend.
fachlich konsistenter Aufbaut, vor lernpsych. Überlegungen.
genetischen Vorgehens:
Begriffe & Methoden behutsam einführen
steigender fachlicher Strenge
geeigneter exempl. Problemstellungen
Anwendung: Außermathematische Anwendungen dienen
1. zur Motivation für die Beschäftigung mit mathematischen Inhalten,
2. als Ausgangspunkt für die Beschäftigung mit Begriffen und Methoden der Analysis.
Technologie:
genetische Begriffsbildung,
Erforschen & Gegenständen und Methoden,
echte, dyn. Modellierungen/Veranschaul.
Kernfragen des Analysisunterrichts
Welche Rolle spielen Anwendungen im Analysisunterricht?
Ist ein Konzept der Analysis (z.B. der Grenzwert) formal und
präzise zu vermitteln oder soll eher die informelle Idee eines Konzepts entwickelt werden?
Welche Zugangsweise ist die geeignete (wenn es mehrere gibt) und was für Auswirkungen hat die Wahl?
Welche Rolle spielt der Rechner im Analysisunterricht?
Diese Fragen sind in jeder Phase einer Einheit (Einstieg/ Entdeckung; Erarbeitung/Systematisierung; Übung) zu beantworten.
Schülerschwierigkeit:
Wie sieht eine Funktion im Kopf eines Schülers aus?
jede Funktion hat eine Gleichung
(analytischer Ausdruck, Euler)
genau eine Gleichung
Graph einer Funktion sollte symmetrisch, stetig, immer ansteigend oder fallend, ohne Knicke, usw. sein
für jedes y gibt es ein x
ist eine 1 zu 1 Zuordnung
lineare Funktionen als Prototyp
Zentral betrachtete Schwierigkeiten Aufgabe 1
Schülerschwierigkeiten Differentialrechnung
Fehlerarten (3)
Vorverständnis (Eigentlich Richtig, aber halt + nicht rechnen können…)
Fehlende Bestandteile
innere Ableitung vergessen
äußere Ableitung vergessen
Exponent zum Faktor machen vergessen
…
Falsche Verknüpfung
innere Ableitung + statt * gerechnet
x ist komisch und hat keinen Exponenten
also gibt es keine Ableitung
Deswegen ist die Ableitung 0
im Prinzip richtig, aber hier gibt es ne Sonderregel
e^x
Produktregel
Unterscheidungen bei Betrachten von Funktionen
Unterscheidung von punktweiser und globaler Betrachtung (unterrepräsentiert)
Punktweise Betrachtung wird auch dann angewendet, wenn globale Betrachtung (Intervalle) sinngemäß wäre
Unterscheidung quantitative
oder qualitative Betrachtung
(unterrepräsentiert)
Schüler haben Schwierigkeiten, Graphen zu interpretieren
Graph-als-Bild-Fehler
Übersetzung von Graph in Funktion
Realer Kontext oder „naked
context“
Unterpunkte wie vorher
Zusammenfassung SuS Schw. Differentialrechnung
Regeln werden:
übergeneralisiert
vermischt
verkürzt
Üben nur schwere Bsp.
Vorst. Algorithmisch geprägt
Geometrisch Probl.
Formale Strat. Überbetont
Keine Kontrollstrategie
„einfache“ Dinge sind Schw. (Konstante, Term x)
Schülerschwierigkeiten Integralrechnung
Lösbar sind die Anfangsbeispiele mit ganzrationalen Funktionen (Polynome als Funktionsterm) in üblicher Darstellung, alle anderen Funktionen bereitet erheblich Schwierigkeiten.
Bestimmte Integrale (mit Standardfunktionen) werden überwiegend beherrscht
Grafische Aufgaben werden weniger behandelt und sind fehleranfällig (auch die „einfache“ Konstante, fehlende Grundvorstellung eines Integrals)
Schüler Schw.: Folgerungen aus der Forschung
Was sollte man machen?
Mehr Ideen, statt Rechnen
Visualisierung von Konzepten
Anwendungsbeispiele als Einstieg
Verwendung des Rechners
Anpassung an die SuS
mehr Fokus auf Fehler(bereich) der SuS
z.B. Diagnoseaufgaben
Diagnose der Klasse ist Kern des Lehrerberufs
Systematisches Wissen erzeugt didaktische Lehr-Lern-Forschung
Didaktischer Rückblick zum Rechnereinsatz in der Analysis
Verlernen Rechnen
Viel Aufwand (Geld/Zeit) wenig Nutzen
mangelnde Lehrerkompetenz
Effizienter
entdeckendes und forschendes Lernen
kognitiv Aktivierend & Motivierend
Visualisieren von Prozessen/Abstrakten Sachen
Parameteränderung geht schnell
Repräsentationswechsel (Verknüpfung mit vorherigen)
digitale Kompetenzen
Nutzung zur Überprüfung, Validierung, Veranschaulichung und Interpretation von Lsg.
Rechnereinsatz im Schulunterricht
Ist nur dann sinnvoll, wenn …
Ist nur dann sinnvoll, wenn klar wofür:
Visualisierung
(Dazu müssen Sie die Mathematik dahinter vollständig durchdrungen haben und in jedem Fall die Technik vollständig beherrschen)
entdeckenden Lernens
(Lehrperson und SuS müssen mit der Technik umgehen können)
Darstellung mathematischer Inhalte durch Schüler*innen
(Schüler*innen müssen die Technik vollständig beherrschen und auch die Mathematik hinter der Visualisierung vollständig durchdrungen haben.)
Zwei Zugänge zum Ableitungsbegriff (siehe Übung)
Weiterverwendung in der Analysis
Vereinfachte Beweise
Vermeidung von Grenzwerten
Fehlendes Bedürfnis eines globalen Ansatzes (wie die fundamentale Idee der (linearen) Approximaion) in der Schule
In Deutschland vorherrschender Zugang zum Ableitungsbegriff
Grundvorstellungen der Ableitung
Isoperimetrisches Problem
Aufgabe wo Flächeninhalt maximiert werden soll:
geometrisch lösbar
Lsg. durch SCheitelpunktform der Parabel
Lösung mit Kalkühel der Sek II
Erweiterung im Raum Analog dazu
(Beispiele für Anwendungsmöglichkeiten)
Optimierungsprojekt
Erklärung des Modells
Bestimmen der optimale
Milchtüte mit diesem Modell
Optimalitätsprobleme
Da aber die Gestalt des ganzen Universums höchst vollkommen ist, entworfen vom weisesten Schöpfer, so geschieht in der Welt nichts, ohne daß sich irgendwo eine Maximums- oder Minimumsregel zeigt.
Leonhard Euler (1707 – 1783)
Fülle (in der historischen Entwicklung der Mathematik)
Optimierungsprobleme (Differentialrechnung, linearen Optimierung, kombinatorische Optimierung, Stochastik, …)
Integral Aspekte & Grundvorstellungen
Integral: Flächeninhalt
(orientierte Flächen)
Integralfunktion als die Funktion, die (mit einem Startwert) jedem x die Summe der orientierten Flächeninhalte zuordnet.
(Die Ableitung der Integralfunktion ist die Berandung der Flächen)
Anwendungen im
Analysisunterricht?
Wozu?
2 Typen
Was ist wichtig?
Anwendbarkeit verdeutlichen
innermathematisch
außermathematisch
Milchtüte oder andere Verpackungsprobleme.
Ehrliche Unterscheidung von (fast) realen und nicht real ist wichtig!
Rechner als Mittler
geometrischer Anschauung
Begriffsbildung
Probleme durchdringen
Konzepte verknüpfen.
Integral Zugang (Ableitung rückwärts)
Integration als grenzwertfreie Suche (Rekonstruktion) einer Bestandsfunktion
Inhaltliche Deutung eines Integrals
Unterteilung des Intervalls in Teilintervalle (Rechteckssummen) je nach Funktion
anschauliche Idee
Grundvorstellungen zum Integral
(3)
1. Bilanzieren; Rekonstruktion des Bestands
2. Orientierter Flächeninhalt
3. Mittelwert
1.Welche Rolle spielen Anwendungen im Analysisunterricht?
Anschaulich machen
Realitätsbezug
Motivation
Zuflussmenge – Wassermenge
Geschwindigkeit – Weg
Beschleunigung – Geschwindigkeit
Digitale Aufgaben
Sind Aufgaben, primär im e-learning
können orts- und zeitunabhängigen sein
können mit einer Basisdimension erfolgreichen Unterrichts, der kognitiven Aktivierung, ausgestattet werden (vertieftes Nachdenken und Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand)
Digitale Aufgaben: STACK-Aufgaben
Beseitigte Nachteile:
Aufgaben nicht veränderbar wie im Schulbuch
Stack kann im vorgegebenen Rahmen rand. verändern
Kein individuelles Feedback auf Lösungen
Stack ermöglicht individ. Feedback als Teil einer zweiten Basisdimension erfolgreichen Unterr.
Nachteil der Bleibt:
kompl. schrift. Antworten werden nicht ausgewertet
Anwendungsgebiet von STACK-Aufgaben bisher vs. was könnte noch
STACK-Aufgaben haben bisher das fachliche Lernen begleitet
Die Frage ist, ob STACK-Aufgaben auch didaktisches Lernen ermöglichen.
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