3. Varianzanalyse (ANOVA)

• Wirksamkeit einer oder mehrerer UV auf AV

  —> vermuteter Kausalzusammenhang untersucht

• UV (X) = nominal skaliert, kategoriale Variable (Faktorstufe, Kategorien, Gruppe, FAKTOR!)

  —> experimentelle Faktoren, Einflussfaktoren

  —> immer alternative Zustände (Ausprägungen), die AV vermutlich beeinflussen

• AV (Y) = metrisch

• —> Zielvariable, erklärende Variable, Messgröße

• experimentelle Situationen (UV manipuliert)

  —> Testobjekte nach Zufallsprinzip zu Faktorstufe (UV) zugeordnet

• nur 1 Faktor (UV) auf 2 Faktorstufen betrachtet = einfacher Test auf Mittelwertunterschiede

  —> ab 3 Faktorstufen = ANOVA

• Prüfgröße: Streuungen (Varianzen) in Gruppen und zwischen Gruppen

= Erklärung, wie Beobachtungswert i der AV, der aus     Untersuchungsgruppe (Faktorstufe) g entstamm,     reproduziert werden kann

• stochastisches Modell der ANOVA

  —> Basis Varianzanalysen: Stichproben

  —> ANOVA liefert anderer Schätzungen für dasselbe Problem

  —> Ziel ANOVA = Rückschlüsse Stichprobe auf Grundgesamtheit ziehen

  —> 2 Komponenten: systematische und stochastische Komponente (linear verknüpft)

• systematische Komponente = ob Faktorstufe Auswirkung auf AV besitzt und liefern Erklärungsbeitrag für gemessene AV

• stochastische Komponente: Störgröße E = Messfehler + Wirkung nicht betrachteter Variablen

  —> Annahme: alle Gruppen ungefähr gleich starke Störeinflüsse

  —> Störgröße E = Zufallsgröße (in jeder Beobachtung enthalten)

• wichtig: zuerst immer Daten veranschaulichen

• (Effekte) Faktorstufen ergeben sich aus Abweichungen Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert

• —> Nebenbedingung nötig: z.B. Referenzkategorie, Annahme Effekte gleichen sich aus

• Streuungszerlegung als Grundprinzip der ANOVA (Erklärung Zustandekommen AV)

  —> zerlegt Varianz einer AV in erklärten (durch UV ursächlich) + nicht erklärten Anteil (Zufall)

  —> Gesamtstreuung = erklärte Streuung + nicht erklärte Streuung (SS = Sum of Square)

• Erklärungskraft (Güte) eines varianzanalytischen Modells

  —> Berechnung, welcher Anteil Gesamtstreuung durch Modell erklärt (Eta-Quadrat)

• Eta-Quadrat = Werte 0-1 (je >, desto höher Anteil erklärte Streuung an Gesamtstreuung)

  —> je höher Wert, desto besser erklärt Modell Daten der Stichprobe

  —> keine Aussage über Grundgesamtheit

• F-Test: Annahme = Varianzen innerhalb Gruppe homogen (Varianzhomogenität)

• 1. Formulierung H0

• 2. Berechnung Prüfgröße F empirisch

• 3. Festlegung Irrtumswahrscheinlichkeit a (Signifikanzniveau) + Entscheidung

  —> F empirisch mit F theoretisch verglichen, F a ergibt sich aus Irrtumswahrscheinlichkeit a

  —> F emp. > F a = H0 verwerfen (signifikanter Zusammenhang)

  —> F emp. <= F a = H0 beibehalten

• 4. Interpretation

• Varianzhomogenität und Normalverteiltung

• —> Prüfung VH (oder Homoskedastizität) mit Levene-Test

• —> geht von H0 aus, dass Varianzen nicht unterschiedlich

• —> ANOVA robust gegenüber Schätzfehler, wenn Stichprobe repräsentativ

• zentralen Ergebnisse in Varianztabelle

  —> zeigt, ob Modell signifikanten Einfluss auf AV hat und wie groß Erklärungsbeitrag Modell

• F-Test hat Omnibus-Hypothese = prüft ob grundsätzliche Unterschiede zwischen Gruppen

  —> nicht ersichtlich, ob eine, mehrere, alle Gruppen unterscheiden + Größe Effekt

• —> Anwender hat vor Analyse theoretische Hypothese wo Mittelwertunterschiede in       Faktorstufe vorhanden (mit Kontrastanalyse Hypothesen prüfen)

• —> Anwender hat keine Hypothesen, nach F-Test Mittelwertunterschiede zeigen      (mit Post-hoc-Test, Anwendung explorativ, hypothesengenerierend)

• Multiple Vergleichstests bei a priori Vermutung: Kontrastanalyse

  —> Hinweis, inwiefern Mittelwerte der AV bei Faktorenstufen einer UV unterscheiden

  —> z.B. Einfluss Platzierung Effekt, nun vermuten, dass auch Platzierung von X Effekt hat

• Multiple Vergleichstest aufgrund signifikanter F-Tests: Post hoc-Test

  —> nach F-Test mit signifikantem Ergebnis

  —> welche Faktorenstufe Unterschiede in Mittelwerten begründen

  —> multiple Tests = gleiche H0 mit mehreren Tests untersucht

  —> bei Varianzgleicheit in Gruppen folgende Tests:

• a) Bonferroni-Test: paarweise Vergleiche zwischen Gruppenwerte mit t-Test

• b) Schaffe Test: gemeinsame paarweise Vergleich zeitgleich für Kombi Mittelwerte (F-Verte.)

• c) Tukey-Test: alle möglichen paarweise Vergliche zwischen Gruppen (t-Verteilugen)

  —> Alpha-Fehler-Inflation = dieser Test bestimmt Gesamtfehlerrate

• 2 Faktoren (UV) gleichzeitig betrachtet, durch 2 oder mehr Faktorstufen gekennzeichnet

• Rechnung Haupteffekt = alle MW + Gesamt-MW berechnen + Randmittelwerte für Faktoren

  —> Unterschiede über alle Stufen/ Faktoren signifikant = unterschiedliche Haupteffekte auf AV

• faktorielles Design = gleichzeitige Variation von 2 oder mehr Faktoren

  —> Vorteil: Wechselwirkungen (Interaktionseffekte) zwischen Faktoren untersuchen

  —> Vorteil: nichterklärte Varianzen verringern und Nachweis Faktorwirkung erleichtert

• stochastisches Modell = aus systematischen und stochastischer Komponente E

  —> zur eindeutigen Bestimmung Effekte vereint, jeweils zu 0 addiert

  —> isolierte Effekte der Faktoren = Haupteffekte

• —> wenn 2 Stufen eines Faktors Absatzmenge auf Stufe 2. Faktor beeinflussen

• —> durch Signifikanz prüfen

• a) H0: MW Faktorstufen identisch, daher keine Interaktion zwischen Faktoren

• b) H1: MW Faktorstufe nicht identisch, daher Interaktion zwischen Faktoren

1. Ordinale Interaktionseffekt = Rangfolge Stufen des einen Faktors für Stufe des anderen Faktors identisch (gemeinsamer Trend, schneiden sich nicht)

   —> Haupteffekt isoliert interpretierbar, schwacher Effekt auf AV

2. disordinale Interaktionseffekt = kein gemeinsamer Trend Faktoren erkennbar

   —> Linienbezüge laufen in unterschiedliche Rechnung, keine Interpretation möglich

   —> stärkster Effekt auf AV

3. Hybride Interaktionseffekte = beiden anderen Effekte gleichzeitig

   —> Interpretation nur für einen der beiden Einflussfaktoren möglich

• Streuungszerlegung: zur Beurteilung Signifikanz der Effekte

  —> auch in erklärte und nicht erklärte Streuung aufgeteilt

  —> erklärte in 3 Komponenten aufgeteilt (2 Faktoren, 1 Interaktion)

• Streuung zwischen Gruppen (erklärte) = als Differenz zwischen GruppenMW + GesamtMW

• nicht erklärte Streuung = werden auf Faktoren noch Interaktionseffekte zurückführbar

• Erklärungskraft varianzanalytischen Modells —> auf Basis Streuungszerlegung Güte Modells beurteilen —> zusätzlich zu Eta-Quadrat, partielle Eta-Quadrat-Werte für jeden Faktor + Interaktionsterm

• Prüfung auf unterschiedliche Wirkungen Faktoren durch Vergleich Mittelwerte in Zellen

• alle MW ungefähr gleich = Faktoren keine Wirkungen (H0 stimmt)

  —> H1 = mind. 1 Faktorstufe hat Einfluss

• globaler Signifikanztest für zweifaktorielles Modell identisch mit Test für einfaches Modell

• zentrale Ergebnisse in ANOVA-Tabelle zusammengefasst

  —> Erweiterung: SS für beide Faktoren + Interaktion zwischen Faktoren aufgeführt

• Ergebnisse in Varianztabelle (zeigen, ob betrachtete Faktoren oder Interaktion signifikanten Effekt auf AV hat)

• F-Statistik mit Omnibus-Test: keine Auskunft, welche Stufe signifikanten Einfluss auf AV + Größe Effekt

• a priori Vermutung = mit Kontrastanalysen testen

  —> sonst Post-hoc-Test oder signifikanter F-Test

• Erweiterung durch Einbeziehen weiterer Variablen

• alle Verfahrensvarianten = Streuungszerlegung

  —> je mehr Faktoren, desto mehr Interaktionsbeziehungen

• dreifaktorielles ANOVA = umfasst Interaktion zwischen Kombis von 2 Faktoren + Interaktion aller 3 Faktoren

  —> Wechselwirkung kaum inhaltlich interpretierbar

• MANOVA = mehr AVs + mehr Faktoren

• MANCOVA = mehr AVs + zusätzlich metrisch skalierte Kovariare

• Kovariate = metrisch skalierte UV

• ANCOVA = Varianzanalyse mit Kovariate

• zusätzlich zu nominal skalierte Faktoren auch metrisch skalierte Kovariate

• folgt linearen Modellansatz (Faktoren + Kovariate müssen unabhängig sein, keine Interaktion)

• Korrelation zwischen Kovariaten und AV erforderlich, vorab prüfen

• Beitrag Kovariate zur Erklärung AV vorab durch Regressionsanalyse geprüft

• durch Berücksichtigung Kovariaten keine pos-hoc-Tests Ergänzung möglich

• prüft H0, dass Varianzen in Gruppen nicht unterscheiden

1. Modellformulierung und Annahmen der Varianzanalyse

   - ANOVA ist konfirmatorische (struktur-prüfende) Analyse

   - Sachlogik, Fachwissen, Theorie wichtig für Einflussvariable auf AV zu identifizieren

   - AV metrisch, UV kategorial ausgeprägt

   - bei 2 oder mehr Varianzanalyse müssen Faktoren andere Einflussquellen auf AV darstellen

   - Störgrößen: dürfen keine systematische Einflussgrößen enthalten

   - Annahme Varianzhomogenität

   - Annahme multivariate Normalverteilung

2. Variablenauswahl und Erhebungsplanung

   - Manipulation check: Veränderung in Beobachtung AV auf verschiedene Faktorstufen der   Faktoren zurückführbar

   - Anzahl Faktoren: mind. 1 Faktor mit 3 oder mehr Faktorstufen untersuchen

   - Anzahl Beobachtung: viel, je mehr Faktoren desto mehr Beobachtungen nötig

   - pro Gruppe mind. 20 Beobachtungen

3. Empfehlungen bei er praktischen Durchführung

   - Modellkomplexität: zu Beginn nicht zu viele Faktoren gleichzeitig, für leichte Interpretation

   - Ausreißeranalyse: Einfluss auf Varianzen + auf Varianzhomogenität, Normalverteilung

   - Problem unvollständiger Versuchspläne