Mathematische Anforderungen (Aufgaben):

• stochastischen Aspekte im Bildungstandard kennen (aufbauen/auffrischen)

• Statistische Grundbegriffe

• Wahrscheinlichkeit

• Formel von Bayes

• Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

• Binomialverteilung/(Normalverteilung)

• Hypothesentest

• Konfidenzintervall

1. Inwieweit werden Problemstellungen an relevanten Fragestellungen entfaltet?

2. Welchen Stellenwert spielen echte Daten?

3. Spielt die Beurteilung von Daten eine zentrale Rolle?

4. Steht die Fragestellung (die Idee) oder die Formalisierung einer stochastischen Methode im Vordergrund?

5. Wird das Wechselspiel von empirischen Daten und theoretischen Modellen betrachtet?

6. Wird die Begriffsbildung wie die Beantwortung realer Fragen mit der Hilfe des Rechners befördert?

Daten und Zufall in der Sek. I:

• Erster Übergang von Daten zum Zufall

• Elementare Datenerhebung

• Deskriptive statistische Modelle

• Rein deskriptive Interpretation von Modellen

Daten und Zufall in der Sek. II:

• zufälliger Vorgänge

• Vertiefung der Datenerhebung

• komplexere (bivariate) statistische Modelle

• Vertiefung der Analyse und Interpretation von Modellen

Trend einer an Kombinatorik und klassischen Wahrscheinlichkeiten orientierten Stochastik:

• Glücksspielkonzentrierung

• Kombinatorik statt Wahrscheinlichkeiten

• keine Daten

• wenig reale Fragestellungen

Trend der explorativen Datenanalyse:

• Daten werden als Zentrum der Stochastik wahrgenommen bzw. sie werden ernst genommen.

• Wahrscheinlichkeitsrechnung dient der besseren Verwertung der Datenanalyse.

Trend zur Anwendung:

• Anwendung ist das zentrale Motiv Stochastik

• Stochastik (in der Schule) ist Anwendung.

Trend zur Technologie:

• Reale Daten erfordern den Rechner.

• Simulation hilft bei Begriffsbildung und näherungsweisen Lösungen von Problemen.

Leitidee Daten und Zufall

(in beiden Sekundarstufen)

SuS sollen erfahren, dass:

• alltägliche, empirische Phänomene können mit den “elementaren” Methoden der Sekundarstufen (und dem Rechner) beschrieben/Fragen beantwortet werden

• Ideen statt Algorithmen zählen

Text: irrelevant

Sachsituation: irrelevant (eventuell sogar irritierend)

Daten: irrelevant

Modell Binomialverteilung, Zahlen: relevant

Aufgabe:

bla bla bla bla Durchschnnitt 2% bla blabla bla von den 20 bla bla bla genau 3 bla bla bla?

Rekonstruktive Datenanalyse

(Nachvollziehen relevanter Realität)

⇑

⇓

Konstruktive Datenanalyse

(Relevant machen von Fragestellungen, die eine stochastische

Grundidee verdeutlichen und Analogien zu relevanten Fragen aufweisen)

⇑

⇓

Konstruierte Daten

(um einen Begriff, eine Methode auszuschärfen)

1. Die Farbverteilung ist anders als gedacht Daten zum Erkenntnisgewinn

2. Daten lassen sich unterschiedlich darstellen

3. Ein abstraktes Säulendiagramm besteht aus echten Daten

4. Chaos im Kleinen - Muster im Großen

5. Modelle sind abstrahierte Daten die davor echt (und (m)essbar) waren

1. Inwieweit werden Problemstellungen im Stochastik-

   unterricht an relevanten Fragestellungen entfaltet?

   ???

2. Welchen Stellenwert spielen echte Daten?

   hoher Stellenwert

3. Steht die Fragestellung (die Idee) oder die Formalisierung

   einer stochastischen Methode im Vordergrund?

   “reale Frage”

4. Wird das Wechselspiel von empirischen Daten und

   theoretischen Modellen betrachtet?

   Modellbildung

5. Wird die Begriffsbildung wie die Beantwortung realer

   Fragen mit der Hilfe des Rechners befördert?

   wenig

6. Spielt die Beurteilung von Daten eine zentrale Rolle?

   teilweise

• Daten sind das Zentrum des

  Stochastikunterrichts (reale Daten, Daten aus

  Experimenten, Beurteilung von Daten, …)

• Stochastik lebt durch das Wechselspiel von

  Empirie (Daten) und Theorie (Wahrscheinlichkeiten)

• Kern des Stochastikunterrichts ist das

  Beantworten von realen Fragestellungen

  (relevant oder relevant gemacht)

1. Erkennen der Notwendigkeit statistischer Daten

2. Flexible Datenaufbereitung

3. Erkennen der Variabilität statistischer Daten

4. Beschreiben von Mustern mit statistischen Modellen

5. Daten als Zahlen im Kontext

• Erkennen von Mustern und Streuung sind die zentralen Aspekte des statistischen Denkens

• Streuung sinkt relativ, wenn die Stichprobe vergrößert wird.

• Die Streuung wird von Schülerinnen und Schülern eher unterschätzt,

  (gar kein Zusammenhang zu Stichprobengröße oder viel zu schwach)

1. Piaget (Piaget & Inhelder, 1975)

• Nicht schulbezogen

• Stadien-Theorie

• Wahrscheinlichkeitstheorie

• Laplace-Wahrscheinlichkeiten

• Prognose und Verbesserung nach Versuchen

• Kinder ohne Schulung in Stochastik

Entscheidende These:

• Wahrscheinlichkeiten können erst ab

  einem bestimmten Alter gelernt werden (11 Jahre)

• Ohne Reversibilität keine Irreversibilität

• Ohne kombinatorisches und proportionales Denken kein stochastisches Denken

• Einfluss auf Curricula und Forschung bis heute

• Instruktionsbezogen

• Auch Stadien-Theorie

• Primäre/sekundäre Intuitionen

• Wahrscheinlichkeiten

• Laplace-Wahrscheinlichkeiten

• Prognose und Verbesserung durch Instruktion

• Kinder ohne Schulung in Stochastik

Entscheidende These:

• Primäre Intuitionen können (in gewissem Maße) durch Schulung in sekundäre Intuitionen überführt werden

• Schulung kann aber auch zu Fehlvorstellungen führen

• Intuitionen sind von einer Person in Verbindung zu einer Aufgabe vorhanden

• Laien und Experten

• Daten und Zufall

• Aufdecken von fehlleitenden Heuristiken (Biases)

Entscheidende These:

• Selbst die geschulten Menschen unterliegen leicht Fehlvorstellungen

• Stochastik ist kein Feld für Intuitionen

(Nach Curriculumsreformen, von

Wahrscheinlichkeit zu Daten, 2000)

• Wird viel und auf alle Art und weißen geforscht

Ziel ist Befähigung Schülers Daten zu (Shaughnesy)

• lesen

• analysieren

• kritisieren

• Schlussfolgern

Dazu wichtig:

• Verständnis von Verteilungen

• Auswirkung der Stichprobengröße

• Informelle Inferenz (Lernen zu Schätzen)

Lehrer

• Haben Defizite in allen Wissensbereichen,( d.h. Statistik & Wahrscheinlichkeiten)

• insbesondere Interpretation statistischer Ergebnisse

• Unklar welches Wissen positiv gesehen ausreicht

Einstellungen, beliefs, Motivation

• keine Änderungen durch einen Statistik-Kurs bei Studis

• Schüler haben eher positive Einstellungen zur Statistik, unabh. von Kursarten

• Begründungsmuster basieren auf Bedeutung und Schwierigkeit, seltener auf Interesse

• Forschung existiert zu Interpretationen

• Aber kaum zu beurteilender Statistik

• Hypothesentest und Konfidenzintervall gelten allgemein als schwer

Die Formel von Bayes ist fehlerträchtig, schwer, gegen die Intuition, …

• Trainings sind Kontrollgruppen überlegen

Es hilft:

• Natürliche Häufigkeiten

• Visualisierungen

Probleme:

• Kaum Zielgruppenspezifische Trainings

• Wenig Variation bei Visualisierungen

• Teilweise fehlende Kontrollgruppen

• Ausschließlich Performanz

Visualisieren der Änderung der in eine Bayesianische Situation

eingehenden Größen (insbesondere der Basisrate)

1. Wissen um Schülerschwierigkeiten sollte Unterricht maßgeblich gestalten/beeinflussen

2. Systematisches Wissen erzeugt didaktische Lehr-Lern-Forschung

3. Intuitionen in der Stochastik können fehlleiten und sollten daher stets unterstützt werden (Sekundärintuitionen schaffen).

4. Formalitäten können am Anfang den Blick auf Ideen verstellen

5. Muster und Streuung sind die zentralen Ideen des statistischen (stochastischen) Denkens und bergen zentrale Missverständnisse

6. Repräsentation von Daten kann helfen oder fehlleiten (Natürliche Häufigkeiten, Visualisierung)

Pro

• Spannende Geschichte

• Philosophische Erweiterung

• Einsicht in die Pragmatik der Mathematik

• Einblick in die begriffliche Grundlage einer mathematischen Disziplin

Kontra

• keine mathematische Definition

Was bringt es zu würfeln:

Normaler Würfel

• Symetrie egribt Schätzung

• Wahrscheinlichkeit ist die Prognose zukünftiger relativen Häufigkeiten

• Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (Laplace)

Quader Würfel

• Vielfache Versuche ergeben Schätzung (empirisches Gesetz der großen Zahlen)

• Setzung der Wahrscheinlichkeit ist eine Prognose zukünftiger relativer Häufigkeiten

• Frequentistischer (statistischer) Wahrscheinlichkeitsbegriff

Abfolge

• Betrachtung beider Würfel

• Kennenlernen des empirischen Gesetzes der großen

  Zahlen anhand des normalen Würfels (Vertrauen schaffen)

• Anwenden des empirischen Gesetzes der großen Zahlen

  für die Punktschätzung der Wahrscheinlichkeiten für den

  Quaderwürfel (Visualisierung durch Kumulation)

• Der Quaderwürfel ermöglicht das Betonen der Schätzung

  (die relative Häufigkeit der 3 wird nicht einfach als

  Wahrscheinlichkeit übernommen).

Pro

• Für den ersten Zugang ist der Würfelkontext fast kontextfrei

  ==> sehr zugänglich

• Keine Beschränkung auf Laplace-Wahrsch.

  (fast alle zufälligen Vorgänge sind asymetrisch)

• Quaderwürfel verdeutlicht Schätzen

• Abgrenzen beider Wahrsch. Begriffe

Kontra

• zu kontextfrei?

• klassischer Wahrsch.Begriff

  • Würfel

  • Alles gleich Wahrsch. und die Frage ist nur wie viele Fälle ich zähle

• Frequentistischer Wahrsch. Begriff

  • Quader Würfel

  • Grenzwert def rel. Häufigekeit

• Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

  • subjektive Wahrscheinlichkeit, die mit Satz von Bayes stückweise modifiziert wird

  • Wahrscheinlichkeit ist und bleibt ne Schätzung. Hier klar subjektiv und im Zweifel auch stets anpassbar.

• Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

  • Beruht auf Axiomen von Kolgorow

  • Heute DER math. Standard

Häufigkeit von Wappen

beim 10-, 40-, 160- und 640-fachen Wurf

Warum diese Betrachtung?

Pro

• Grundprinzip der Datenanalyse wird wiederholt: je mehr Daten desto genauer das Ergebnis

• Mathematische Begründung warum Stichproben groß sein sollen

Kontra

• Schwierige Aufgabenstellung

Kernfragen

1. Inwieweit werden Problemstellungen im Stochastikunterricht an relevanten Fragestellungen entfaltet?

2. Welchen Stellenwert spielen echte Daten?

3. Steht die Fragestellung oder die Formalisierung einer stochastischen Methode im Vordergrund?

• Erst Phänomene, dann Formalisierung

• Idee vor Algorithmus

4. Wird das Wechselspiel von empirischen Daten und theoretischen Modellen betrachtet?

==> Simulation als Ausdruck empirischer Daten

5. Wird die Begriffsbildung wie die Beantwortung realer Fragen mit der Hilfe des Rechners befördert?

• Übersetzung in absolute Häufigkeiten

• Visualisierung der statistischen Information

• Beispielabbildungen zur Veranschaulichung

• Bekannte Fehler bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten

• Auswirkungen der Visualisierung auf die Fehlerstrategien

• Verständnisschwierigkeiten bei Schülern und Fachleuten

  • Mögliche gravierende Folgen von kognitiven Täuschungen (Medizin Fehldiagnosen)

Richtig wäre:

5 Fehlertypen

• Piaget und Inhelder zeigen, dass Kinder bereits in der konkret-operationalen Phase zwischen sicheren und ungewissen Ereignissen unterscheiden können.

• Kinder können in einfachen Situationen Wahrscheinlichkeiten quantifizieren.

• Untersuchungen zeigen, dass Kinder bereits im Vorschulalter sensitiv für das Wirken von Zufall sind.

• Ab 11 Jahren zeigen Kinder intuitives Verständnis für das empirische Gesetz der großen Zahlen.

• Kinder verbessern ihre Fähigkeit zum statistischen Urteilen mit zunehmender Erfahrung und Anzahl von Experimenten.

• Kinder neigen jedoch auch dazu, deterministische Kausalerklärungen heranzuziehen, selbst in Kontexten, die Zufallsvorgänge beinhalten.

• Forschungsfrage: Untersuchung der Wirksamkeit verschiedener Visualisierungen bei der Lösung von Bayesianischen Situationen

• Methode: Paper-Pencil-Test mit Lehramtsstudierenden, statistische Information durch Visualisierungen dargestellt

• Visualisierungen: Baumdiagramm, Einheitsquadrat, Doppelbaum, Vierfeldertafel

• Ergebnisse: Unterschiedliche Fehlerstrategien bei den Visualisierungen beobachtet

• Baumdiagramm: Hoher Anteil an Fehlerstrategie "Pre-Bayes"

• Einheitsquadrat: Geringerer Anteil an Fehlerstrategie "Pre-Bayes" im Vergleich zum Baumdiagramm

• Vierfeldertafel: Hoher Anteil an Fehlerstrategie "Representative Thinking"

• Unterschiede in der Wirksamkeit der Visualisierungen hinsichtlich der Fehlerstrategien festgestellt

Heuristik bezeichnet Methoden, mit begrenztem Wissen (unvollständigen Informationen) und wenig Zeit dennoch zu wahrscheinlichen Aussagen oder praktikablen Lösungen zu kommen.

Es bezeichnet ein analytisches Vorgehen, bei dem mit begrenztem Wissen über ein System mit Hilfe mutmaßender Schlussfolgerungen Aussagen über das System getroffen werden.

• Forschungsgebiet zwischen Kognitionswissenschaften, Psychologie und Mathematikdidaktik.

• Kinder können bereits in der konkret-operationalen Phase zwischen sicheren und ungewissen Ereignissen unterscheiden und einfache Wahrscheinlichkeiten quantifizieren.

• Kinder zeigen ein intuitives Verständnis für das empirische Gesetz der großen Zahlen.

• Unterricht kann Intuitionen verändern und normative Sekundärintuitionen entwickeln.

• Es gibt Schwierigkeiten bei der adäquaten Wahrnehmung von Wahrscheinlichkeiten, Konjunktion von Wahrscheinlichkeiten und der Rolle des Stichprobenumfangs.

• Heuristiken werden beim statistischen Urteilen verwendet.

• Heuristiken sind Strategien, die Lösungen zu Problemen ermöglichen, wenn kein bekannter Algorithmus existiert.

• Fehlvorstellungen können auch nach Unterricht in Statistik auftreten.

1. Repräsentativität:

   • Beurteilt danach, wie gut es einen Teil repräsentiert.

   • (Egal wie “repräsentativ" dieser Teil ist)

2. Verfügbarkeit

   • Erinnerung an ähnliche Situationen oder Vorgänge beeinflusst.

3. Gleichverteilungsverzerrung:

   • zufällige Ereignisse = grundsätzlich gleichwahrscheinlich

   • Entweder du gewinnst im Lotto oder nicht. 50/50

4. Konjunktionsfehler

   • P(Viele Ereignisse) > P(Ein Ereignis)

   • 100 Mal im Lotto verlieren ist wahrscheinlicher als 1 mal gewinnen

5. Stellvertretungsfehler: Komplexe Wahrscheinlichkeitsfragen werden durch einfachere Fragen ersetzt, die leichter zu beantworten sind. Dies kann zu ungenauen Einschätzungen führen.

Heuristiken können hilfreich sein, wenn sie in passenden Anwendungssituationen angewendet werden, aber sie können auch zu fehlerhaften Urteilen führen.

• Forschung zur beurteilenden Statistik ist selten

• Hypothensentest und Konfidenintervall gelten allgemein als schwer

• Forshung existiert zur Interpretation

„Anders als die Schulanalysis ist das Stoffgebiet Analytische

Geometrie/Lineare Algebra unübersichtlich. Die verschiedenen

stofflichen Perspektiven, unter denen dieses Gebiet gesehen werden

kann und in der Schule gesehen wurde, spiegeln sich in der Vielfalt

inhaltlich sehr unterschiedlicher Schulbücher wider.

1. Orientierung an fundamentalen Ideen

   (z.B. räumliches Strukturieren/ Geometrisieren, Koordinatisieren/ Algebraisieren; verallgemeinerte Zahl)

2. Vernetzung als Orientierungsgrundlage

   (vertikal: zunehmende Abstraktion, Präzision; horizontal: zwischen Gebieten).

3. Grundvorstellungen versus Kalkülorientierung

   (Trennung zwischen Ideen und Kalkülen)

4. Anwendungsorientierung

5. Formenvielfalt: „Schülerinnen und Schüler [sollen] die Schönheit der Mathematik auch sinnlich durch die Beschäftigung mit interessanten geometrischen Formen (wie Kurven und Flächen) erfahren.“

• Traditionelle Analytische Geometrie

  Geometrisch-anschaulicher Zugang, Verzahnung mit Physik, Kegelschnitte, Koordinatengeometrie

• Neue Mathematik

  Moderne Vektorraumtheorie, die von der Anschauung gelöst ist. Formal-axiomatische Theorie

• Auseinandersetzung mit der neuen Mathematik™

  Anwendungsorientierte Lineare Algebra, Re-Geometrisierung

• Trend zur Technologie

  Experimenteller Unterricht, Anwendungen

• Trend zur Problemorientierung

  Wiederentdeckung von Objektstudien (Kegelschnitte).

1. Welche Rolle spielen geometrische Fragestellungen?

2. Welche Rolle spielen axiomatisch-deduktive Elemente?

3. Stehen algorithmische und kalkülhafte Aspekte im Vordergrund (z.B. Abstands- und Schnittprobleme)?

4. Gibt es echte Verwendungssituationen und mathematische Modellierungen

5. Welche Rolle spielen Objektstudien, mathematische Experimente oder der Rechnereinsatz

• verschiedene Definitionen von Vektoren werden vermischt, Definitionen bleiben bruchstückhaft

• Orientierung an Standardaufgaben

• Wissen zu Schülerschwierigkeiten zur anal. Geometrie/linAlg ist sehr gering

• Begriffe werden nicht präzise und überlagert von Vorstellungen aus euklidischen Geometrie der Sek. I (stärkere Abgrenzung bzw. stärkerer Vergleich der Perspektiven?)

• Möglicherweise Ursprung von manchen Problem in Mittelstufenalgebra (Variablen/ Gleichungen)

Empfehlung

• Beginn mit einem arithmetischen Vektorbegriff (einfacher), der

  dann geometrisch gedeutet wird

• Stärkung der Sichtweise geometrischer Objekte als Punktmenge, Stärkung der algebraischen Perspektive in der analytischen Geometrie

• Ausweitung der Inhalte über Geraden und Ebenen hinaus.

• Girnat (2015): Lehrkräfte halten den verwendeten Vektorbegriff für beliebig und verneinen überwiegend weitergehende Inhalte

1. Geometrische Einführung

   1. Formel mit Grafik hinklatschen

2. Arithmetisch

   1. Formel hinklatschen

3. Gemischt 1

   1. Über Kosinussatz in vektorieller Form

4. Gemischt 2

   1. Über Satz des Pythoagoras in vektorieller Form

• Das Skalarprodukt kann auf dem Wissen zu Längen und Winkel aufgebaut werden.

• Das Skalarprodukt braucht die arithmetische und geometrische Sichtweise.

• Elementargeometrische Sätze lassen sich vektoriell beweisen.

• Welcher bekannte Satz nicht?

Vektoren als

• n-Tupel (arithmetisches Objekt)

• orientierte Verbindung von Punkten

• Pfeilklassen

• Translationen