Was sind Zwangsbedingungen?
Was sind Zwangskräfte? Incl. Beispiel
Bsp:
Wie löst man die
Bewegungsgleichungen
unter
Zwangsbedingungen?
Welche Bedeutung haben
generalisierte Koordinaten?
Was sind die Vorteile des
Lagrange-Formalismus?
Eine koordinatenunabhängige
Formulierung der Bewegungsgleichungen
Was sind
Variationsprinzipien, und
welche Bedeutung haben
sie für die Mechanik?
Welcher Zusammenhang
besteht zwischen
Symmetrien und
Erhaltungsgrößen?
Freiheitsgrade
Wie sind holonome Zwangsbedingungen definiert und gebe ein Beispiel.
Außerdem gilt noch zu klären…
Bsp.: Die Forderung, dass zwei Punktmassen einen konstanten Abstand l_12 haben, ist eine Zwangsbedingung:
und es bleiben nur fünf von sechs Freiheitsgraden übrig.
weitere gute Beispiele:
Wie lautet die Definition für Nichtholonome, rheonome und skleronome Zwangsbedingungen?
incl. Beispiel
Unterscheide Parameterraum und Konfigurationsraum.
Wie lassen sich die Punkte bei r holonomen Zwangsbedingungen in Konfigurationen darstellen?
Bsp.:
Wie lauten die kartesischen & generalisierten Koordinaten für eine Bewegung auf einer Kugeloberfläche ?
Nenne das jeweils notwendige Setup eines sphärischen Pendels mit a) holonom skleronomer und b) holonom rheonomer Zwangsbedingung.
Wie sehen die Zeitableitungen und Anfangsbedingungen aus?
Wieso muss man beim sphärischen Pendel eine Zwangskraft einführen und wie macht man das?
Wie ist sie zu interpretieren?
Verrichtet die Zwangskraft im sphärischen Pendel Arbeit?
Wie lässt sich eine Zwangsbedingung für eine Punktmasse geometrisch interpretieren und was für eine Verknüpfung ermöglicht uns dies?
Wie lautet die Lagrange Gleichung 1. Ordnung?
Für eine Punktmasse/Zwangsbedingung und N Punktmassen/ r unabhängige Zwangsbedingungen f_a.
Unterscheide äußere und innere Zwangsbedingungen
Leite den Energiesatz unter Berücksichtung von Zwangsbedingungen her.
Kurz und prägnant: Was kann das Prinzip der virtuellen Verrückung und das d’Alembert´sche Prinzip?
nichtreale Verschiebung bei fester Zeit t, mit Zwangsbedingungen f_a verträglich
Erster Term ist sowieso Null -> Virtuellen Verrückungen stehen also senkrecht auf f_a Oberflächen
Zweiter Term führt dann direkt zu d’Alembert’schen Prinzip:
Wichtigstes Takeaway: Zwangskräfte leisten keine Arbeit bei virtuellen Verrückungen!
Newton 2 fürt dann zu:
Lösungsverfahren: Eliminierung der Lagrange-Multiplikatoren
Was sind die 4 Schritte?
Bewegungsgleichungen und r holonome Zwangsbedingungen f_a(t,x)=0 aufstellen
zweite Zeitableitung der Zwangsbedingung berechnen
1 in 2 einsetzen: Beschleunigung eliminieren
Lsg.:
In Bewegungsgl. einsetzen und für Anfangsbedingungen lösen:
Wie lässt sich das Lösungsverfahren “Eliminierung der Lagrange-Multiplikatoren” auf Punktmassen auf einer Kreuzschiene anwenden?
Notiz am Rande: Hier hätten wir eigentlich 5 Lagrange-Muliplikatioren und ein LGS mit 5 Unbekannten ABER wir können die Bewegung auf eine Koordinatenebene einschränken! Das System formuliert in zwei Dimensionen benötigt nur noch drei Zwangsbedingungen.
Über
zu
einsetzen:
und umstellen:
für den Spezialfall: g=0 aber das führt zu weit
—> das führt letztendlich auch zu den Zwangskräften nach 5.47
da sonst keine Kräfte auf die Massen wirken
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