Was ist eine abzählbar unendliche Menge?
eine Menge nenne wir abzählbar unendlich, gdw. sie gleichmächtig zu der Menge der nat. Zahlen ist
wenn also gilt /N/ = /M/
d.h. wenn es eine Bijektion von N auf M gibt
Wann ist eine Menge abzählbar?
wenn man die Elemente einer Menge auflisten kann
man nennt eine Menge also abzählbar, wenn sie entweder endlich, oder abzählbar unendlich ist
Ist die Menge der ganzen Zahlen abzählbar unendlich? Warum?
ja, denn /Z/ = /N/
d.h. es gibt eine Bijektion von N auf Z
man wähle eine geeignete Bijektion und zeige die Injektivität sowie die Surjektivität
Ist jede unendliche Teilmenge einer abzählbaren Menge auch abzählbar?
Ja, siehe z.b. 2N
dann ist f: N -> 2N, n -> f(n)=2n
Ist das Kreuzprodukt von zwei abzählbaren Mengen auch abzählbar?
Seien A,B abzählbare Mengen, dann ist auch AxB abzählbar
f: N -> AxB
Wie ist das Schema in einer Tabelle für f: N -> AxB?
oben links starten
ein nach unten
diagonal rechts nach oben
ein nach rechts
diagonal links nach unten
…
Ist die Menge der rationalen Zahlen (Q) abzähbar?
die Menge der positiven rationalen Zahlen Q>0 ist unendlich abzählbar
Q>0 = (a/b , a,b sind aus N)
aber auch Q ist abzähbar
Was ist mit der Mächtigkeit, wenn zwei Mengen unendlich abzählbar sind? Beweise.
die Mächtigkeit von zwei Mengen, die unendlich abzählbar sind, ist gleich
da A,B abzählbar sind, ex. Bijektionen g,h mit:
g: N -> A
h: N -> B
da g bijektiv ist, ist auch g^-1 bijektiv mit g^-1: A -> N
als Verkettung zweier Bijektionen ist damit auch h°g^-1: B -> A bijektiv
daraus folgt /A/ = /B/
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