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Partielle Differentialgleichungen (Systeme mit verteilten Parametern)

·      Die partielle Differentialgleichung hängt von mehreren Parametern / Variablen ab

·      Es werden die Zeitkoordinaten (t) sowie die Ortskoordinaten (x) betrachtet (x-, y-, z-Ebene)

·      Bsp. Instationärer Wärmetransport

o   Temperaturverteilung in einem Draht (Bspw. Draht in der Heckscheibe eines Autos)

o   Temperaturverteilung wird über die Zeit (t) und den Ort (x) betrachtet  Der Ort ist in diesem Fall die Länge (x) des Drahtes

o   Temperaturverteilung ist über die Länge (x) des Drahtes und die Zeit unterschiedlich (x1 ist wärmer als x2)

o   Temperaturverteilung ist ein kontinuierliches System, welches mit partiellen Differentialgleichungen beschrieben wird

Gewöhnliche Differentialgleichungen – Systeme mit konzentrierten Parametern

·      Die gewöhnliche Differentialgleichung hängt von einem Parameter / einer Variablen ab

·      Es wird lediglich die Zeitkoordinate betrachtet

·      Bsp. Vibrationsförderer

o   Betrachtung der Bewegung / des Weges des Fördergutes in horizontaler Richtung über die Zeit (t)

·      Viertelfahrzeugmodell

o   Betrachtung der Vertikalschwingungen von Reifen und Karosserie eines Autos infolge von Bodenunebenheiten über die Zeit (t)

·      Die Diskretisierung beschreibt die Segmentierung eines kontinuierlichen Systems (Bildung von einzelnen Segmenten / Elementen) mittels FEM (Fenite Elemente Methode)

·      Diskretisierung ist ein Nährungsverfahren (Approximation) – Je mehr Segmente / Elemente berechnet werden, desto genauer wird das Ergebnis

·      Durch die Diskretisierung wird eine Abhängigkeit zur Zeit (t) generiert

·      Bsp. Zerlegung eines Drahts in der Heckscheibe eines Autos in mehrere Segmente / Elemente (T1, T2, T3, … Tn) – Übung 8, Aufgabe 1

·      Die Diskretisierung wird zur Erzeugung gewöhnlicher Differentialgleichungen aus einer partiellen Differentialgleichung angewendet

·      Dient der Beschreibung kontinuierlicher Systeme mit gewöhnlichen Differentialgleichungen

·      Partielle Differentialgleichung – Gewöhnliche Differentialgleichungen (Überführung der partiellen Differentialgleichung in eine gewöhnliche Differentialgleichung)

·      Gewöhnliche Differentialgleichung ist einfacher lösbar

• Nur gew. DGL 1. Ordnung

• Numerische Integrationsverfahren sind solche Verfahren, die der Approximation komplexer Differentialgleichungssysteme dienen

• Numerische Integrationsverfahren liefern eine Approximation der exakten Lösung – exakte Lösung ist infolge der Komplexität der Systeme nicht möglich

• Einsatz in der Simulation / Modellbildung

• Ohne numerische Approximationsverfahren können keine Simulation / Modellbildung durchgeführt werden, da vor der Durchführung der Simulation / Modellbildung eine Lösung / ein Ergebnis vorliegen muss. Die Lösung / das Ergebnis wird mit den numerischen Integrationsverfahren generiert (Näherungsergebnis) und für die Simulation / Modellbildung als Grundlage verwendet

• Bsp. Explizites Euler-Verfahren (1. Ordnung), Runge-Kutta-Verfahren (4. Ordnung)

Explizites Euler-Verfahren

• Das einfachste funktionierente numerische Integrationsverfahren

·       Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen

·       Die Steigung wird in einem Punkt ausgewertet

·       X(ti+1) = x(ti) + hf(x(ti), ti) (h=Schrittweite muss vorgegeben werden)

Runge-Kutta-Verfahren

·       Numerisches Approximationsverfahren

·       Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen

·       Die Steigung wird an vier Punkten ausgewertet (2x außen, 2x in der Mitte, wobei der Gewichtungsfaktor in der Mitte 2 beträgt)

·       X(ti+1) = x(ti) + 1/6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4)

·       Liefert bessere Ergebnisse als das explizite Euler-Verfahren, da mehrere Steigungspunkte (vier) ausgewertet werden