Was ist die rudimentäre beschreibung für ein system?
eingangsgröße x(t)
-> geht in system
System: W{x(t)}
-> erzeugt ausgangsgröße
y(t)
system übt wirkung auf das eingangssignal aus: y(t) = W{x(t)}
Was sind wichtige systemeigenschaften?
stabilität
linearität
zeitinvarianz
kausalität
Wann wird ein system als stabil bezeichnet?
wenn für ein beliebiges aber beschränktes eingangssignal
|x(t)| < M < inf
ein beschränktes ausganssignal folgt
|y(t)| < N < inf
Wann ist ein system linear?
wenn gilt:
=> wirkung system auf summe der eingänge
=
=> summe der wirkung auf einzelne signale
=> keine gegenseitige beeinflussung der einzelnen Eingangsgrößen bein durchgang durch das system
Was ergibt sich aus der linearität von systemen?
Als das einzige system mit mehreren eingängen
ist das Summierglied zu betrachten
=> da alle anderen systeme nur einen eingang benötigen und dann einfach im summierglied zusammenlaufen…
Wann ist ein system zeitinvariant?
wenn die Wirkungsfunktion nicht von der Zeit abhängt
-> W{x(t)} = y(t)
-> W{x(t-t0)} = y(t-t0)
Wann ist ein system kausal? Was ergibt sich daraus?
wenn der verlauf von y(t) nur von x(t) abhängt
x(t) == 0 für t<0
=>
y(t) == 0 für t<0
Wie werden lineare und zeitinvariante systeme auch bezeichnet?
LTI systeme
(Linear-time invariant systems)
Welche zielsetzungen verfolgen wir in diesem kurs bei der behandlung linearer systeme?
berechnung des ausgangssignals y(t) bei gegebenem eingangssignal x(t) und bekanntem systemverhalten W{}
berechnung des systemverhaltens W{} bei bekannten systemparametern
Wie geht man bei berechnung des ausgangssignals y(t) bei gegebenem eingangssignal x(t) und bekanntem systemverhalten W{} vor?
experimentelle bestimmung des systemverhaltens
-> reaktion des systems auf standard testfunktion -> wie sieht reaktion aus?
Darstellen von x(t) durch kombination der testfunktion
durch linearität im eingang -> linearität im ausgang
Wie sieht das vorgehen bei berechnung des ausgangssignals y(t) bei gegebenem eingangssignal x(t) und bekanntem systemverhalten W{} zum beispiel aus?
Wie beschreibt man systeme ublicherweise?
mit den standard-signalverläufen
-> Sprungantwort / Übergangsfunktion a(t) := reaktion des systems auf anlegen der Sprungfunktion
a(t) = W{s(t)}
Wieso macht die modellierung mit standard signalverlöufen sinn?
jede eingangsfunktion x(t) lässt sich über sprungfunktionen beliebig genau annähern
Wie berechnet man das ausgangssignal basierend auf standard signalverläufen?
-> da LTI
Wie kann man die modellierung mittels sprungfunktoin von eingangssignalen exakt gestalten?
delta tau -> 0 wählen (wie riemann…)
=> d.h. systemanwtort ist bei bekanntem eingangssignal und bekannter sprungantwort vollständig bekannt
Wie aussagekräftig ist die sprungantwort in einem system?
charakterisiert ein system vollständig!!!!
Mit was kann man ein system abseits der sprungantwork characterisieren?
Mit der impulsantwork/Gewichtsfunktion
-> reaktion des systems auf anlegen des dirac impulses
h(t) = W{dirac(t)}
Wie kann man ein signal mittels dirac impuls darstellen?
= x(t) * h(t) -> faltung
=> Kenntnis der Impulsantwort reicht zu seiner beschreibung völliig aus
Welche eigenschaften hat die Faltung?
kommutativ
h(t) * g(t) = g(t) *h(t)
distributiv
h(t) * (g1(t) + g2(t)) = h(t) *g1(t) + h(t) *g2(t)
assoziativ
h(t) * (g1(t)*g2(t)) = (h(t)*g1(t)) * g2(t)
Was benützt man anstatt des Faltungsintegrals im zeitdiskreten fall?
faltungssumme
Ist die darstellung von Signalen im Ferquenzbereich möglich?
ja
Wieso stellt man Signale im Frequenzbereich dar?
oft (nicht immer) resultiert daraus eine einfachere mathematische behandlung
häufig gewinnt man dadurch zusätzliche einsichten
Wie geht man bei periodischen Signalen dar wenn man sie im Frequenzbereich behandeln möchte?
ansehen eines Signals als
überlagerung von periodischen elementarsignalen
unterschiedlicher Amplitude, frequenz und phase
=> beschreiben welche Amplituden und phasen welcher frequenz zugewiesen werden muss
-> damit man durch überlagerung wieder das betrachtete signal erhält
Was stellt ein Spektrum dar?
Amplitudenspektrum:
die verteilung der Amplituden über der frequenz
phasenspektrum:
verteilung der phasen über der frequenz
Wann ist eine funktion periodisch?
wenn mit periode T gilt:
f(t) = f(t+T)
Was ist die frequenz eines signals?
mit periode T
f = 1/t
=> wie oft widerholt sich das signal pro zeiteinheit…
Was ist die kreisfrequenz omega (w)?
w = 2pif = 2pi/T
häufig gesetzt grundschwingung: w0 = 2pi / T
Was ist die fourier reihe?
entwicklung einer periodischen funktion f(t) mittels mehrerer sinus und cosinus funktoinen
mit an, bn : Fourier Koeffizienten
w0 : Grundschwingung
n w0, n> 1 : Oberschwungungen oder “Harmonische”
Wie gewinnt man die Fourierkoeffizienten an und bn?
multiplikatoin der fourier reihe mit cos(n w0 t) bwz. sin (n w0 t) und integration über die periode (-T/2;T/2)
Wie kann man die Fourierrehie komplex darstellen?
mittels der komplexen e-funktion
Wie wird der sinus komplex dargestellt?
sin(w0 t) = -j/2 (e^(j wo t) - e^(-j w0 t))
Wie wird der cosinus komplex dargestellt?
cos(w0 t) = 1/2 (e^(jw0t) + e^(-jw0t))
Wie lässt sich die komplexe fourier entwicklung umschreiben w.r.t. koeffizient c?
wobei c* konjungiert komplex…
Wie kann man cn, cn* berechnen?
=> cn = c_-n*
Was ist die kompakte darstellung der fourier reihe?
Wie kann man cn alternativ darstellen?
Welche informationen enthalten die komplexen cn?
die gleichen Inforamtionen wie an und bn zusammen genommen…
Wie verhält sich das spektrum von cn im vergleich zu an und bn?
anstatt jeweils ein spektrum wie in an und bn
-> cn hat komplexes spektrum
Worin lässt sich ein komplexes spektrum zerlegen?
in ein Betragsspektrum
und in ein Phasenspektrum
Was ergibt sich aus der tatsache, dass wir für die fourier reihe mit ck von -inf bis +inf integrieren?
das spektrum ist nun auch für negative n (d.h. negative frequenzen) erklärt!
Wie können wir nicht-periodische signale darstellen?
Vorher:
fourier analyse mit fourier reihe
jetzt:
fourier-transformation
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