VL04

• analyse nicht-periodischer, kontinuierlicher signale

• d.h. signale mit periodendauer T -> inf

• w0 strebt gegen null

• -> unterscheidung in diskrete spektrallinien, die jeweils diskrete Elementafrunktion repräsentieren, nicht mehr möglich

• => statdessen definition einer Amplitudendichtefunktion F(w)

• kontintinuierlich definiert für

• - inf < w < inf

=> Bezeichnet amplitude pro frequenz

F(w) = cn / delta w

• Signal wird aufgefasst als zusammengesetzt

• aus nicht abzählbar, unendlich vielen elementarfunktionen

• Jetzt: T -> inf; w0 -> 0

• => abstand zwischen spektrallinien delta w -> dw

• cn -> c

• cn/delta w = F(w) -> c = F(w) dw

• alle frequenzen gleichmäßig

• -> konstantes signal 1

1. linearität

   • F{a f1(t) + b f2(t)} = a F1(w) + b F2(w)

2. Zeitliche Spiegelung

   • F{f(-t)} = F(-w)

3. Vertauschungssatz

   • F{F(t)} = w pi f(-w)

4. Ähnlichkeitssatz

   • F{f(at)} = 1/|a| F(w/a)

5. Zeitverschiebung

   • F{f(t-t0)} = F(w) * e^(-jwt0)

   • -> Zeitverschiebung hat selbes spektrum aber multiplitziert mit phasen term…

6. Frequenzverschiebung

   1. F{f(t) * e^(+- jw0t)} ? F(w -+ w0)

• Gegeben: niederfrequenz audio fNF(t) und korrespondierendes spektrum FNF(w)

• -> multiplikation mit träger signal cos(w0t)

• -> F{fNF(t) cos(w0t)} = F{1/2 fNF(t)[e^(jw0t) + e^(-jw0t)]}

• = 1/2[FNF/w-w0) + FNF(w+w0)]

Damit: Übertragung des ursprünglichen Signals über kanäle die übertragung im basisband (um 0) nicht zulassen möglich

• F{f1(t) * f2(t)} = F1(w1) * F2(w2)

• -> links: faltung

• -> rechts: multiplikatoin

• => Transformation von gefalteten signalen entspricht der multiplikatoin der transformation der einzelnen signale

Faltung im zeitbereich entspricht multiplikation im frequenzbereich

• F{f1(t) * f2(t)} = 1/2pi F1(w) * F2(w)

• -> links: multipliktaion

• -> rechts: faltung

Multiplikation im zeit-bereich entspricht faltung im frequenz-bereich

• generell im system: sei h(t) die impulsantwort dann gilt:

• y(t) = h(t) faltung x(t)

• => transformation in fourier, multiplikation und rück-transformation erleichtert dies…

• Systemfunktion oder Übetragungsfunktion genannt

• hoch- und tiefpass

• lässt nur frequenzen innerhalb eines bandes passieren ([w_gu, w_go]) unter- und oberband

• nein da nicht kausal