Fragenteil-TOPSECRET

Bedigung für Parabolisch:

a) kommt nicht in Frage, da 1.Ordnung

b) parabolisch? mit a,c=1 und b=-2: (-2)^2-4*1*1=0 check Neumann: nein, da ableitungen du/dx(x=0)=0

c) auch parabolisch: a,c=1 b=2

Neuchmann: du/dx(0,y)=g(y) check

d) ist nicht parabolisch

Antwort c)

Vermutung

a), da elliptische Daten für stationäre Vorgänge geeignet sind

Vermutung nacht langem studium der Folien:

b) oder a)

in Folien gefunden:

linksseitig: c) (eher bei positiver Strömungsrichtung?) vgl. S. 274

rechtseitig:b)

b)

abgewandelte Burgers-gleichung, siehe Buch S198 Bsp5.10

noch machen

3

noch checken

alte, gekreuzte LSG Stimmt, siehe Buch S.93

stimmt

noch abchecken

partiell, da nach x und t abgeleitet wurde

1. Ordnung, da u 3-fach abgeleitet wurde

homogen wegen =0?

quasilinear wegen U*Ux

check done

a) homogene,hyperbolische PDGL 2. Ordnung für 0<=x<pi/2

homogene, parabolische PDGL 2.Ordnung für x=pi/2

homogene, elliptische PDGL 2.Ordnung für pi/2<x<pi

b) homogenes, partielles DGL-System 1. Ordnung

zweiter Ordnung:

elliptisch; Bsp:stat GG-zustände in Festigkeitslehre, Magnetostatik, Strömungsmechanik oder Thermodynamik: Gleichungen der Elektrostatik

parabolisch; Bsp: Wäreleitungsgleichung, Navier-Stokes

hyperbolisch: Wellen- und Ausbreitungsphänomene Bsp: Wellengleichung

erster Ordnung: Evollutionsgleichung

Beim expliziten Verfahren wird mithilfe des Zustandes xi, y(xi) yi+1 berechnet, also wird der neue zustand aufgrund der alten Tendenz berechnet, somit schätzt man quasi den zukünftigen Wert ab

Beim impliziten Verfahren hängt der neue zustand selbst von sich ab, dh man braucht bereits eine Abschätzung des neuen Zustands, die man duch das explizite Verfahren gewinnt.

Somit generiert sich ein Prädiktor-korrektor Verfahren, z.b. das Verfahren von Heun oder die Verbindung von Adams-Bashforth und Adams-Moulton

Das implizite Rechenverfahren wird vornehmlich für statische und quasistatische Problemstellungen verwendet, d.h. für Aufgaben in denen Trägheitskräfte entweder unbedeutend, oder nicht vorhanden sind. Problemstellungen also, in denen die Summe der Kräfte gleich (z.B. Statik) oder annähernd Null (z.B. Umformprozesse) sind.

Das explizite Rechenverfahren wird vornehmlich für quasistatische und dynamische Problemstellungen verwendet, bei denen Trägheitskräfte also entweder entscheidend sind (z.B. Stoßvorgänge) oder nicht relevant (z.B. Massivumformung).

(Quelle: https://ihf-ffm.de/wissen/explizit-implizit#w2_0, 14.07.2023)

lsg abchecken

(Es macht kein Sinn sie exakt zu lösen, da sie schon aus genäherten Lösungen bestehen) glaub ich

-ja richtig

> aber auf der anderen Karte hab ich mit Chat PGT ne andere Lösung gefunden. Karte auf jeden Fall doppelt

Stoßwellen, siehe Bsp 5.14 S.211f

Vermutung

Randwerte an Gitterzelle:

• hyperbolisch: Eulergleichungen

• parabolisch: instationäre Wärmeleitung

• elliptisch: Balkenbiegung

zu FE

• A: partiell, 2. Ordnung, linear, inhomogen, parabolisch

• B: partiell, 1. Ordnung, linear, inhomogen

• C: partiell, 2. Ordnung, quasi linear, hyperbolisch

• D: partiell, 1. Ordnung, nicht linear, Burger-Gleichung

• Gleichungssysteme werden zu groß und komplex

  • iterativ braucht man weniger Speicher und Rechenzeit für das gleiche System

  • erlauben Vorbedinger > Beschleunigung Konvergenzgeschw.

iterativ:

Schätzung abgeben > ausrechnen > ergebnis wieder asuwerten > wiederholen bis Abbruchbedingung erreicht ist

Stabilität: untersuchen, wie num.Verfahren auf störungen reagiert

Konsistenz: wie groß ist mein Fehler?

Verbessert eher durch lineare Approximation, also MUSCLE Verfahren💪

1. ODE oder PDE

   • Ableitung nach einer oder mehreren Variablen

2. Ordnung der DG

   • Ableitungsgrad der höchsten Ableitung entspricht Ordnung

3. Linear vs. nicht linear

   • Nichtlineare Differentialgleichungen beinhalten nichtlineare Terme, wie Produkte oder Potenzen der Unbekannten oder ihrer Ableitungen

4. Explizit oder Implizit

   • Explizite DGL haben die Form y' = f(x, y)

   • Implizite DGL haben die Form F(x, y, y') = 0

5. Homogen vs. inhomogen

   • homogen: Rechte Seite 0

   • inhomgen: Rechte Seite funktion von variable

quasilinear, elliptisch, parabolisch, hyperbolisch…

linear mit konstanten Koeffizienten, wenn gilt:

18 genaue Dezimalstellen bedeutet, dass die Maschinenkennzahl p 18 ist. Die Anzahl der gültigen Dezimalstellen ergibt sich zu:

Damit könen mindestens 11 Dezimalstellen als gültig betrachtet werden.

Die Matrix A muss quadratisch sein (durch n x n schon gegeben). Außerdem muss sie regulär sein ( det A ≠ 0)

Zur Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens ist zu sagen, dass bei einer symmetrischen positiv-definiten Matrix A das Verfahren sicher konvergiert.

LGS: A*x=b; A(n,n) hat widersprüchliche Gleichungen, notwendige (nicht hinreichende) Bedingung: rang(A)<n;

LGS ist lösbar für rang(A) = rang(A|b)

Zahl der Stützstellen (n) bei gleicher Zahl an Intervallen (m). Offen: m=n+1; Geschlossen: n=m+1

1. Rechnung mit Schrittweite h1; 2. Rechnung mit Schrittweite h2 (meist h2=h1/2); Vergleich der Ergebnisse liefert eine Abschätzung des Fehlers; Verbesserung des Ergebnisses durch Abzug des Fehlers; sukzessive Anwendung bis Fehler klein genug oder Ordnung groß genug

5

Simpson

Polynome höheren Grades neigen zu Oszillationen; Rechenaufwand relativ hoch bei hohen Polynomgrad;

Zerlegung der Kurve in mehrere Teilkurven zwischen den Stützstellen. Durch Anschlussbedingungen (f'' in den Punkten konstant; f0´´= fn´´=0) erhält man eine glatte Kurve

Interpolation: Ermitteln einer Funktion aus gegebenen Funkionswerten in einem Intervall; Approximation: Ermitteln einer Näherungslösung für eine Funktion

Spline-Interpolation; Lagrange und Newton zu aufwändig; Polynomgrad wäre zu hoch => Oszillationen

Hinzunahme einer weiteren Stützstelle ist kein Problem, bei Lagrange müssten alle Stützpolynome neu berechnet werden

Nachteile der Polynominterpolation: Polynome höheren Grades neigen zu Oszillationen; Rechenaufwand relativ hoch bei hohen Polynomgrad;

s. Skript

1. Lösen des AWP mit vorgegebenen Anfangswert y(a)=p und y'(a)=g1 => L1;

2. Wiederhole 1. mit y'(a)=g2 (ebenfalls beliebig) => L2 ;

3. Da lineares Problem => Superposition: K1*L1(a)+K2*L2(a)=p ; K1*L1(b)+K2*L2(b)=q;

4. Löse das LGS => y(xi )

Eigenvektoren sind linear unabhängig, dementsprechend spannen sie den n-dimensionalen Raum auf und können als Basis verwendet werden.

Iteratives Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen…. ?

Eigenwerte

Thomas-Algorithmus löst LGS A*x=b , wenn A tridiagonal ist. Beispiele: Finite-Differenzen-Verfahren, Spline-Interpolation

Ergänzung ChatGPT

Lineare DGLs haben die Eigenschaft, dass die Unbekannte und ihre Ableitungen nur linear in der Gleichung vorkommen. Das bedeutet, dass die Unbekannte y und ihre Ableitungen y', y'', usw. mit Konstanten multipliziert und addiert werden dürfen, aber nicht in nichtlinearen Termen wie Produkten oder Potenzen auftreten dürfen.

Eine lineare DGL kann in der Form geschrieben werden als a_n(x) y^n + a_{n-1}(x) y^{n-1} + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x), wobei a_i(x) und f(x) Funktionen von x sind. Die Koeffizienten a_i(x) können von x abhängen, aber nicht von y oder ihren Ableitungen.

Lineare DGLs sind gut lösbar

Ergänzung ChatGPT

Quasilineare DGLs sind eine Erweiterung der linearen DGLs, bei denen die Unbekannte und ihre Ableitungen in nichtlinearen Termen auftreten dürfen, aber nur in einer bestimmten Art und Weise.

Eine quasilineare DGL kann in der Form geschrieben werden als A(x, y) y' + B(x, y) = f(x, y, y'), wobei A(x, y), B(x, y) und f(x, y, y') Funktionen von x, y und y' sind.

Der Unterschied zur linearen DGL besteht darin, dass die Funktionen A(x, y) und B(x, y) von y abhängen können, aber nicht von den Ableitungen y'. Die Gleichung bleibt jedoch linear in Bezug auf y'.

Nichtlineare DGLs erlauben nichtlineare Terme, in denen die Unbekannte und ihre Ableitungen in beliebiger Weise auftreten können. Dies führt zu einer allgemeineren und komplexeren Art von Gleichungen.

Nichtlineare DGLs können verschiedene Formen haben und können hochgradig komplex sein. Sie erfordern oft numerische Verfahren oder Approximationen, um eine Lösung zu finden, da analytische Lösungen in vielen Fällen nicht verfügbar sind.

Nichtlineare DGLs treten in vielen physikalischen Phänomenen auf und können chaotisches Verhalten und komplexe Strukturen aufweisen.

Globales Galerkin liefert exakte Lösung, FE mit Hut Funktion nicht.

FE mit quadratischer Basisfunktion liefert auch das exakte Ergebnis