Fragensammlung Statik

Statisch überbestimmte Strukturen, weisen eine höhere Sicherheit auf, da bei Versagen eines Lagers nicht zwangsweise die gesamte Struktur versagt.

Joest: Statisch bestimmt =SG lassen sich allein durch GGB bestimmen

Joest: An Gelenken/Verbindungen, Lagern, Geschlossenen Maschen

Überall dort wo man schneiden kann ohne dass es kinematisch wird

Schnitte sind an Stellen vorgeschrieben, an denen das System nicht hinreichend durch externe Kräfte und Einspannungen festgelegt ist. Dies sind Stellen mit unbekannten Reaktionen, Gelenken oder Lagern, Bereiche mit variablen Lasten oder Momenten.

Statische Bestimmtheit ist nur gegeben, wenn die Lager- und Gelenkkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können.

• Polplan

• Determinantenverfahren

1. Determinantenkriterium

2. Polplan

Äußerlich stat. best.: Lagerreaktionen können mit den GGB aus Lagerreaktionen und Belastungen bestimmt werden.

Innerlich stat. best.: Schnittgrößen können an geschnittenen Teilsystemen mit Hilfe der GGB aus der Belastung berechnet werden.

Formänderungsenergie ist die Energie, welche in einem Körper infolge seiner Deformation gespeichert ist.

Wik = Wki, aus dem Satz von Betti folgt der Satz von Maxwell, welcher besagt, dass die Einflusszahlen in einem Punkt symmetrisch sind (αik = αki). Anstatt zwei gleiche Systeme gleichzeitig zu belasten, kann auch ein System nacheinander mit zwei Kräftesystemen beaufschlagt werden.

Joest: Kräfte sind proportional zu Verschiebungen->Berechnung für statisch unbestimmte Systeme

DWV, KGV, WGV

GDP: Prinzip der virtuellen Verrückung PvV, KGV mit Arbeits- und Reduktionssatz

-Verschiebungen (u und w)

-Verdrehungen

-Schnittgrößen (Lagerreaktionen in staticsh unbestimmten Systemen)

Eine äußerlich stat. unbest. Struktur kann in eine äquivalente stat. best. Struktur umgewandelt werden, indem man überzählige Lagerreaktionen eliminiert oder Gelenke einfügt. Die entferten Reaktionen des Systems werden durch eine virtuelle Kraft ersetzt. (Bsp.: Stab mit Einspannung an der einen Seite und Loslager an der anderen, Reduktion durch Entfernung des Loslagers)

ISD FOS: Mit dem Reduktionssatz kann man die Verformungen eines statisch unbestimmten Systems berechnen, indem man die tatsächlichen Schnittgrößen mit den Schnittgrößen aus einer virtuellen „1-Last“ kombiniert. So erhält man die Verschiebungen oder Verdrehungen direkt aus der Überlagerung von realer und virtueller Belastung.

Dehnfeder: (ΣFiFi)/cF

Drehfeder: (ΣMiMi)/cF

Lagerverschiebung: -ΣaiFAi

Lagerverdrehung: -ΣphiiMAi

Einflusslinien dienen zur Darstellung einer Einflussgröße, welche an einer beliebigen Stelle in einem Tragwerk angreift und am jeweiligem Ort fest besteht (Schnittgröße, Verschiebung, Verdrehung, ...).

GDP: Einflusslinien dienen dazu, die Schnittgrößen oder Auflagerreaktion durch Ortsveränderliche BElastung an einem festn Ort im tragwerk darzustellen.

Analytisch über Gleichgewichtsbedingungen oder mit der kinematischen Methode, die auf dem Satz von Land basiert.

Man erhält die Einflusslinie für eine Kraftgröße an der Stelle “k” indem man die zur gesuchten Kraftgröße konjugierte Weggröße “-1” an der Stelle “k” als Verformungsfall einprägt. Die Biegelinie infolge “-1” ist mit der Einflusslinie für die Kraftgröße identisch. (Gilt sowohl für WGV als auch KGV)

GDP: Die Einflusslinie einer Kraftgröße Zi entspricht der Biegelinie im System, welche durch eine zur Kraftgröße korrespindiere Weggröße “1” hervorgerufen wird.

Joest: ->Einflusslinie entspricht Biegelinie durch Weggröße “1”

DWV: Berechnung erfolgt nur über Verdrehung der Stäbe an den Verbindungspunkten. Stäbe werden als dehnstarr angenommen, diese Annahme ist für das WGV nicht notwendig.

WGV: Berechnung über Verschiebung der Knoten und Verdrehung der Stäbe an den Knoten

Kinematische Verträglichkeitsbedingung ⇒ Summe der Kräfte muss 0 sein

Beim DWV werden Konten festgehalten, sodass das System vollständig kinematisch bestimmt ist. An den Konten wird jeweils eine Einheitsverdrehung angesetzt und für die Verformungszustäde jeweils die SG berechnet (für jeden Knoten, der festgehalten wird, wird ein seperater EVZ erstellt). Anschließend werden über die Verträglichkeitsbedingung die Weggrößen Yi berechnet. Es folgt die Superposition der SG-Teile aus den einzelnen Verformungszuständen, die EVZs werden dabei mit den Weggrößen skaliert. Verformungen durch Normalkräfte werden nicht berücksichtigt.

Prinzip der virtuellen Arbeit.

es können nur verläufe von einem stat best. system bestimmt werden. --) überzählige verb. entfernen --) stat. best. hauptsys). einflüsse der entfernten reakt. werden mit den esz, einflusszahlen, kraftgrössen berücksichtigt. LSZ mit ESZ anteilig superponieren.

Joest: Kraft bestimmen, -> Verschiebung erhalten

KGV: kinematische Verträglichkeitsbedingung => Summe der Kräfte muss = 0 sein. Liefert Kraftgrößen Xi

JOEST: KGV->

WGV: es darf keine Inkompatiblen Verzerrungen geben => wird benötigt um die Systeme zu verbinden.

JOEST: WGV->

Unterschied: Verträglichkeitsbedingung KGV basiert auf dem Kräftegleichgewicht, WGV auf der Kompatibilität der Verschiebungen und Verformungen

Summe der Momente am Knoten muss =0 sein => Liefert Weggrößen Yi

Verschiebung orthogonal zur Längsachse der Stäbe und Verdrehung. Verformungen durch Normalkräfte werden nicht berücksichtigt

⇒ EA → ∞

Werkzeug zur Bestimmung der strukturellen Kinematik in Tragwerken. Wir verwenden sie, um die kinematische Bestimmtheit zu bestimmen.

GDP: Sie zeigen Verschiebungen oder zeigen kinematische Bestimmtheit durch einen Widerspruch

Es liegen genug GGB vor um mit den GGB alle Auflagerreaktionen zu berechnen

“Ein Tragwerk (Struktur + Lagerung) ist statisch bestimmt, falls alle Schnittkräfte alleine durch die Gleichgewichtsbedignungen (GGW) bestimmt werden können”

1.Äußerlich statisch bestimmt: Ein Tragwerk wird als "äußerlich statisch bestimmt" bezeichnet, wenn die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen ausreicht, um alle unbekannten Reaktionen an den Auflagerstellen zu berechnen. Dies bedeutet, dass das Tragwerk stabil ist und seine Reaktionen eindeutig bestimmt werden können, ohne weitere Informationen über die Materialverformungen oder Verbindungen zu benötigen.

2.Ein Tragwerk wird als "innerlich statisch bestimmt" bezeichnet, wenn zusätzlich zu den Gleichgewichtsbedingungen weitere Informationen über die Materialverformungen oder Verbindungen erforderlich sind, um alle unbekannten Reaktionen an den Auflagerstellen zu berechnen. Das Tragwerk ist immer noch stabil, aber es gibt mehr Unbekannte als Gleichgewichtsbedingungen.

Wikipedia: die Arbeit, die die Kräfte des ersten Systems auf das zweite System übertragen ist gleich die Arbeit, die die die Kräft des zweiten Systems auf das erste System übertragen.

delta12=delta21

nützlich für Einflusszahlen, KGV

Joest: DWV betrachtet nur die Momente als primäre Unbekannten und ist eine spezielle vereinfachte Art des WGV in der Weggrößen künstlich gesperrt werden

KGV: Es können nur die Verläufe von einem statisch bestimmten System bestimmt werden. Daher werden überzählige Bindungen entfernt um somit ein statisch Hauptsystem zu bekommen. Die Einflüsse der entfernten Reaktionen werden mit den Eigenspannungszuständen (ESZ), den Einflusszahlen 𝛿𝑖𝑗 und den Kraftgrößen 𝑋𝑖 berücksichtigt. Die Anteile aus dem LSZ werden mit denen der ESZ multipliziert und mit den Kraftgrößen superponiert.

WGV: Eine Auflagerreaktion blockiert eine Verschiebung/ Verdrehung an dieser Stelle in diese Richtung. Ohne Lagerkomponente ist eine Verschiebung/ Verdrehung möglich. Die Beanspruchung wird durch die Steifigkeitsmatrix in Beziehung zur Verformung gesetzt.

Bei Schnittgrößenvektoren die ersten drei einträge: das VZ umdrehen

KGV: Normla VZ konvention

1. Einflusslinien dienen dazu, die Schnittgrößen oder Auflagerreaktionen durch eine Ortsveränderliche Belastung an einem festen Ort im Tragwerk darzustellen

   Joest: geben den Einfluss ortsveränderlicher Lasten auf Schnittgrößen und Auflagerreaktionen an festen Stellen an.

2. - Satz von Land (Kinematische Methode)

   - Analytisch über GGB (Joest: Gleichgewichtsmethode)

Die Einflusslinie einer Kraftgröße Zi entspricht der Biegelinie im System, welche durch eine zur Kraftgröße korrespondierende Weggröße „1“ hervorgerufen wird.

Joest: AV = 65kN, Ma=550kNm

Joest: phi

Joest: c)

Joest d) nicht null: u2, w2, phi2, u3, w3, phi3 (check 3) phi4

- Prinzip der virtuellen Verrückung PvV

- Kraftgrößenverfahren mit Arbeits- und Reduktionssatz: PvK

- Verschiebungen (u und w)

- Verdrehungen

- Schnittgrößen

- Auflagerreaktionen in statisch unbestimmten Systemen

Beim DWV werden Knoten festgehalten, damit das System vollständig kinematisch bestimmt ist. An den Knoten wird jeweils eine Einheitsverdrehung angesetzt und für die Lastfälle das Momentengleichgewicht für die überlagerten Fälle gelöst (Verträglichkeitsbedingung) Der reale Momentenverlauf entsteht aus der Superposition des LVZ und der skalierten EVZ. Verformung durch Normalkräfte werden vernachlässigt (EA gegen unendlich)

Eine Auflagerreaktion blockiert eine Verschiebung/ Verdrehung an dieser Stelle in diese Richtung. Ohne Lagerkomponente ist eine Verschiebung/ Verdrehung möglich. Die Beanspruchung wird durch die Steifigkeitsmatrix in Beziehung zur Verformung gesetzt.

Joest: Verschiebung berechnen -> Kraft erhalten

Es können nur die Verläufe von einem statisch bestimmten System bestimmt werden. Daher werden überzählige Bindungen entfernt um somit ein statisch Hauptsystem zu bekommen. Die Einflüsse der entfernten Reaktionen werden mit den Eigenspannungszuständen (ESZ), den Einflusszahlen 𝛿𝑖𝑗 und den Kraftgrößen 𝑋𝑖 berücksichtigt. Die Anteile aus dem LSZ werden mit denen der ESZ multipliziert und mit den Kraftgrößen superponiert.

Joest: Kraft bestimmen -> Verschiebung erhalten

Joest: notwendige Bedingung: Abzählkriterium-> stat. Bestimmtheit.

hinreichende Bedingung: Polplan-> kinematische BEstimmheit, Determinantenverfahren-> Det=0 -> Kinemat (?)

Joest: Stellt Vereinfachung der Berechnung von Verschiebungen an statisch unbestimmten Systemen dar.

Lennart: Bsp: Lagerverschiebung, Knotenverschiebung

Formelsammlung: Mit Hilfe des Reduktionssatzes lassen sich die tatsächlichen Verformungen (Verschiebungen/ Verdrehungen) eines statisch unbestimmten Systems infolge der tatsächlichen Belastung berechnen. Hat man den tatsächlichen Schnittgrößenverlauf bestimmt, kann man mit Hilfe des Reduktionssatzes die Verformungen ermitteln, indem man die tatsächlichen Schnittgrößen mit den Schnittgrößen aus der virtuellen Belastung (zur gesuchten Verformung korrespondierende aufgebrachte "1Last) überlagert.

Lennart:

Joest:

Lennart: WGV, linkes Schnittufer N,Q,M VZW! (check)

GDP: Die Verschiebungen bzw verdrehungen an den Stellen er weggeschnittenen auflagerreaktionen müssen 0 sein.

Lennart: noch nie Lambda gesehen, muss Xi sein

Joest: In statisch unbestimmen System herrscht Zwang, Kräfte durch Temperaturlasten, usw. können blockiert sein, was zu erhöhten Belastungen führt. In statisch bestimmen System ist das nicht der Fall.

„Federn verhalten sich prinzipiell wie Lager, leiten aber zusätzliche Arbeit“

Eine Temperaturänderung führt zu zusätzlichen Dehnungen und Krümmungen.

1. Definition eines globalen Koordinatensystems

2. Unterteilung des Gesamtsystems in Teilsysteme an Gelenken, Einleitungspunkten von Einzellasten sowie Übergängen von Stäben unterschiedlicher Orientierung

3. Benennung der einzelnen Teilstäbe

4. Einführung einer globalen Nomenklatur der Freiwerte