• 8 Seiten Doktorarbeit, anfangs des 20 Jahrhunderts

• Die Grudsätzliche Idee:

  in einem bestimmten Bereich ist ein Verschiebungsfeld vorgegeben. Das wird eine Funktion

sein. Mit irgendeinem Parameter Roh

damit wird die qualitative Kontur des Systems vorgegeben.

Der Ritz hat Funktionen entwickelt die bestimmte Randbedingungen erfüllen.

Wenn man den Balken anguckt, dann sieht man die Deformationskurve. Das kann eine Funktion zweiter dritter oder vierter Ordnung sein. Das Ritzsche Verfahren sagt jetzt, dass man sich eine Funktion suchen muss, bei denen die Randbedingungen an der Einspannstelle erfüllt sind.

Man kann weitergehen und noch dynamische Randbedingungen, also die Biegemomente festlegen. Dann hat man alle Randbedingungen erfüllt - also alle vier.

Das könnte jetzt ein Element sein. Man kann diesen Balken aber auch in viele kleinen Segmenten unterteilen.

Dann gelten die linken Einspannbedingungen beim Element zum Nachbarelement-Verschiebung oder Winkel oder Biegemoment —> Man erhält dann Bedingungen zum Nachbarelement

Wenn man das so für jedes Segment macht bekommt man eine Funktion

heraus.

Rounge Polynome

Wenn man eine hohe Ansatzfunktion nimmt, also

diese erfüllt alle vier Randbedingungen dann ist die Genauigkeit aller Probleme sehr hoch. Wenn man noch mehr Elemente nimmt, also den Balken in mehreren kleineren Segmenten unterteilt, wird die Genauigkeit noch viel höher. Dann kommen Fehler weit unter 1 % auf. Man kann dann sehr genau, fast exakt die Verschiebungsfelder berechnen.

Was man jetzt noch bestimmen müsste ist die,

qualitative Funktion, wo man den Parameter Roh

die unbekannte Konstante ermittelt. Dadurch erhält zunächst nur den Verlauf der Kontur und nicht die Durchbiegung.

Die Durchbiegung erhält man dann mit der FEM durch die Hauptgleichung und das Auflösen der Matrizen.

Am Ende bekommt man dann eine Gleichung dieser Art.

Das ist die Hauptgleichung der finiten Elemente K x U = R und das bedeutet nichts weiteres als das man K die Steifigkeit des Systems integriert hat. Das ist eine Matrix die alle Funktionen enthält. U ist die Spaltenmatrix der Freiheitsgrade - das wären diese Rohs und R sind die äußeren Lasten.

Danach muss das K auf die andere Seite gebracht werden um U rauszubekommen. Das schafft man, wenn K invertiert wird.

So entstehen dann die 1Mio auf 1Mio Matrizen.

Was wir noch erkennen ist, dass man viele Matrizen miteinander multiplizieren muss.

Dann ist der Rechenfehler sehr sehr schnell sehr hoch. Also hat man nicht mehr die Problematik mit der FEM die richtigen Elemente zu wählen. Man hat bei vielen ganz ganz kleinen Elementen die H-Methode, also die High of Elements. Die Problematik ist, dass man dann numerische Fehler bekommt.

(Beispiel hat er genannt, dass man überall reinleuchten will - also alles bestimmen, deshalb wird es irgendwann zu komplex zu berechnen? die Matrix wird zu groß - “Man muss immer was herschenken!”)

Nochmal zur Wiederholung, man hat eine Ansatzfunktion dritter Ordnung

oder eine in vierter Ordnung

die erfüllt dann alle Randbedingungen.

Das Problem, dass man dann mit der Funktion hat ist, dass man Roh noch bestimmen muss.

Das wäre im großen U drin. Man hat am Ende eine Ansatz und Vergleichsfunktion, also das was die Deformation bechreibt.

Die Steifigkeitmatrix K ist singulär, um sie invertieren zu könen muss man hier Zahlen und Spalten streichen. Man muss Randbedingungen für die Verschiebung U oder Rohs angehen.

Beispielsweise, wenn man das System irgendwo einspannt.

• Links wird eingespannt —> Verschiebung ist 0 an diesem Punkt, also kann man hier in den Zeilen und Spalten die Werte streichen.

• Hinten rechts im Knoten wird eine Kraft eingeleitet

• Dann wird die Gleichung K*U=R regulär und K kann invertiert werden

• Das bedeutet, dass man Randbedingungen/Globale Randbedingungen einführen muss, die in sinnhafte Komponenten angegeben werden müssen.

• 12 Freiheitsgrade = 12x12 Matrix

• Die Rohs sind die Verschiebung