Was ist ein Punkt? (Euklid)
etwas, was keine Teile besitzt
Was ist eine Gerade (Euklid)
eine Linie, die gleich liegt mit den Punkten auf ihr selbst mit breitenloser Länge
Der Punkt A liegt auf der Geraden g.
Die Gerade g geht durch den Punkt A
Der Punkt A ist ein Element der Geraden g
Der Punkt A inzidiert mit der Geraden g
Inzidenzaxiome
2 Modelle erfüllen alle Inzidenzaxiome:
Was ist die Voraussetzung für die Inzidenzaxiome
Ableitungen aus den Inzidenzaxiomen
Zu zwei verschiedenen Geraden gibt es höchstens einen Punkt, mit dem beide inzidieren
Zu jedem Punkt gibt es mindestens eine Gerade, die mit ihm inzidiert
Axiome der affinen Inzidenzgeometrie
alle drei Inzidenzaxiome + Parallelenaxiom
Parallelenaxiom
zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine Parallele
entweder gleich oder keine Schnittpunkte
Gilt im 9 Punktemodell
Die Parallelität ist eine Äquivalenzrelation
—> reflexiv, symmetrisch und transitiv
Wenn c b nicht schneiden würde, wäre c parallel zu b. Aber dann wäre c auch parallel zu a (und das geht nicht, weil at& c keine Schnittpunkte haben)
Affine Ebene der Ordnung k
Axiome der Anordnung- Ordnungsrelation
Lineare Ordnungsrelation
Eine Relation M heißt lineare Ordnungsrelation, wenn M eine strenge Ordnungsrelation ist und die Linearität gilt
Ordnungsaxione (basics)
Punkte auf einer Geraden sind linear angeordnet
Ordnungsaxiom
2 Ordnungsaxiom
Was folgt aus O2?
Auf einer Geraden liegen unendlich viele Punkte
3. Ordnungsaxiom
Ordungsaxione- Konsequenzen für Strecken
Auf einer Strecke liegen alle Punkte zwischen A& B oder sie sind A und B
Komplementäre Halbgeraden
Was sind kolineare Punkte
Eine Punktemenge a, b heißt Winkel, wenn…
Drehrichtung bei Winkeln
GEGEN den Uhrzeigersinn
Winkelklassifikationen
Stufenwinkel und Wechselwinkel
Scheitel- und Nebenwinkel
Winkelmaßaxiome
Klassifikation von Winkelgrößen
Längenmaßaxiom
2. Längenmaßaxiom
3. Längenmaßaxiom
Der Punkt M heißt Mittelpunkt der Strecke AB, wenn gilt:
Winkelhalbierende
Winkel ist halb so groß wie Winkel a,b
Lotgerade und Lotfußpunkt
Verträglichkeit von Orthogonalität und Parallelität
Was ist das 4. Axiom der affinen Ebene
Zwei Geraden a und b heißen parallel, wenn…
Die Parallelität ist eine ___ relation
Äquivalenzrelation
Eine Relation M heißt Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und asymmetrisch ist
Eine Relation M heißt strenge Ordnungsrelation, wenn …
Wenn sie transitiv und asymmetrisch ist
Eine Relation M heißt lineare Ordnungsrelation, wenn gilt:
Transitivität, Asymmetrie und Linearität
Aus dem zweiten Axiom der Anordnung ergibt sich…
Dass es auf einer Geraden unendlich viele Punkte gibt
Was unterscheidet eine Strecke von einer Halbgeraden ?
Strecken haben einen Anfangs- und Endpunkt, Halbgeraden haben nur einen Anfangspunkt
Wenn a und b gleich sind, ist der Winkel…
Gestreckt
Stufenwinkel liegen in ______ Ebene bezüglich der dritten Gerade c, die die Geraden a und b schneidet
Liegen in derselben Halbebene
Wechselwinkel liegen in. _____ Halbebenen bezüglich c
Liegen in verschiedenen Halbebenen
In welchem Verhältnis stehen Scheitelwinkel zueinander ?
Sie sind gleich groß
In welchem Verhältnis stehen Nebenwinkel zueinander?
Zusammen 180° (man kann deswegen den Fehlenden berechnen )
Winkelhalbierendene
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