V07 - Laplace-Transformation

• discrete time fourier transformation

  • FT:

-> abtetastetes Signal mit t = nT

-> Summe reicht, da wir nur diskrete Werte zur Verfügung haben

• Um anzudeuten dass das resultierende Spektrum kontinuierlich und periodisch ist

• eine art normierte Frequenz

• -> wird in der DTFT verwendet da spektrum periodisch

• => wdh alle 2 pi

• für viele nichtperiodische fkt konvergiert das integral zum erzeugen der FT nicht…

• i.e. integral über sinus existiert nicht…

• einführung einer Dämpfung der Zeitfunktion mit

-> i.e. Wert der e-fkt nimmt mit steigendem t ab…

für bestimmte sigma reicht die Dämpfung aus um eine konvergenz herzustellen

-> einführung der Dämpfung im integral

danach: zusammenführen der e-fkt und ersetzen des terms

!!! betrachtung im kausalen fall!!!

• eine schar von spektraldichten abhängig von Dämpfungsfaktor sigma

• -> wofür einige nicht existieren können (da i.e. dämpfung nicht ausreichend für konvergenz…)

• in der komplexen s-ebene (da s = sigma + j omega)

• -> bereich mit abgrenzung paralell zur y-achse (i.e. für bsetimmte sigma werte (realteil)) -> konvergenzbereich

• F(s) stellt bei festem sigma die Spektraldichte der mit e^(-sigma t) gedämpften Zeitfunktion f(t) dar

• Einseitive (integration von 0 bis infinity)

• zweiseitive (integration von -infinity, infinity)

• LT hat im wesentlichen die gleichen Eigenschaften wie die FT

• -> aber deckt die meisten in der Praxis vorhandenen Fälle nicht-periodischer Funktionen ab!

• die zeitdiskrete version der LT

• -> in der notation wird e^(+sT) mit z abgekürzt