Kapitel 3 - Erwartungsnutzentheorie für Risikoentscheidungen

• Entscheider bestitzt eine Menge von Aktionen A. Jede Aktion a_i aus A induziert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Konsequenzen der Aktion.

Axiome:

Für diesen Entscheider existiert dann eine Erwartungsnutzenfunktion.

Jede Linearkombination aus zwei Elementen der Lotteriemenge ist wiederum in der Lotteriemenge enthalten.

Beispiel:

Lotteriemenge die nur eine Lotterie enthält ist konvex.

Der Entscheider ist in der Lage, bei Vergleich zw. Lotterie und sicherem Ergebnis anzugeben, für welches Lambda der Lotterie er indifferent zwischen Lotterie und sicherem Ergebnis ist.

Präferenzen für eine zusammengesetzte Lotterie hängen nicht von den gemeinsamen Konsequenzen ab ( (1-Lambda)*z)

Gegeben: Geordnete endliche Menge (x1, …, xn) von Konsequenzen. Indifferenz zwischen Lotterie X und Y.

Bsp: X = (36 : 1/2; 4 : 1/4; -25; 1/4) Y = (4 : 1). Entscheider ist zwischen X und Y indifferent.

Gesucht: N/M Nutzenfunktion.

Vorgehen:

Weise bester Konsequenz u(x)=1 zu. Weise schlechtester Konsequenz u(x) = 0 zu.

Setze E(u(X)) = E(u(Y)). Löse auf nach fehlender Präferenz.

Bsp:

• u(36) = 1

• u(-25) = 0

• E(u(x)) = u(36)1/4 + u(4) 1/4 + u(-25) * 1/4 = u(4) = E(u(Y))

• Einsetzen von u(36) und u(-25) und auflösen nach u(4) ergibt u(4)=2/3

Der Entscheider zieht der Erwartungswert der Lotterie der eigentlichen Lotterie vor.

Analog ist ein risiko-freudiger und ein risiko-neutraler Entscheider definiert.

Mit Anfangsvermögen w:

Nutzenfunktion:

u konkav < == > u’’ < 0 < == > Graph liegt oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier Punkte darauf

Für risikofreudig: u Konvex, risikoneutral: u ist eine Gerade

Was ist das Sicherheitsäquivalent?:

Das Sicherheitsäquivalent ist die sichere Zahlung die dem Entscheider den gleichen Nutzen bringt wie die Lotterie. (Er folglich indifferenz ist zwischen beidem)

Bestimmung:

1. Achte auf w falls vorhanden oder setze w = 0

2. Bestimme die Nutzenwerte jedes X-Wertes der Lotterie (Einsetzen jedes Lotteriewertes in die Nutzenfunktion)

3. Bestimme E(u(X)), indem jeder Nutzenwert mit der Wahrscheinlichkeit des dazugehörigen X wertes multipliziert wird (px1 * u(x1)). Summiere dann auf.

4. Setze u(s) = E(u(x)) und löse nach s* auf. Achte darauf, dass links die Nutzenfunktion mit eingesetzem s* stehen muss zu beginn.

Ist die Risiko-Prämie eines Entscheiders höher, als die eines anderen Entscheiders, so ist er risiko-averser.

Multipliziert man auf beiden seiten noch “*w”, dann hat man das A/P Maß der relativen Risikoaversion r*(w)

Bsp:

G hat mehr Fläche unter der Verteilungsfunktion als F, daher ist Y (mit G als Verteilungsfunktion) riskanter als X (mit F als verteilungsfunktion).

Verbindung zu N/M:

MPS ist ein Spezialfall der Stochastischen Dominanz für E(X) = E(Y) (kommt aus Bedingung (1) oben).

Stochastische Dominanz 1. Ordnung:

X dom. Y -> X würde von allen N/M Entscheidern gewählt

Stochastische Dominanz 2. Ordnung:

X dom. Y -> X würde von allen risikoaversen Entscheidern gewählt

MPS:

X dom. Y -> X würde von allen risiko-aversen Entscheidern gewählt