Was ist der Unterschied zwischen Belastungen und Beanspruchungen?
Belastungen sind äußere Kräfte und Momente, welche an einem Element oder Bauteil angreifen. Diese Belastungen führen zu inneren Beanspruchungen.
Warum reichen die Gleichgewichtsbedingungen nicht aus, um den Spannungszustand eines Körpers zu bestimmen?
Die 6 Gleichgewichtsbedingungen beinhalten 9 Unbekannte.
Welche Gleichungen sind nicht vom Material eines Körpers abhängig?
Sind die Gleichgewichtsbedingungen zwingend immer lineare Differentialgleichungen?
Die Gleichgewichtsbedingungen sind grundsätzlich nichtlinear, werden jedoch für viele technische Anwendungen linearisiert, d.h. Terme höherer Ordnung werden vernachlässigt. Im Falle großer Verformung ist die Anwendung linearer Gleichgewichtsbedingungen nicht zulässig!
Was folgt aus 𝜕𝜎𝑧/𝜕𝑧 = 0?
Die Normalspannung 𝜎𝑧 ist (in Z-Richtung) konstant
Was beschreibt f*?
f* sind die auf das Volumen bezogenen kontaktlosen Kräfte, die aufgrund des Schwerefeldes oder eines Magnetfeldes auf ein Volumenelement wirken. Sie greifen im Mittelpunkt des Volumenelements an. Sie beziehen sich auf ein Volumen, welches gegen null geht (infinitesimal klein ist) und werden deshalb auch als lokale (spezifische) Volumenkräfte bezeichnet. Einheit: N/m^3
Warum ist der Spannungstensor symmetrisch?
Weil die Momenten-Gleichgewichtsbedingungen dies erfordern! Tauxy = Tauyx
Zeichnen Sie die Spannungskomponenten mit den richtigen Richtungen (entsprechend Vorzeichenkonvention) in das Bild ein. Zeichnen Sie zur Übersichtlichkeit nur die positiven Richtungen/Schnittufer. Bestimme den Spannung Vektor im Punkt P für einen Schnitt mit der Normalen: n = [0, 0, 1]
Leiten Sie die Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente in Richtung der y-Achse bzw. um die y-Achse für den räumlichen Spannungsfall her.
Welche wesentlichen Unterschiede findet man zwischen den Nachgiebigkeitsmatrizen eines vollständig anisotropen Werkstoffs und einem orthotropen Werkstoff?
▪ Anisotropie benötigt 21 Materialkonstanten; Orthotropie lediglich 9
▪ Anisotropie führt zur Kopplung von Dehnungen und Scherungen, Orthotropie nicht
Wann ist der Zustand eines Festkörpers vollständig beschrieben?
Wenn Verschiebungen, Verzerrungen und Beanspruchungen in jedem Punkt des Körpers bekannt sind! Sind voneinander abhängig.
Die Abhängigkeit ist durch die DGL beschrieben. (Gleichung der Elastizitätstheorie)
Wie viele Gleichungen benötigt man zur Vollständigen Beschreibung des gleichgewichtzustandes eines Körpers?
18 Gleichungen (6 für GGB(3 Normal, 6 Schubspannungen), 6 für Verschiebungs-Verzerrungbedingungen (3 Verschiebungen, 3 Dehnungen und 3 Gleitungen), 6 für Stoffgesetze)
Nennen Sie Beispiele, in denen die elementare Balkentheorie nicht angewendet werden kann.
▪ Wenn der Balken gedrungen, also nicht schlank, ist
▪ Wenn Wölbeffekte auftreten
▪ Im Bereich von Lasteinleitungen
▪ Im Bereich von Aussparungen
Welches sind die 4 Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Scheibenmodells.
▪ Bauteildicke ≪ Kantenlängen = 0,1
▪ Belastungen (nur Volumenkräfte) wirken nur parallel zur Mittelfläche (keine Normalkräfte)
▪ Die Mittelfläche des Bauteils ist eben und bleibt auch bei Verformung eben
▪ Als Beanspruchungen werden nur Normalspannungen und Schubspannungen parallel zu Mittelfläche übertragen
Welche Rolle spielt das Scheibenmodell im Leichtbau?
▪ Flächenelemente sind Grundbauelemente des Leichtbaus (z.B. Hautfelder, Stege in Profilstäben etc.)
▪ Das Scheibenmodell kann, bei Erfüllung der Annahmen, sehr gut zur Modellierung der Flächenelemente verwendet werden
Ist der Verzerrungszustand einer Scheibe eben oder räumlich? Begründen Sie.
Der Verzerrungszustand ist räumlich, da die Annahme „𝜎𝑧 = 0“ erfordert, dass die Dehnung in Dickenrichtung 𝜀𝑧 nicht behindert wird.
Welche Annahme liegt dem hier aufgeführten Stoffgesetz für den ebenen Spannungszustand zu Grunde?
Isotopes Werkstoffverhalten
Wie ist die Airy`sche Spannungsfunktion 𝐹(𝑥, 𝑦) definiert?
Wie lautet die Gleichung zur Bestimmung der Spannungsfunktion?
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit diese Gleichungen, und damit die Verwendung der Spannungsfunktion, gültig sind?
▪ Der Körper muss eine Scheibe sein (keine Membranschale)
▪ Die Gleichgewichtsbedingungen müssen linear sein (kleine Verformungen)
▪ Volumenkräfte müssen vernachlässigbar sein 𝑓∗x = 𝑓∗y = 0
Welche zusätzlichen Informationen werden zur Bestimmung der Spannungsfunktion benötigt?
Zur eindeutigen Lösung einer Differentialgleichung wie der Scheibengleichung sind immer auch die Randbedingungen des Problems anzugeben. Es muss also mindestens bekannt sein, wie der Verlauf der Spannungen (und damit der Verlauf der Spannungsfunktion 𝐹) an den Rändern der betrachteten Scheibe aussieht.
Welches sind die drei Annahmen der Bernoulli-Hypothese?
ebene Balkenquerschnitte bleiben auch unter Belastung eben
Balkenquerschnitte, die vor der Belastung senkrecht zu Balkenachse stehen, stehen auch im verformten Zustand senkrecht zur Balkenachse
Die Querschnittsgeometrie ändert sich unter der Belastung nicht
Welchen Vorteil bietet die Anwendung der Bernoulli-Hypothese bei der Bestimmung des Beanspruchungszustandes in einer balkenartigen Struktur?
Zur Bestimmung des Beanspruchungszustandes müssen die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie (mind. 9 DGLn für 9 Unbekannte) gelöst werden, was einen hohen Aufwand bedeutet. Mit der Anwendung der Bernoulli- Hypothese lässt sich die Aussage ableiten, dass unter Biege- und Normalkraftbelastung nur eine lineare Normalspannungsverteilung auftreten kann. Damit reduziert sich das Problem auf die Bestimmung von 3 Parametern in einer linearen Ansatzfunktion, die einfach aus dem Gleichgewicht mit den Schnittkräften (𝑁, 𝑀by, 𝑀bz) bestimmt werden können.
Die Bernoulli-Hypothese nimmt eine lineare Normalspannungsverteilung nicht direkt an. Wie lässt sich aus den Annahmen der Bernoulli-Hypothese auf die lineare Normalspannungsverteilung schließen (bitte mit Worten begründen, keine Gleichung erforderlich)?
Unter welcher Bedingung ist die Bernoulli-Hypothese auch für orthotrope Werkstoffe (z.B. FVK-Laminate) gültig?
Solange der E-Modul in Richtung der Balkenlängsachse nicht über den Querschnitt variiert (𝐸x ≠ 𝑓(𝑦))
Schreiben Sie die Definitionsgleichungen für
das statische Moment um die y-Achse
das Flächenträgheitsmoment um die z-Achse
das biaxiale Flächenmoment 2. Grades
sowohl in der allgemeinen als in der Näherungsform für dünnwandige Querschnitte auf.
Worin liegt der Unterschied zwischen der allgemeinen Form und den Gleichungen für dünnwandige Querschnitte? (Flächenträgheitsmoment z.B.)
Die Formulierungen als Linienintegrale entlang der Mittelinie der Profilwände stellen nur eine Näherung der Flächenmomente dar, da sie die Anteile der Flächenmomente um die Mittellinie der Profilwand vernachlässigen. Die Integrale über die Fläche liefern hingegen die exakten Werte
Wann ist die Annahme der Dünnwandigkeit gerechtfertigt?
Schreiben Sie (aus dem Gedächtnis) die QSI-Formel (Kusinenformel) auf.
Welche GENAUE Bedeutung haben die „𝑆?“ in der von Ihnen angegebenen Gleichung?
𝑆𝑦, 𝑆𝑧: unvollständige statische Momente, d.h. die statischen Momente werden nur bis zur Laufkoordinate s integriert, nicht über den ganzen Querschnitt
Berechnet man mit der QSI-Formel die Aktions- oder die Reaktionsschubflüsse?
▪ Dies hängt von der Berechnung der unvollständigen statischen Momente und dem Vorzeichen der QSI-Terme ab:
− QSI-Terme mit negativen Vorzeichen und S als unvollständige statische Momente der von s überstrichenen Fläche: Aktionsschubflüsse
− QSI-Terme mit negativen Vorzeichen und S als unvollständige statische Momente der von s abgeschnittenen Fläche: Reaktionsschubflüsse
− Für positive QSI-Terme gilt die Umkehrung der obigen Aussagen
Aktionsschubfluss = resultierende Kraft entspricht wirkender Querkraft
Wieso hängt die Gültigkeit der Kusinenformel von der Bernoulli-Hypothese ab?
▪ Um die Kusinenformel herzuleiten, muss ein Term für die Ableitung der Normalspannung in Längsachsenrichtung zur Verfügung stehen. Mit der Bernoulli-Hypothese und der Annahme isotropen Werkstoffverhaltens kann eine lineare Normalspannungsverteilung als Funktion der Biegemomente angenommen werden. Mit dem Zusammenhang, dass Querkräfte den Ableitungen der Biegemomente in Längsrichtung entsprechen, kann dann die Kusinenformel hergeleitet werden.
Annahmen und Voraussetzungen der QSI-Formel (der dazugehörigen Berechnungsmethode):
▪ Konstanter Schubfluss über der Wanddicke
▪ Keine Torsion <-> Querkräfte greifen im Schubmittelpunkt an
▪ Gültigkeit der Bernoulli-Hypothese
▪ Variation der Normalspannung über der Wanddicke wird als gering angenommen
▪ Hauptachsensystem des Querschnitts mit Ursprung im Flächenschwerpunkt wird verwendet
▪ Scheiben- bzw. Membrangleichungen gelten
Wo liegen Grenzen der Bernoulli Hypothese?
Im Bereich lokaler Lasteinleitungen/Einspannungen i.d.R. Nicht anwendbar
Im Bereich von Geometrieänderungen (Dichte, Querschnitt, Aussparungen)
Inhomogener Aufbau des Balkens (z.B. schichtweiser Ausbau FVK)
Wieso gilt folgende Gleichungen? Erkläre auf physikalischer Ebene!
Physikalisch betrachtet bringt diese Gleichung zum Ausdruck, dass die Schubflüsse das Kräftegleichgewicht am Wandelement in 𝒙-Richtung herstellen müssen, wenn sich, aufgrund Querkraftbiegung, die Normalspannung an einer Position 𝑧 eines Querschnitts für fortlaufende 𝒙-Position ändert.
Erkläre, wie an positiven Schnittufern bei positiver Querkraft die Schubspannung sich für z>0 und z<0 verhält!
An einem positiven Schnittufer ist bei positiver Querkraft im Bereich positiver Koordinaten (𝒛 > 𝟎) die Zunahme der Schubspannung 𝜕tau𝑥 positiv, daher ist 𝜕𝑞/𝜕𝑠 negativ → Schubspannungen nehmen in Richtung der Laufkoordinate 𝑠 ab
An einem positiven Schnittufer ist bei positiver Querkraft im Bereich negativer Koordinaten (𝒛 < 𝟎) die Zunahme der Schubspannung 𝜕tau𝑥 negativ, daher ist 𝜕𝑞/𝜕𝑠 positiv → Schubspannungen nehmen in Richtung der Laufkoordinate 𝑠 zu
Wichtige Zusammenhänger Schubflussverlauf offener Querschnittsprofile:
𝑞 ist an offenen Enden immer gleich null
Bereiche von Zugspannungen wirken als Quellen 𝜕𝑞/𝜕s > 0
Bereiche von Druckspannungen wirken als Senken 𝜕𝑞/𝜕s < 0
Profilsegmente mit 𝒛 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕.: 𝑞 variiert linear
Profilsegmente mit 𝒛 ≠ 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕.: 𝑞 variiert nicht linear (𝑞 variiert parabolisch für gerade Profilsegmente)
An Schnittpunkten von Profilsegmenten mit der y- Achse hat der Schubflussverlauf ein Extremum (Da z(s) = 0)
Worin unterscheidet sich das Problem der Bestimmung von Querkraftschubflüssen in offenen und geschlossenen Profilen?
In geschlossenen Profilen gibt es neben einem variablen Schubflussanteil auch einen konstanten Schubfluss. Für dessen Bestimmung werden zusätzliche Gleichungen bzw. Bedingungen benötigt
Wie geht man bei der Bestimmung von Querkraft-Schubflüssen in geschlossenen Profilen allgemein vor?
▪ Man schneidet das Profil gedanklich und erstellt damit ein offenes Profil
▪ Für das offene Profil kann man den variablen Schubfluss mit Hilfe der QSI-Formel bestimmen
▪ Den konstanten Schubfluss bei Verdrillfreiheit (Querkraft greift im Schubmittelpunkt an), kann man dann aus den hergeleiteten Gleichungen für die Verdrillfreiheit bestimmen.
▪ Den konstanten Schubfluss für eine an beliebiger Stelle angreifende Querkraft kann aus dem Momentengleichgewicht der Schubflüsse und Querkräfte berechnet werden.
Nennen Sie die Regeln, die für symmetrische Profile hinsichtlich der Lage des Schubmittelpunktes gelten. (Geschlossene Profile)
▪ Der SMP liegt immer auf einer Symmetrielinie
▪ Bei doppeltsymmetrischen Profilen ist der Schnittpunkt der Symmetrielinien der Schubmittelpunkt
Nennen Sie die Regeln, die für symmetrische Profile hinsichtlich der Lage des Schubmittelpunktes gelten. (Offene Profile)
• Schubmittelpunkte liegen immer auf Symmetrieachsen!
• Wenn sich alle Segmente eines Profils in einem Punkt schneiden, liegt der SMP in diesem Punkt (Beispiel T-Profil)
Was genau bedeutet Symmetrie im Bezug auf die Regeln der Symmetriebdingungen zur Bestimmung des SMP?
Symmetrie bedeutet hier die Symmetrie der tragenden Querschnittsfläche und nicht die Symmetrie der Profilmittellinie
Für welche Stelle eines symmetrischen, geschlossenen Profils kann für den Fall einer Querkraft, die im Schubmittelpunkt angreift und parallel zu einer Symmetrieachse verläuft, auch ohne Rechnung eine quantitative Aussage zum wirkenden Schubfluss getroffen werden?
Dort, wo eine Symmetrieachse das Profil schneidet, ist bei verdrillfreier Querkraftbelastung in Richtung dieser Symmetrieachse der Schubfluss immer gleich null.
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