V3

Vorgang, der theoretisch

• beliebig oft

• unter gleichen Bedingungen

• wiederholt werden kann

Ergebnis hängt vom Zufall ab

die WK für den Ausgang muss nicht gleich sein

• z.B. Ω = {sechs, nicht-sechs} sind die WK unterschiedlich

Beispiele

• Münzwurf (2 mögliche Ausgänge)

• Würfelwurf (6 mögliche Ausgänge)

Ergebnisraum

• Menge eines Zufallsexperimentes, wobei jedem Versuchsausgang max. ein Element aus Ω zugeordnet ist

  • Ω = {ω1, ω2, ..., ωm}

  • kann sehr komplex (Lottospiel 6 aus 49) u. auch unendlich groß sein (Reaktionszeitmessung)

  • 𝑛 (Ω )= Anzahl von Elementen im Ergebnisraum

  • Beispiele: Würfelwurf:

    • Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    • Ω2 = {gerade, ungerade}

    • Ω3 = {Sechs, Nicht- Sechs}

• Schreibweise bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (Bsp. 2x Münzwurf)

  • Reihenfolge egal: Ω = {KZ, KK, ZZ}

  • Reihenfolge relevant: Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}

Ereignis

• Teilmenge eines Ergebnisraums

• U={ω1, ω3, ω5 } (Beispiel) -> Großbuchstaben

• Das Ereignis tritt ein, wenn ein Ergebnis ω vorliegt, das im Ereignis enthalten ist

Elementarereignis

• Ereignis, das nur aus einem Ergebnis {ω} besteht -> Kleinbuchstaben

• Beispiel: Münzwurf: g={K}

Ereignisraum

• Menge aller möglichen Teilmengen von Ω -> P(Ω)

• Berechnung der Anzahl der Teilmengen: 2^n

• Beispiel: einmaliger Münzwurf: P(Ω) = {{}, {K}, {Z}, {K, Z}}

  • {}: unmögliches Ereignis

  • {K, Z}: sicheres Ereignis

Definition:

Voraussetzung:

• endliche Anzahl möglicher Ergebnisse eines Zufallsprozesses (nicht anwendbar also bei Reaktionszeitmessungen)

• gleichwahrscheinliche Elementarereignisse

jedem Ereignis A wird eine reele Zahl P(A) zugeordnet

diese Zahlen müssen 3 Eigenschaften erfüllen

1. Nichtnegativität: P(A) ≥ 0

2. Normiertheit: 𝑃(Ω) = 1

3. 𝐴∩𝐵 = ∅ ⟹ 𝑃𝐴∪𝐵 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

   • wenn A geschnitten B die leere Menge ist (disjunkte Ereignisse) dürfen sie einfach addiert werden

die relative Häufigkeit kann nach sehr vielen Wiederholungen als Näherungswert für die WK des Ergebnisses verwendet werden

• denn bei vielen Wiederholungen werden die Schwankungen der relativen Häufigkeit immer geringer

WK von Elementarereignissen oft nicht a priori bestimmbar

• WK kann dann über relative Häufigkeiten geschätzt werden

Verbundwahrscheinlichkeiten

• WK, dass Ereignis A und Ereignis B zusammen eintreten

• Bsp: WK eine Person zu treffen, die helle Augen und helle Haare hat

Randwahrscheinlichkeiten

• WK, dass Ereignis A eintritt unabhängig ob Ereignis B oder das Gegenereignis von B eintritt

• Bsp: WK eine Person zu treffen die helle Haare hat (unabhängig der Augenfarbe)

bedingte Wahrscheinlichkeiten

• WK für das Eintreten eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist

• Bsp: WK eine Person mit hellen Augen zu treffen, wenn die Eigenschaft helle Haare schon eingetreten ist

stochastische Unabhängigkeit: das Eintreten des einen Ereignisses hat keine Auswirkung auf die WK des Eintretens des anderen Ereignisses

bei bedingten WK

Ausgangssituation: gegeben ist P(B/A), aber wir interessieren uns für P(A/B)

Sensitivität

• WK, dass Test positiv ist, wenn eine Erkrankung vorliegt (Krankheit wird richtig erkannt)

• bedingte WK: Bedingung ist, dass Person tatsächlich krank ist

Spezifität

• WK, dass Test negativ ist, wenn keine Erkrankung vorliegt (Gesundheit wird richtig erkannt)

• bedingte WK: Bedingung ist, dass Person tatsächlich gesund ist

Prävalenz

• Häufigkeit der Erkrankung: WK, dass zufällig ausgwählte Person krank ist

• anderer Name: prior- Wahrscheinlichkeit

Posterior-Wahrscheinlichkeit

• WK, dass man tatsächlich krank ist, wenn das Testergebnis positiv ist

• bei einer erneuten Berechnung wird die posterior-WK zur neuen Prävalenz

die berechnete posterior-WK wird zur neuen prior-WK