V4

Definition: Eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Eregbnisraums Ω eine reele Zahl zuordnet

• Bsp: Münzwurf: Kopfwurf= 1 und Zahlwurf= 0

Arten

• diskrete Zufallsvariablen

  • abzählbare Anzahl möglicher Ausprägungen

  • Bsp: Münzwurf, Würfeln, Anzahl korrekt gelöster Aufgaben

• stetige Zufallsvariablen (metrisch)

  • überabzählbar viele mögliche Ausprägungen in einem Intervall -> können jeden reelen Zahlenwert annehmen

  • Bsp: physikalische Größen (Gewicht, Zeit, Größe)

Wahrscheinlichkeitsmaßfunktion

• WK werden zu den Werten einer diskreten Zufallsvariable zugeordnet

• 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑖)

  • X= Zufallsvariable

  • xi= Ausprägung der Zufallsvariablen

• disjunkte Ereignisse:

  • die Summe aller WK beträgt 1

  • keine Schnittmenge -> Additionstheorem gilt

Verteilungsfunktion

• WK, das die Zufallsvariable max. einen gewissen Wert hat

• kumulierte WK

• 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥𝑖)

Dichtefunktion

• einzelnen Werten wird nicht mehr die WK zugeordnet, sondern Wahrscheinlichkeitsdichten

• Wahrscheinlichkeiten können nur noch Bereichen zuegordnet werden

• die gesamte Fläche unter der Dichtefunktion beträgt 1

Verteilungsfunktion

• kann die WK ablesen

• Wertebereich geht von 0 bis 1

• s-förmiger Verlauf

Maße der zentralen Tendenz

• Erwarungswert bzw. arithmetisches Mittel

• Summe der Ausprägungen multipliziert mit ihrer WK

Maße der Dispersion

• Varianz und Standardabweichung

Schiefe

• Symmetrie der Verteilung

Exzess/ Kurtosis

• Breit- oder Schmalgipfligkeit im Vergleich zur Normalverteilung

bei konkreten Stichproben: lateinische Buchstaben; bei theoretischen Populationen: griechische

dient zum Vergleich von Werten

z drückt aus wie viele Standardabweichungen ein Wert x vom Mittelwert der Verteilung entfernt ist

Bernoulli-Experiment

• Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω = {0, 1} (zwei Ausprägungen)

  • 1= Treffer

  • 0= Niete

• Wahrscheinlichkeiten

  • Trefferwahrscheinlichkeit p

  • Wahrscheinlichkeit für Niete q= 1-p

• Bsp: Münzwurf, Würfelwurf, Krankheut (ja/nein)

Bernoulli-Kette

• n-fache Durchführung des Bernoulli-Experiment

  • Experimente sind unabhängig

    • Multiplikationstheorem

  • Trefferwahrscheinlichkeit p für alle Experimente gleich

WK für eine spezifische Bernoulli-Kette

• d.h. eine spezifische Reihenfolge

• n= Länge der Kette/ Anzahl der Durchführungen

Binomialkoeffizient

• berechnet wie viele mögliche Wege es gibt um bei n Bernoulli-Experimenten k Treffer zu erzielen

Binomialverteilung

• WK B(n;p;k) für k Treffer in einer n-langen Bernoulli-Kette

• Wahrscheinlichkeitsverteilung B(n;p):k -> B(N;P;K) wird als Binomialverteilung mit den Parametern n und p bezeichnet

  • wichtigste diskrete Verteilung

  • entsteht durch n-fache Wiederholung eines Zufallsexperimentes

wichtigste stetigte Wahrscheinlichkeitsverteilung (in der Psychologie)

• in der Natur sind viele Merkmale annähernd normalverteilt

Eigenschaften

• unimodal (gibt nur einen Modus d.h. nur einen Wert, der am häufigsten vorkommt)

• “glockenförmiger” Verlauf

• symmetrisch (a3=0)

• “normaler” Exzess (a4=0)

Definition

• definiert durch Mittelwert und Standardabweichung

  • Mittelwert: Position des Gipfels

  • Standarabweichung: Breite der Verteilung

• gibt unendlich viele Normalverteilungen

Dichtefunktion

ob die Werte einer Stichprobe stark von der Normalverteilung abweichen

Normalverteilung mit

• Mittelwert= 0

• Standardabweichung= 1

jede Normalverteilung lässt sich in die Standardnormalverteilung überführen

• über die z-Transformation

verwendet die Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung