V5

anderer Name: schließende Statistik

Ziel: von Stichprobendaten auf Sachverhalte in einer zugrunde liegenden Population schließen

Behauptung:

• es gibt in Wirklichkeit keinen Effekt/ Zusammenhang

• das Ergebnis ist nur durch Zufall zustande gekommen -> Nullhypothese

Hypothese:

• Nullhypothese wird formuliert

  • 𝜇: Mittelwert der hypothetischen Population, die Veränderung zeigt

  • 𝜇0: Mittelwert der Population die keine Veränderung hat

p-Wert:

• bedingte WK

• WK ein empirisches Ergebnis o. ein noch stärker gegen die Nullhypothese sprechendes Ergebnis zu finden unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist

Signifikanz:

• Testergebnis ist signifikant (=statistisch bedeutsam) wenn der p-Wert kleiner o. gleich einer bestimmten Grenze ist

• Signifikanzniveau= Grenze ab der Ergebnis als signifikant bezeichnet wird (meist bei 5%)

Hypothese:

• Nullhypothese H0

• Alternativhypothese H1

• schließen sich gegenseitig aus, aber müssen so formuliert sein, dass man immer eine zutrifft

statistische Entscheidung:

• binäres Testkonzept: man entscheidet sich immer entweder für die H0 oder die H1

• Entscheidung kann richtig oder falsch sein

  • korrekte Entscheidung

    • Teststärke/ Power: 1-β

    • WK für H1 wenn H1 gilt -> WK einen existierenden Effekt nachweisen zu können

    • wichtig um Stichprobengröße vorher bestimmen zu können

  • Fehler erster Art: α-Fehler (α-Niveau)

    • a priori festgelegt, meist auf 5%

    • entspricht dem Signifikanzniveau nach Fisher

  • Fehler zweiter Art: β-Fehler

    • festgelegt, wenn Alternativhypothese u. α festgelegt sind

• Vierfeldertafel: Darstellung der statistischen Entscheidungen

nkliboihoi

einseitiges Testen: gerichtete Hypothese

• Aussage über Richtung des Effekts/ Zusammenhangs

zweiseitiges Testen: ungerichtete Hypothese

• keine Aussage zur Richtung des Effekts/ Zusammenhangs

• wenn die zweiseitige Testung signifikant wird, ist auch das einseitige Testen signifikant

vom Effekt

• Unterschied zwischen H0 und H1: 𝜀 = 𝜇1 − 𝜇0

• je größer der Unterschied desto höher die Power (die Verteilungen liegen weiter auseinander, deswegen ist die WK sich falsch zu entscheiden geringer)

vom Signifikanzniveau α

• je höher das Signifikanzniveau desto größer die Power

• denn der kritische Wert rutscht weiter nach links

von der Art des Testens

• ein- vs. zweiseitig

• durch zweiseitiges Testen hat man geringere Power, denn durch α/2 hat man kleineres Signifkanzniveau u. dadurch rutscht der kritische Wert weiter nach links

von der Streuung der Populationsverteilung

• je kleiner die Streuung desto höher die Power

• denn die Verteilungen werden schmaler u. überschneiden sich dadurch weniger, dadurch ist die WK für eine falsche Entscheidung geringer

von der Stichprobengröße

• je größer die Stichprobe gesto kleiner die Streuung desto größer die Power

• Stichprobe zu klein: H0 wird nicht verworfen, obwohl die H1 gelten könnte

• Stichprobe zu groß: H0 wird verworfen (Text wird signifikant), aber H1 muss nicht unbedingt gelten

Problem: die Mittelwertsdifferenz 𝜀 = 𝜇1 − 𝜇0 ist nicht über verschiedene Studien vergleichbar (könnten andere Streuung o. maximal zu erreichende Punkte haben)

Lösung von Jacob Cohen:

• Relativierung der Mittelwertsdifferenz an der Standardabweichung

• Wertebereich von Cohens 𝛿: −∞ bis +∞

• Interpretation der Werte

  • 𝛿 = 1: Mittelwert der Population 𝜇1 ist eine Standardabweichung höher als die von 𝜇0

aus einer Population wird wiederholt eine Stichprobe gezogen

eine Statistik wird berechnet d.h. in jeder Stichprobe wird ein Kennwert ermittelt z.B. das arithemtische Mittel

in der Stichprobenkennwerteverteilung werden die Ergebnisse der Kennwerte der unterschiedlichen Stichproben dargestellt

• konvergiert gegen die Normalverteilung

CAVE: jeder Stichprobenwert ist mit einem stichprobenspezifischen Fehler behaftet -> zufälliger Schätzfehler (nicht verwechseln mit Standardfehler, dieser bezieht sich auf die gesamte Stichprobenkennwerteverteilung und nicht auf eine einzelne Stichprobe)

• je größer die Stichprobe, desto besser schätzt der Kennwert den Kennwert in der Population

• wenn man eine Stichprobe zieht, die genauso groß ist wie die Population, ist der Schätzwert= 0

auch für die Stichprobenkennwerteverteilung kann man Mittelwert u. Standardabweichung bestimmen

• arithmetisches Mittel

  • je größer das N, desto mehr nähert sich der Stichprobenmittelwert dem Populationsmittelwert an

  • -> erwartungsgetreuer Schätzer

• Standardabweichung

  • je größer das N desto weniger streuen die Stichprobenmittelwerte -> die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte wird kleiner (konvergiert gegen 0)

  • -> kein erwartungsgetreuer Schätzer (denn die Varianz konvergiert gegen 0 u. nicht gegen die Varianz der Population)

Standardfehler

• Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung von der Population

• je kleiner der Standardfehler, desto präziser schätzt der Stichprobenkennwert den Populationsparameter

• für jeden Kennwert gibt es eine Formel für den Standardfehler

• Bsp: Standardfehler für den Mittelwert

  • gibt Aussage darüber wie gut der empirisch erhobene Mittelwert den tatsächlichen Populationsmittelwert schätzt

  • Standardfehler gibt die Varianz der Mittelwerte in der Stichprobe an

μ und σ der Population sind nicht bekannt

• Verwendung der Kennwerte der Stichprobe als Schätzer für die Populationswerte

Kritierien zur Beurteilung von Schätzern

• z.B. Erwartungstreue

Varianz

• die Populationsvarianz wird durch die Stichprobenvarianz unterschätzt -> Unterschätzung wird in der Formel für die Populationsvarianz korrigiert

benötigt die Kennwerte der Stichprobenkennwerteverteilung

Transformation in standardnormalverteilte Variable

WK in Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung nachschlagen

Transformation in standardnormalverteilte Variable

• Mittelwert der normalverteilten stetigen Zufallsvariable (also dem Populationsmittelwert)

• Standardabweichung der normalverteilten stetigen Zufallsvariablen (acuh von der Population)

WK in Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung nachschlagen