V7

min. Intervallskalenniveau

Unabhängigkeit der Messwerte

• Vp dürfen sich nicht kennen o. Zwillinge sein

• wird oft verletzt

Normalverteilung der Messwerte in der Population (geht nicht um die Stichprobe)

• Verteilung aber oft unbekannt -> Hypothese auf Normalverteilung muss geprüft werden

• da Daten der Population nicht vorhanden, Verwendung von Stichprobendaten

• Prüfung

  • deskriptiv: z.B. Kennwerte wie Schiefe u. Exzess

  • graphisch: z.B. Histogramm

    • sollte immer gemacht werden

    • erkennt Ausreißer

    • erkennt ob Verteilung nur einen Modus hat -> zwei Modi wären starke Verletzung

  • inferenzstatistisch: z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test/ KS-Anpassungstest

    • prüft auf Normalverteilung in dem Hypothesen aufgestellt u. auf Signifikanz geprüft werden -> wollen ein nicht-signifikantes Ergebnis

anderer Name: KS-Anpassungstest

Hypothese

• H0: die erwartete Verteilung (Normalverteilung) ist identisch mit der empirischen Verteilungsfunktion -> die empirische ist also auch normalverteilt

• H1: die erwartete und die empirische Verteilugn sind unterschiedlich

Prüfgröße Dmax

• Maximum der Abweichung zwischen der empirischen Verteilungsfunktion und der erwarteten Verteilungsfunktion und der unter der H0 erwarteten Verteilungsfunktion

Ergebnis

• Prüfung auf Signifikanz

• signifikantes Ergebnis:

  • H0 muss abgelehnt werden

  • -> keine Normalverteilung

  • -> dürfen t-Test nicht durchführen

• wir brauchen ein nicht signifikantes Ergebnis um den t-Test durchführen zu dürfen

hat Ähnlichkeit zum Einstichproben-Gauß-Test u. Einstichproben-t-Test

Lilliefors-Korrektur

• KS-Test wird strenger -> Ergebnis wird öfter signifikant

• Anwendung wenn Populationsmittelwert u. -standardabweichung unbekannt sind u. geschätzt werden müssen

abhängig von der Stichprobengröße

• bei großer Stichprobe:

  • Test wird auch bei minimalen Abweichungen signifikant

  • -> H0 würde verletzt werden

• bei kleiner Stichprobe:

  • hat der Test eine geringe Power u. somit geringere Aussagekraft

deswegen muss man sich die Verteilungen auch immer graphisch anschauen

min. Intervallskalenniveau

Unabhängigkeit der Messwerte

• innerhalb der beiden Messwertreihen

• zwischen den Messwertreihen sind die Werte abhängig

Normalverteilung der Differenzvariablen D in der Population

• nicht die einzelnen Messwertreihen werden auf Normalverteilung geprüft, sondern die Differenz

• müssen von der Stichprobe auf die Population schließen

positiver Zusammenhang der Messwertreihen -> positive Kovarianz

• für eine höhere Power des Tests

• d.h. hohe Messwerte zu Messung A gehen mit hohen Messwerten zu Messung B einher

• man kann den Test trotzdem durchführen (ist keine wirkliche Voraussetzung), aber Test hat geringere Power

min. Intervallskalenniveau

Unabhängigkeit der Messwerte

• innerhalb der beiden Teilstichproben

• zwischen den beiden Teilstichproben

Normalverteilung der Messwerte in ihren Teilpopulationen

• Überprüfung für beide Stichproben getrennt

Homogenität der Varianzen der beiden Teilpopulationen

• Varianzhomogenität/ Homoskedastizität: Varianzen der Gruppen sind gleich

• Varianzinhomogenität/ Heteroskedastizität: Varianzen der Gruppen sind ungleich

• Überprüfung mit dem Levene-Test

  • ungerichtete Hypothesen

    • H0: Varianzen der Stichproben sind gleich -> Varianzhomogenität

    • H1: Varianzen ungleich -> Varianzinhomogenität

  • wollen nicht signifikantes Ergebnis, also H0 behalten u. H1 verwerfen

  • basiert auf der F-Verteilung

  • manchmal Verwendung eines höheren α-Niveau (z.B. 20 %), um das Risiko für einen β-Fehler zu reduzieren (ist hier der kritischere, denn man würde den t-Test durchführen obwohl die Voraussetzung eigentlich verletzt ist) -> das gleich gilt auch beim KS-Test

Ausreißer-Analyse

• immer wichtig

• z.B. Histogramm o. Boxplot

Prüfung der Robustheit (durch Simulationsstudien)

• u. dann eventuelles Ignorieren

Erhebung einer größeren Stichprobe

Transformation von Variablen

• z.B. Logarithmieren

Verwendung eines alternativen Testverfahrens

• Welch-Test bei ungleichen Varianzen

• nonparametrische Verfahren

• Resampling-Verfahren

  • Stichprobe wird als Population aufgefasst u. man zieht wiederholt aus der Stichprobe

Definition

• ein Verfahren ist robust, wenn es nicht stark auf Verletzungen von Annahmen reagiert, auf denen es beruht

Vorgehen

• “Monte-Carlo”-Studien: Simulationsstudien

• Bsp: Verletzung der Varianzhomogenität bezogen auf den Zweistichproben-t-Test

  • bei gleichzeitig aber gleich großen Stichproben u. Normalverteilung in den Teilpopulationen ist der Zweistichproben-t-Test ist robust

  • aber bei ungleich große Stichproben und Heteroskedastizität (d.h. bedeutsamen Unterschieden in der Varianz zwischen den Stichproben)

    • Varianz der kleineren Stichprobe > Varianz der größeren Stichprobe: t-Test wird zu liberal (d.h. höhere WK für α-Fehler) -> kritischer

    • Varianz der kleineren Stichprobe < Varianz der größeren Stichprobe: t-Test wird zu konservativ (d.h. WK für α-Fehler geringer als das gesetzte α-Niveau)

Einfluss der Stichprobengröße kann man auch über Simulationsstudien betrachten

zentraler Grenzwertsatz

• wenn die Messwerte in der Population nicht normalverteil sind, ist die Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte bei großen Stichproben dennoch sehr nah an einer Normalverteilung

• d.h. egal welche eigentliche Verteilung, bei genügend großen N nähert sich sich die Stichprobenkennwertverteilung der Normalverteilung an

Simulationsstudie

1. Generierung von Populationsdaten, die einer von 4 Verteilungen folgen

   • Normalverteilung, Gleichverteilung, Log-Normalverteilung, überlagerte Normalverteilung)

2. ziehen von 1000 Stichproben mit Stichprobengrößen n (2,5,30 oder 100)

3. Mittelwerte pro Stichprobe -> Stichprobenkennwerteverteilung

Anwendung

• bei Heteroskedastizität (ungleichen Varianzen)

• bei der t-Test-Funktion in r wird der Welch-Test standardmäßig berechnet

  • sollte aber rausgenommen werden, da er eine geringere Power hat als der normale t-Test

Vorgehen

• Bestimmung der Prüfgröße

  • keine gemittelten Varianzen (wie bei der Varianzhomogenität), sondern zwei unterschiedliche

• Bestimmung Freiheitsgerade

  • i.d.R. nicht ganzzahlig

  • werden abgerundet, um in der Tabelle nachzuschauen

    • Grund: t-Quantile sind bei kleineren Werten von df größer u. somit ist der Wert konservativer u. somit weniger oft signifikant

parametrischer Test: Test beruht auf den Parametern einer spezifischen Verteilung

• z.B. Einstichproben-Gauß-Test beruht auf Parametern μ und σ der Normalverteilung

nonparametrische bzw. verteilungsfreier Test: Test erfordert keine spezifische Verteilung des Merkmals

neben p-Wert sollte immer ein standardisiertes Maß für die Effektgröße angegeben werden

Cohens 𝛿: Relativierung der Mittelwertsdifferenz an der Standardabweichung

optimaler Stichprobenumfang:

• sichere Unterscheidung zwischen H0 und H1

• übliches Ziel: Power= 80%

  • d.h. wenn H1 gilt erhält man bei 4 von 5 Test ein signifikantes Ergebnis

• für jedes mögliche Ergebnis kann eine Entscheidung getroffen werden

Planung

• G-Power: Einstellungen

  • Wahl des Testverfahrens (z.B. über Menüleiste→Tests)

  • Type of power analysis (u.a.):

    • a priori: N wird berechnet aus α, (1−β), Effektgröße

    • post-hoc: (1−β) wird berechnet aus α, N, Effektgröße (welche Power hat man erreicht, wieviel Vp würde man für zukünftige Erhebungen benötigen)

  • Input Parameters (u.a.):

    • Tail(s): ein- oder zweiseitiger Test

    • Effektgröße

    • α

    • Power (1−β)

• R-Paket pwr

• MorePower

Literaturrecherche

• ähnliche Fragestellung

• ähnliche Methoden

Pilotstudie

• Effektgröße wird aus Pilotstudie mit kleiner Stichprobe gewonnen

inhaltliche Definition der Mindesteffektgröße aus einer Veränderung, die praktische Relevanz hat

• Beispiel: Entwicklung eines neuen Trainings zur Intelligenzförderung: soll um 5 Punkte besser sein, als das alte Training. Eine Gruppe erhält das neue, eine das alte

• Berechnung der Effektgröße bei unabhängigen Größen

Angabe von

• Freiheitsgrade

• exakter p-Wert (WK einen Wert o. noch extremeren zu erhalten)

• Größe und Richtung des Effektes

• Empfehlung: Konfidenzintervalle

bei allen gleiche Anzahl an Nachkommastellen

• Ausnahme p-Wert:

  • 2 oder 3 Nachkommastellen

  • wenn <.001 als p<.001 angeben und keine exakten Werte

bei Punktschätzungen muss zugehöriges Maß an Variabilität mit Angabe des verwendeten spezifschen Maßes mit angegeben werden

• d.h. bei Stichprobenmittelwerte oder Regressionskoeffizienten muss der Standardfehler mit angegeben werden

Null oder keine Null

• Null vorm Komma: Wert kann >1 werden

• keine Null: Wert kann nur <1 werden

  • Korrelationen, Proportionen, statistische Signifikanzniveaus (p-Wert)

Buchstaben in kursiv

• M, SD, t….