V8

Kovarianz

• “gemeinsame Varianz” zweier Variablen

• Kovarianz hängt stark von den Maßeinheiten der Variablen ab (z.B. ob kg oder g)

• empirische Kovarianz (obere Formel) -> wird ähnlich wie die Varianz berechnet

• geschätzte Populationskovarianz (unterer Formel)

  • nicht erwartungsgetreu d.h. bei größerem N nähert sich der Schätzer der Null und nicht dem Populationswert

Produkt-Moment-Korrelation

• Kovarianz zweier z-standardisierter Variablen

• am häufigsten verwendet

• anderer Name: Pearson-Korrelation, Bravais-Pearson-Korrelation, nur Korrelation

• empirische Korrelation (obere Formel)

  • kein Mittelwert in der Formel, denn der ist schon in der z-Standardisierung enthalten

• geschätzte Populationskorrelation (untere Formel)

Gemeinsamkeiten

• Maß für den linearen Zusammenhang von zwei Variablen

• positive Kovarianz/ Korrelation

  • gleichgerichteter Zusammenhang

  • ein hoher Wert der einen Variablen geht mit einem hohen Wert der anderen Variablen einher

• negative Kovarianz/ Korrelation

  • gegengerichteter Zusammenhang

  • ein hoher Wert der einen Variablen geht mit einem geringen Wert der anderen Variablen einher

anderer Name: Streudiagramm

Darstellung des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen

jedes Symbol steht für ein Objekt

Dataframe in R

• pro Objekt eine Zeile

• zwei Spalten: enthalten die Variablen zwischen denen der Zusammenhang untersucht werden soll

zwei metrischen Variablen

dichotomer und metrischer Variable

• für die Interpreation muss man die Kodierung der dichotomen Variablen kennen

zwei dichotomen Variablen

• für die Interpretation muss man die Kodierung der dichotomen Variablen kennen -> nur dann Aussage möglich ob positiver/ negativer Zusammenhang

Wertebereich

• -1 bis +1

Interpretation

• -1 ≤ 𝑟 < 0: negativer Zusammenhang

• 𝑟 ≈ 0: kein Zusammenhang

• 0 < 𝑟 ≤ 1: positiver Zusammenhang

Korrelationen sollten nicht kausal interpretiert werden, denn ein Zusammenhang kann bedeuten, dass…

• Variable A auf B wirkt

• Variable B auf C wirkt

• oder eine Variable C auf A und B wirkt und dadurch der Zusammenhang zwischen A und B entsteht

durch unsere Stichprobenziehung erhalten wir immer nur einen Ausschnitt aus der Population

kann passieren, dass wir genau so gezogen haben, dass ein verfälschtes Bild vom wahren Zusammenhang erhält

der Wertebereich, der einen interessiert, muss in der Studie auch repräsentiert sein

t-Test ob die Korrelation signifikant oder nur durch Zufall entstanden ist

Korrelationskoeffizienten sind nicht intervallskaliert -> darf nicht einfach das arithmetische Mittel berechnen

Fisher-Z-Transformation: zur Bestimmung des Mittelwerts

Mittelwerte von Korrelationen

Test der Produkt-Moment-Korrelation gegen einen Wert ungleich 0

Test der Gleichheit von zwei Korrelationskoeffizienten

mind. Intervallskalenniveau beider Variablen

• Ausnahme: dichotome Variablen

bivariate Normalverteilung

• zwei Merkmale werden gemeinsam erhoben

• dabei ist nicht nur die Verteilung jedes Merkmals für sich allein, sondern auch deren gemeinsame Verteilung normalverteilt

• in diesem Fall ergibt die grafische Darstellung der gemeinsamen Verteilung eine (dreidimensionale) Glockenform

Linearität des Zusammenhangs

Homoskedastizität

• d.h. gleiche Streuung der y-Werte für verschiedene x-Wert

Ausreißer-Analyse

Prüfung der Robustheit und dann eventuelles Ignorieren

• Simulationsstudien: t-Test der Nullhypothese sehr robust wenn Test gegen 0

Erhebung einer größeren Stichprobe

Transformation von Variablen

• z.B. Logarithmiere

Verwendung eines alternativen Testverfahrens

• z.B. wenn keine metrischen Variablen vorliegen

• Korrelationsmaße für ordinale Daten

  • ordinal singuläre Variablen

  • ordinal kategoriale Variablen

• Rangkorrelation nach Kendall

• Korrelation bei min. einer dichotomen Variablen

  • eine dichotome und eine metrische

    • punktbiseriale Korrelation

    • biseriale Korrelation

  • zwei dichotome Variablen

Korrelationsmaße für ordinale Daten

• ordinal singuläre Variablen

  • Untersuchung von Rangplätzen (z.B. 100m-Lauf)

  • Rangbindungen: Personen, die sich einen Rang teilen, haben exakt die gleiche Merkmalsausprägung (z.B. gemeinsamer Zieleinlauf)

  • Korrelationsmaß (wenn keine Rangbindung): Kendalls τ

• ordinal kategoriale Variablen

  • kategoriale Daten mit geordneten Kategorien (z.B. Schulnoten, Item mit 5-stufiger Skala)

  • Rangbindung: Personen, die sich einen Rang teilen haben oft leicht unterschiedliche Merkmalsausprägungen. Durch die Kategorisierung bekommen sie den gleichen Wert

  • Korrelationsmaß: Koeffizient γ

Rangkorrelation nach Kendall

Korrelation bei min. einer dichotomen Variablen

• eine dichotome und eine metrische

  • punktbiseriale Korrelation

    • bei naürlicher Dichotomie (z.B. Bedingungen im Experiment: KG vs EG)

    • kann die Formel zur Produkt-Moment-Korrelation verwenden (sind ineinander überführbar)

  • biseriale Korrelation

    • bei künstlicher Dichotomie (z.B. eine metrische Variable wie die Anzahl der Besuche der Kieler Woche werden auf eine Dichotomie runtergebrochen)

    • Formel besprechen wir nicht

• zwei dichotome Variablen

  • Koeffizient 𝜑

  • gibt eine spezifische Formel, die man nicht braucht, da der Koeffizient der gleich wie der Koeffizient der Produkt-Moment-Korrelation ist