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Mathematische Grundlagen

K6 - Vektorräume

G
by Günni

Definition 6.2.1 Unterraum

Proposition 6.2.3 Unterraumkriterium

Unterraum:

Eine Teilmenge U≠∅ eines K-Vektorraums V heißt  Unterraum von V  wenn U mit der Addition und Skalarmultiplikation in V einen Vektorraum bildet.\text{Eine Teilmenge } U \neq \empty \text{ eines } \\ \mathbb{K}\text{-Vektorraums } V \text{ heißt } \\ \textbf{ Unterraum von V } \\ \text{ wenn U mit der Addition und Skalarmultiplikation in } \\ V \text{ einen Vektorraum bildet.}

Unterraumkriterium:

 Sei U eine Teilmenge des Vektorraums V u¨ber KFolgende Aussagen sind a¨quivalent.\text{ Sei } U \text{ eine Teilmenge des Vektorraums } V \text{ über } \mathbb{K}\\ \text{Folgende Aussagen sind äquivalent.} \\

(i) U ist ein Unterraum von V.

(ii) Es gelten folgende Regeln:

a. Das Nullelement aus V liegt in U, und

b. für alle

u1,u2∈U gilt u1+U2∈, undu_1, u_2 \in U \text{ gilt } u_1 + U_2 \in \text{, und}

c. für alle

a∈K∧u∈U,au∈U.a \in \mathbb{K} \land u \in U, au \in U.

Definition 6.3.1 Linearkombination und Koeffizienten

Sei V ein K-Vektorraum und seien

v1,…,vn∈V,v_1, \dots , v_n \in V,

dann heißt

a1v1+⋯+anvn=∑i=0naivi Linearkombination von v1,…,vna_1v_1 + \dots + a_nv_n = \sum^n_{i=0}a_iv_i \\ \text{ Linearkombination von } v_1, \dots , v_n

und die Skalare

a1,…,ana_1, \dots , a_n

heißen Koeffizienten der Linearkombination.


Definition 6.3.2 Lineare Hülle / Erzeugnis

Sei S eine Teilmenge von V. Die Menge aller Linearkombination von Vektoren in S wird die lineare Hülle von S oder Erzeugnis von S genannt, und mit

⟨S⟩\langle S \rangle

bezeichnet. Es gilt,

S={v1,…,vn}⇔⟨S⟩=⟨v1,…,vn⟩.S = \{v_1, \dots , v_n\} \Leftrightarrow \langle S \rangle = \langle v_1, \dots , v_n \rangle.


Definition 6.3.6 Erzeugendensystem

Definition 6.3.8 Endliches Erzeugnis

Sei V ein K-Vektorraum und sei S eine Teilmenge von V. Wenn

⟨S⟩=V\langle S \rangle = V

gilt, wird S ein Erzeugendensystem von V genannt. Man sagt auch, dass die Vektoren aus S ein Erzeugendensystem bilden.


V heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Menge

{v1,…,vn}\{v_1, \dots , v_n\}

von Vektoren in V gibt, so dass

V=⟨v1,…,vn⟩V = \langle v_1, \dots , v_n\rangle

gilt.


Proposition 6.2.7 Durchschnitt von Vektorräumen

Sei V ein K-Vektorraum. Seien U und W ein Unterraum von V, dann ist

U∩WU \cap W

ein Unterraum von V.


Definition 6.2.9 Summen von Unterräumen

Proposition 6.2.11

  1. Sei V ein K-Vektorraum, und seien U und W Unterräume von V. Die Summe von U + W ist die Menge

U+W:={u+w∣u∈U∧w∈W}.U+W:=\{u+w|u \in U \land w \in W\}.


  1. Sei V ein K-Vektorraum, und seien U und W Unterräume von V. Dann ist U + W ein Unterraum von V.


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