LE10 - Datenanalyse II - Inferenzstatistik

Parameter

• EIgenscahft der Population (MW, Zusammenhang)

• unbekannt

Statistik

• Eigenschaft der Stichprobe (MW, Zusammenhang)

• Dient als Schätzer für entsprechende Populationsparameter

• Statistiken weichen vom Parameter ab

• Stichprobenfehler = Ausmaß dieser Abweichung

• Stichprobenfehler bedeutet nicht, dass ein Problem mit der Stichprobe vorliegt

  • Unvermeindlich durch zufällige Unterschiede zwischen Sample und Population

• Stichprobenfehler bedeutet nicht, dass ein Problem mit der Stichprobe vorliegt

  • Unvermeindlich durch zufällige Unterschiede zwischen Sample und Population

• Definition: Verteilung der Statistiken vieler gleichartiger Stichproben aus der gleichen Population

• Gehört zu den wichtigsten Konzepten der Inferenzstatistik

  • Entscheidend für Schätzung und Hypothesentest

• Jeder Parameter hat eine Stichprobenverteilung!

Stichprobenverteilung eines Parameters ergibt sich aufgrund des zentralen Grenzwerttheorems:

• Multiple Stichproben -> symmetrische Stichprobenverteilung - unabhängig von ursprünglicher Verteilung

• Mit steigender Stichprobengröße nähert sich die Stichprobenverteilung einer Normalverteilung an

SE = Standardabweichung der Stichprobenverteilung

• gibt an, mit welcher Streuung beim Ziehen multipler Stichproben zu rechnen ist

• Abhängig von Stichprobengröße und Variabilität in der Population

  • kleine Stichproben bzw große Variabilität -> größerer SE

  • Prinzipiell unbekannt, kann aber auf Basis des Samples geschätzt werden (für jede Kennzahl)

• textliche Darstellungsmöglichkeit

  • Mean value was 57,3 ( SE = 4,98)

  • survival rate was 71,3 % ( SE = 5,3%)

• Grapfische Darstellung

den Standardfehler

Schätzen

• Ableiten eines wahrscheinlichen Werts für seinen Parameter aus einer Statistik (Schätzer)

Punktschätzung

• Stichprobenstatistik als wahrscheinlicher Wert für den Parameter

• Aber: Wegen Stichprobenfehler i.d.R. inkorrekt

Intervallschätzung

• Berechnung eines symmetrischen Intervalls um den Schätzer, in dem der Parameter in einem vorgegebenem Prozenzsatz der Stichproben liegt (Konfidenzintervall)

Wie bestimmt man die Endpunkte?

• Festlegung eines Konfidenzniveaus (Wie treffsicher soll Intevall sein, i.d.r. liegt wahre Parameter in 95 von 100 Intervallen)

• Berechnung der Statistik sowie des Standardfehlers

• Standardfehler mit einem bestimmten Faktor multiplizieren

• Resultat von der Statistik subtrahieren bzw zu ihr addieren

Mit welchem Faktor muss der SE multipliziert werden?

• Hängt vom gewünschten Niveau ab

• Standardnormalverteilung: Schätzer liegt bei 95% der Fälle zwischen -1,96 und 1,96

• Also -> Schätzer +-1,96 -> Enthält Parameter in 95% der Fälle

• Ausnahme: Werte aus dem äußeren Bereich -> 5% der Fälle

• Übertragung in jede andere Verteilung: 1,96 * SE

• 95% Konfidenzintervall für Mittelwerte: CI95 = x +- 1,96 * SE

Einflussfaktoren auf die Breite des Intervalls

• Stichprobe größer -> Intervall schmaler => verringert SE

• Konfidenzniveau höher -> Intervall weiter => erhöht multiplikator

Prinzip: Null hypothesis testing (H0)

• Test ob die Schätzung mit einer unterstellten Hypothese vereinbar ist

• typische Ho => Effekt/Beziehung/Unterschied = 0

• Wenn Schätzung nicht mit H0 vereinbar -> signifikante Abweichung -> Effekt ist nicht 0

Grundprinzip

• Stichprobenverteilung lässt sich verwenden, um die bedingte Wskt für das Auftreten einer Stichprobenstatistik bei gegebenen Populationsparameter zu berechnen

• Grundüberlegung beim Signifikanztest

  • H0 = 0 -> H0 annehmen -> nicht signifikant

  • H0 nicht 0 -> H0 ablehnen -> signifikant

Schritt 1 Ho bilden

• Aussage über den Wert des Populationsparameters als Testgrundlage (Zusammenhang / Unterschied = 0; Nullhypothese muss nicht Null sein

Schritt 2 H1 bilden

• Alternativhypothese formulieren (formal identisch zu Ho, Wert muss aber anders sein

• Alternativhypothese kann gerichtet (größer/kleiner) oder ungerichtet (ungleich) sein

• H1 ist die inhaltliche / theoretische Hypothese

• Ablehnung H0 -> Unterstützung H1

Schritt 3 Signifikanzniveau

• Ablehnung Ho wenn der Wert des Schätzers bei wahrer Ho sehr unwahrscheinlich ist -> sehr unwahrscheinlich = Ho < 5%

• Signifikanzniveau wird selbst festgelegt, muss nicht 5% sein

• je kleiner Signifikanzniveau, desto schwieriger ist es, die Ho zu verwerfen

Schritt 4 Berechnung

• Berechnung der relevanten Statistik (MW, Cor, Regressionskoeffizient,..)

• Berechnung zugehörigen Prüfwerts (Prüfstatistik) -> genutzt um Ho zu testen, in Praxis erledigt von Software

• Je nach Analyseart verschiedene Prüfstatistiken mit anderer Prüfverteilung => Klassiker: Chi Quadrat, t, F

Schritt 5 Bewertung Signifikanz

• Signifikanztest wird beurteilt -> Beurteilung der Auftretenswskt der Prüfstatistik auf Basis der Prüfverteilung

Schritt 6 Annahme / Ablehnung

• Ho verwerfen, wenn θ im Bereich der Zurückweisung fällt ( θ|Ho < Signifikanzniveau) -> H1 gilt dann als unterstützt

• Merksatz: If p ist low, the 0 must go

• Fähigkeit eines Tests, die Ho zurückzuweisen, wenn sie falsch ist

• Inhaltlich: Ist ein in er Population vorhandener Effekt auffindbar?

  • 1 - Betafehler

  • Konvention: Power sollte > 90 sein (Betafehler < 20%

• Hängt ab von Effektstärke, Stichprobengröße, Signifikanzniveau

• Anwendungsmöglichkeiten

Stichprobe größer -> Intervall schmaler -> Se kleiner

Stichprobe kleiner -> Intervall größer -> SE größer