Aussagenlogik

“Lehre vom schlüssigen und folgerichtigen Denken, v. a. vom richtigen Schließen, welches dadurch gekennzeichet ist, dass es zu wahren Voraussetzungen wahre Schlüsse liefert“

• Relationales Wissen: Ich bin die Tochter meiner Mutter

• Prozedurales Wissen: Die Vorgehensweise für das Backen einer Torte

• Logisches Wissen: Wahre und falsche Aussagen

• Regelbasiertes Wissen: Wenn der Wecker klingelt dann stehe ich auf

• Sätze, die entweder “wahr“ oder “falsch“ sind

• hierzu zählen auch Aussagen, dessen Wahrheitswert wir nicht kennen

• ausgeschlossen werden Aussagen, die vom Betrachter abhängen und objektiv sind

• positive oder negative elementare Aussage

2^k

Bei der Implikation A1 → A2 nutzt man:

• wenn A1 dann A2

• aus A1 folgt A2

• A1 impliziert A2

Bei der Äquivalenz A1 ≡ A2 nutzt man:

• A1 und A2 sind äquivalent

• wenn A1 dann A2

• wenn A2 dann A1

• Menge aller aussagelogischen Formeln

• erfüllbare Formel

• falsifizierbare Formel

• allgemeingültige Formel bzw. Tautologie

• unerfüllbare Formel

• es existiert eine Interpretation, so dass die Formel wahr wird

• es existiert eine Interpretation, so dass die Formel falsch wird

• unter jeder Interpretation ist die Formel wahr

• diese Formeln werden als Tautologie (aus dem altgriechischen “dasselbe“) bezeichnet

• unter jeder Interpretation ist die Formel falsch

• nach einer Normalisierung sind alle Teilaussagen durch dieselbe aussagelogische Verknüpfung miteinander verbunden

• führt zu sehr übersichtlichen Darstellungen und Möglichkeit, den Wahrheitswert der gesamten aussagelogischen Formel schnell zu erfassen

• Konjunktive Normalform (und- Verknüpfung)

• Disjunktive Normalform

• wenn aussagelogische Formel aus n Klauseln Ki mit i = 1, ...n besteht

• diese Formel folgende Struktur hat: K1 ∧ ... ∧ Kn

• jeder Teil zwischen der Konjunktion wird als Klausel bezeichnet

• Klausel bezeichnet die Verbindung von m elementaren Aussagen Aj mit j = 1, ..., m durch Konjunktionen A1 ∨ ... ∨ An

1. Ersetze alle Äquivalenzen (A1 ↔ A2 ≡ A1 → A2 ∧ A2 → A1)

2. Ersetze alle Implikationen (A1 → A2 ≡ ¬A1 ∨ A2)

3. Verschiebe die Negation bis zu den aussagelogischen Variablen

4. Entferne doppelte Negationen

5. Transformiere auf konjunktive Normalform durch Ausmultiplizieren

• X ist Menge von aussagenlogischen Formeln

• Y ist aussagenlogische Formel

• Y ist semantische Folgerung von X falls jedes Modell von X auch Modell von Y ist

• man schreibt hierfür X |= Y und sagt auch Y folgt aus X

• Vorgehensweise basiert auf einem Widerspruchsbeweis

• es wird die negierte (widersprüchlich) Hypothese dem Wissen zugefügt

• wenn sich hieraus ein Widerspruch ergibt, dann ist die Hypothese wahr

• basiert auf Äquivalenz der Aussagen (X |= Y ) ≡ (X ∧ ¬Y )