Lektion 5

• beschäftigt sich mit Vorgängen deren Ausgänge von Zufällen abhängen

• alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs werden in Ergebnissmenge groß Omega zusammengefasst

• beschreibt Menger aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments

• beschreibt eine Teilmenge der Ergebnismenge und beiinhaltet das wofür man sich interessiert

• zb interessiert man sich innerhalb eines Zufallsexperiments für bestimmte Ausgänge beschäftigt man sich mit einem speziellen Ereignis

• bilden Teilmenge der Ergebnismenge und werden mit Großbuchstaben A,B,C bezeichnet..

• Sicheres: tritt immer ein

• kann nur Ergebnismenge W sein

• unmögliches: kann nie eintreten

• elementar: jedes einzelne Ergebnis der Ergebnismenge

• zb bei einer Therapie Erfolg, oder nichterfolg

• Mengen von möglichen Situationen in Form von Zahlen oder Wörtern

• Komplementärereignis: beinhaltet genau das Gegenteil vom eigentlichen Ereignis

• auch Gegenereignis genannt

• zb Ereignis A - Gegenerignis A Strich über A

• alles was in der Ereignismenge groß Omega, aber nicht in A enthalten ist

• dient der Veranschaulichung von Ereignisoperationen

• besteht aus rechteckigen Kasten

• kasten enthält alle Elemente der Ergebnismenge

• Abhängig von ANzahl der betrachteten Ereignisse durch einen oder mehrere Kreise (oder Rechtecke) dargestellt

• in Kreisen stecken Ergebnisse der einzelnen Ereignisse

• fasst alle Ergebnisse zusammen welche in mindestens einem der Ergebnisse steckt

• A u B (A verineinigt B)

• vereinigt alle Ergebnisse die in A oder B stecken

• eines der Beiden Ergebnisse tritt ein

• beinhaltet die Gemeinsamkeit von Ereignissen

• A umgedreht u B (gelesen A geschnitten B)

• Gemeinsamkeit der beiden Ereignisse soll bestimmt werden

• beide Ereignisse treten gleichzeitig ein

• im Venn Diagramm Schnittmenge genau da wo Ereignisse überlappen

• in beiden geschwungenen Klammern kein Ergebniss

• oder das Zeichen 0 und querstrich durch

• Ereignisse die keine Gemeinsamkeit und damit keine Schnittmenge haben werden disjunkt bzw unvereinbare Ereignisse genannt

• zwei Ergebnisse sind diesjunkt, wenn sie keine Gemeinsamkeit aufweisen

• beschreibt das alleinige Eintreten eines Ereignisses

• A / in die andere Richtung, B (gelesen A ohne B)

• wann tritt A ein aber nicht B

• genau der Teil im Venn Diagramm A welcher nicht die Schnittmenge umfasst

• dann interessant wenn beide Ereignisse etwas gemeinsam haben

• wäre deren Schnittmenge leer dann würde A/B einfach A entsprechen

• B/A wäre einfach B

• Ergebnissmenge eines Zufallsvorgangs muss bekannt und endlich sein

• man muss wissen wieviele ergebnisse bei einem Zufallsvorgang eintreten können

• zb Würfel, jede Zahl hat eine Chance von 1 zu 6 gewürfelt zu werden

• n gleich mögliche Ergebnisse eines Zufallsvorgangs, dann beträgt Wahrscheinlichkeit 1 unten Strich n

• Wahrscheinlichkeit P (probability) eines Ereignisses A

• mit Wahrscheinlichkeit wird die Chance für das Eintreten eines Ereignisses beschrieben

• steht für die Anzahl an Ergebnissen in der Ergebnismenge oder in einem Ereignis

• beiden senkrechten Striche bezeichnet man auch als Mächtigkeit des jeweiligen Ereignisses

• Mächtigkeit steht für die ANzahl an Ergebnissen in der Ergebnismenge oder in einem Ereignis

• zb Würfel MÄchtigkeit ist senrechter Strich , groß Omega, senkrechter Strich = 6

• Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis A stehts mindestens 0: P (A) > unten Strich 0, negative W. kann es demzufolge nicht geben

• Maximale W. welche für ein Ereignis entstehen kann, ist 1. gilt immer für die Ereignismenge P (Omega) = 1, da immer ein Ergebnis aus der Ergebnismenge eintreten wird

• zb Egal wie oft gewürfelt wird es wird immer eine Zahl zwischen 1 und 6

• ersten beiden Punkte bedeuten das eine W immer irgendwo zwischen 0 und 1 liegen muss

• wenn zwei Ereignisse A und B disjunkt sein sollten (sie haben keine Gemeinsamkeiten) dann ist die W für die Vereinigungsmenge

• P (A u B) = P (A) + P (B)

• restlichen im Skript S. 132

• wenn eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss auf das eintreten des anderen Ereignisses nimmt

• dann unanabhängiges Ereignis

• also A und B, weder A würde eintreten von B beeinflussen noch anders rum

• Variablen deren Ausgänge vom Zufall abhängen, werden Zufallsvariablen genannt

• unterscheid auch hier wie in der deskriptiven Statistik zwischen diskret und stetigen Zufallsvarialben

• abzählbare Menge an Ausprägungen

• Ausgangspunkt ist Zufallsexperiment bzw Zufallsvorgang

• dessen Ergebnissmenge im ersten Schritt festzuhalten ist

• Zufallsvariable X diese sorgt dafür das Ergebnismenge in reelle Zahlen umgewandelt werden

• X: groß Omega - komisches R im Skript S. 135

• Ergebnisse der Ergebnismenge werden zu Zahlen verändert

• diese Zahlen werden mit x gekennzeichnet

• Gesamtheit aller Ausprägungen einer Zufallsvariable X wird Träger T unten x von X genannt

• beinhaltet alle möglichen Ausprägungen einer Zufallsvariablen

• beschreibt die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Ausprägung einer Zufallsvariable

• w. funktion f unten groß X (x)

• Formel im Skript S 136

• jede einzele Ausprägung x (0,1,2 ) durchgegangen, für sie W. bestimmt

• Funktion bekommt Buchstaben f

• große X steht unten im Index , signalisiert das es sich um Zufallsvariable handelt

• kleine x das für jede Ausprägung eine W bestimmt wird

zwei Bedingungen:

• es darf keine negative Wahrscheinlichkeit geben

• Summer aller W muss 1 ergeben

• beschreibt die erwartete Ausprägung einer Zufallsvariable

• E (X) oder u langer strich (gr. Buchstabe)

• bildet Pendant zum Mittelwert der despriktiven Statistik Berechnung Skript S 140

• dieser Erwartungswert erwartet nur Ergebnisse

• Mittelwerte hingegen haben konkrete Beobachtungen

• beschreibt Streuung einer Zufallsvariable

• ob sie stark streut oder nicht beschreiben Varianz und Standardabweichung

• Abkürzung Varianz V ar (X) oder omega hoch 2

• Berechnung im Skript

• es git 2 Erwartungswerte

• am Ende Wurzel ziehen so wird Standardabweichung erreicht

• steht für die erwartete Abweichung vom Erwartungswert

• nehmen sehr viele verschiedene Ausprägungen an

• die Dichten werden dargestellt

• Ausgangspunkt ist die Dichtefunktion

• enthält die Ausprägungen und die Dichten einer stetigen Zufallsvariablen

• f unten X (x)

• enthält über den gesamten Ausprägungsbereich die gleiche Dichte